专题16 几何体的几何特征与点线面关系-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

专题16  几何体的几何特征与点线面关系

【压轴综述】

在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住.

立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结合，具有一定的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较多见.

一.折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理.

二.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.

三.几何体的切接、截面问题：

(1)求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；

(2)转化后如何算？因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式、坐标法，甚至导数都是可以考虑使用的工具．

四.角的计算问题

1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．

2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．

3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.

（2）利用向量法求线面角的方法

(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.

下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.

【压轴典例】

例1.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T3 理科·T3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为              (　　)

A. B. C. D.

例2.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T12理科·T10 )已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为              (　　)

A.64π B.48π C.36π D.32π

例3. (2020·全国卷Ⅱ文科·T11理科·T10)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为              (　　)

A.    B.      C.1     D.

例4.(2020·全国卷Ⅱ理科·T7)如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为              (　　)

A.E      B.F        C.G     D.H

5.(2020·全国卷Ⅲ理科·T8文科·T9)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是              (　　)

A.6+4   B.4+4     C.6+2    D.4+2

例6.(2020·新高考全国Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处水平面所成的角为              (　　)

A.20°　　　 B.40°　　 C.50°　　 D.90°

例7.(2020·浙江高考·T6)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的              (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件  C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

例8.(2020·全国卷Ⅱ文理科·T16)设有下列四个命题:

p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.

p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是　　　　　. 

①p1∧p4  ②p1∧p2    ③p2∨p3   ④p3∨p4

例8.（2020·浙江宁波高三）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（  ）

A． B．

C． D．

例9．（2021·湖南长沙高三）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点为的中点，则下列判断正确的是（    ）

A．与所成的角为                B．平面

C．∥平面                       D．

例10．（2021·江苏省新海高级中学高三）如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（    ）

A．平面平面 B．

C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为

例11.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T19)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.

(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;

(2)设DO=,圆锥的侧面积为π,求三棱锥P-ABC的体积.

例12.(2020·全国卷Ⅱ文科·T20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;

(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=,求四棱锥B-EB1C1F的体积.

例13．（2021·安徽高三）如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，．

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在一点E，使面．若存在，确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．

【压轴训练】

1．（2021·宁夏长庆高级中学高三）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列正确的个数为（    ）

①若，则；②若，则；

③若，则；④若，则

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2021·浙江高三月考）在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·重庆高三）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

4．（2018届湖南省郴州市二中）已知三棱锥的底面是直角三角形，⊥，，⊥平面，是的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线与所成角的大小为（    ）

A． 45°    B． 90°    C． 60°    D． 30°

5.（2020湖北高三月考）如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020广东广雅中学高三）在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．平面 D．平面

7．（2020安徽高三）如图，在正方体中，是棱上动点，下列说法正确的是（    ）

A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线

B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线

C．当点从运动到的过程中，与平面所成的角变大

D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变小

8．（2020·江苏镇江高三期中）在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ）

A．平面

B．若是上的中点，则

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．直线与直线所成角最小时，线段长为

9．（2021·江苏高三期末）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面ABCD

C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值

10．如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，有下面三个结论：①点是的中心；②垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.

11．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪.在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，则邪田的邪长为_______；邪所在直线与平面 所成角的大小为________.

12.已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.

13．（2021·安徽高三开学考试）如图，在正方体中.

（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.

14．（2021·全国高三专题练习）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设．

（1）若直线与平面所成的角为，求线段的长；

（2）在线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由．