专题1.15 导数-存在性问题-2022年高考数学二轮复习解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

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专题1.15 导数-存在性问题

1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．存在性问题的解法
（1）若在区间D上有最值，则
能成立：；．
（2）若能分离常数，即将问题转化为（或），则
能成立：；；

1．已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，存在非零实数，，满足，证明：．
【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷）
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用导数的基本运算可得，讨论、或，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出结果．（2）根据题意可得，分别为的零点，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，不妨设，利用零点存在性定理可得，，即证
【解析】（1）由题意得，
令，当时，，
即当时，；
当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，令，则，，，
故的单调递减区间为，
单调递增区间为，；
当时，令，则，，，
满足，故在上单调递增；
当时，令，
则，，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，．
综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，
单调递增区间为，；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，
单调递增区间为，．
（2）证明：当时，，
依题意得，分别为的零点，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减．
设，由，
，由零点存在性定理得，
，由零点存在性定理得，
利用不等式的性质得，则，
同理当时也成立．综上，．
【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式、零点存在性定理，解题的关键是讨论的取值，利用零点存在性定理得出，，考查了分类讨论的思想．
2．已知函数，
（1）若，的极大值是，求a的值；
（2）若，在上存在唯一零点，求b的值．
【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的极值的条件，求得的值；（2）利用导数研究函数的单调性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值．
【解析】（1）若，则
的定义域为，．
若，，在定义域内单调递增，无极大值；
若，，单调递增；，单调递减．
时，取得极大值，．
（2）若，则，

令，得，当时，有唯一解，即，
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
因为有且只有1个零点，所以．即．
因为，，整理可得故．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于（1）中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想．
3．已知函数，a，bR．
（1）若a>0，b>0，且1是函数的极值点，求的最小值；
（2）若b=a+1，且存在[，1]，使成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】江苏省常州市2021届高三下学期学业水平监测期初联考
【答案】（1）最小值；（2）．
【分析】（1）由1是函数的极值点得，对用基本不等式中“1的代换”求最值；（2）把“存在[，1]，使成立”转化为函数在上的最小值小于0，利用导数讨论单调性，找到最小值，解出a的范围即可．
【解析】（1）因为是函数的极值点，所以
即此时

当当所以函数在处取极小值．
所以因为，
所以(当且仅当时等号成立)
此时有最小值．
（2）当时，，
存在使成立，即函数在上的最小值小于

①当即时，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
所以，不符，舍去；
②当即时，在上单调递增，
所以在上的最小值为
所以，又所以；
（3）当时，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为

因为所以所以
所以，
所以不符，舍去，
综上可得，的取值范围是．
【名师点睛】（1）导数为零，并且两侧导数一正一负的点为极值点；导数为零，但是两侧导数符号相同的点不是极值点．
（2）研究含参数的函数的单调性要注意：①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨
4．已知函数，．
（1）若，是的两个根，证明：；
（2）若存在，使，求的取值范围．
【试题来源】浙江省宁波市宁海中学创新班2021届高三下学期2月测试
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先证明，则，展开即可得到答案；（2）由，，分，，三种情况讨论即可．
【解析】（1）由题，是的两个根，则，
同理，则，
易知，，
展开化简得．
（2）若存在，使，
因为，，
所以，，
当时，，在上单调递增，，
所以在上单调递增，，不满足题意．
当时，则在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，在上，从而在上单调递增，
又，所以在上．
而当时，，所以存在，使．
当时，则，在上单调递减，，
所以在上单调递减，，不满足题意．
综上所述：．
【名师点睛】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
5．已知函数（且）．
（1）若，求函数的极值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测
【答案】（1），无极大值；（2）．
【分析】（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，由单调性求出函数的极值．（2）由题意只需函数在上的最小值小于0，求出，讨论的取值范围，利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，即可．
【解析】（1）依题意，当时，，定义域为，
，令，得．
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以，无极大值．
（2）若存在，使得成立，
即函数在上的最小值小于0．
，且．令，得，
当，即时，恒成立，
函数在单调递减，，
由，得，即；
当，即时，恒成立，
函数在上单调递减，，不合题意；
当，即时，
在上，，为减函数；
在上，，为增函数，
所以．
由，得，
解得，即．
综上，所以实数的取值范围是．
【名师点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式能成立，解题的关键是将不等式转化为函数在上的最小值小于0，考查了运算能力、分析能力，分类讨论的思想．
6．已知且
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，存在，使成立．求实数的取值范围．
【试题来源】2021年东北三校（哈师大附中、东师大附中、辽宁省实验）高三第一次联合模拟考试试卷
【答案】（1）增区间，减区间；（2）．
【分析】（1）求导得，由于，，再解不等式和即可得答案；（2）由题知，进而将问题转化为在上的最大值为与最小值为之差大于等于．再根据导数研究函数的最值即可．
【解析】（1）函数的定义域为．
由已知，
，，
由得增区间，由得减区间；
（2）由已知，
设在上的最大值为，最小值为，
依题意：，，
，为增函数，
时，递增；时，递减．
故，，
设，
在上递增，
时，，此时，
时，，此时，
当时，，
设，，在上递增，
又，所以由得，
当时，，
由得，
综上：的取值范围是．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式成立等问题，考查运算求解能力与分类讨论思想，是难题．本题第二位解题的关键在于将问题转化为在上的最大值为与最小值为之差大于等于，再结合导数研究函数的最值；其中用到作差法比较大小，构造函数研究最值等方法．
7．已知函数．
（1）当时，函数的极小值为5，求正数b的值；
（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．
【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高三下学期第七次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，得到，求导，再利用极值的定义，由函数的极小值为5求解．（2）由，得到，，求导，分，讨论求得最大值求解．
【解析】（1）函数的定义域为．
当时，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，所以．
（2）当时，，，
则．
①当，即时，，
所以在上单调递增，所以；
②当，即时，设的两根分别为，，
则，，所以，，
所以在区间上，，
所以在上单调递增，所以．
综上，当时，在区间上的最大值为，
所以，所以实数a的取值范围是．
【名师点睛】不等式有解问题的解法：
若在区间D上有最值，则；
；
若能分离常数，即将问题转化为（或），则；．
8．已知函数．
（1）若，当时，讨论的单调性；
（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．
【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）首先求出函数的定义域，由，消去参数，求出导函数，再对参数分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）当时，，再求出导函数，对分类讨论，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
【解析】（1）因为
所以函数的定义域为．
由，得，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，或，，
所以在，上单调递减，在上单调递增；
当时，或，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，，
则．
①当，即时，，
所以在上单调递增，所以．
②当，即时，设的两根分别为，，
则，，所以，，
所以在区间上，，
所以在上单调递增，所以．
综上，当时，在区间上的最大值为，
所以，所以实数a的取值范围是．
【名师点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
9．已知函数，．
（1）若函数存在极小值，求实数的取值范围；
（2）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围．
（参考数据：，）
【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）．；（2）．
【分析】（1）首先求出函数的导数，再对参数分类讨论，即可得解；
（2）依题意可得首先，令，得；再证明当时符合要求，令．再对与分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值即可；
【解析】（1）由题得，
又在上为单调递增函数，，
故当时，无极值．
当时，存在，在上单调递增，上单调递增，存在极小值故．
（2）由即
首先，令，得；
下面证明当时符合要求：
令．
（1）若，即时，
．
令．
得．
．
显然当时，，从而递增，又
则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以得证；
（2）若，即时，
．
下面，只要证，其中．
由，且在上单调递增，记，得
又，所以
又．
令，则．
所以当时，在上单调递增，上单调递减，
，得证．
故所求实数的取值范围为．
【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
10．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数在上有零点，求的取值范围．
【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试
【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在单调递减；（2）．
【分析】（1）求出导函数，然后根据的正负分类讨论确定的正负，得单调区间；（2）求出，确定的单调性，结合零点存在定理列不等式求得的范围．
【解析】（1）由题意知，，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上可知，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在单调递减．
（2）因为，所以．
因为，且，所以，．
当，即时，，则在上单调递增，
因为函数在上有零点，且，
所以，解得；
当，即时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在上有零点，且，
所以，又，则．
综上，的取值范围是．
【名师点睛】本题考查用导数求函数的单调性，研究函数零点问题．解题关键是掌握导数与单调性的关系与零点存在定理．如函数在区间上有零点，在存在函数值的情况下，只要即可得．
11．已知函数，其中．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若函数，则是否存在实数，使得函数在处取得极小值？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
【试题来源】广东省广州市天河区2021届高考二模
【答案】（1）答案见详解；（2）存在，使得在处取得极小值
【分析】（1）求出导函数，讨论、或，结合函数的单调性与导数之间的关系进行求解即可．（2）求出，根据极值的定义可得，得出，再证明充分性，利用导数证明当时，函数单调递增；再构造函数令，证明当时，函数单调递减．
【解析】（1）由，则，
因为，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，函数在上单调递减；
（2），
，
显然是函数的极小值点的必要条件为
，即，此时，
显然当时，
，
当时，，
故，
令，则，故是减函数，
故当时，，即，
令，则，
当时，，
故在上单调递增，
故当时，，即，
故当时，
，
因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立，
综上，存在，使得在处取得极小值．
【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，解题的关键是结合函数的单调性、极值和导数之间的关系进行构造函数，考查了逻辑推理能力以及运算求解能力，考查了化归与转化思想，综合性比较强．
12．已知函数，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测
【答案】（1），无极小值；（2）．
【分析】（1），求导得，显然时，为增函数，时，为减函数，所以在处取得极大值，无极小值，然后计算即可；
（2）恒成立即恒成立，也即恒成立，结合（1）的结论对k分类讨论，当时，不存在，使得当时，恒成立；当时，，令，得，，可证得函数在上是增函数，所以存在，使得当时，．
【解析】（1）当时，，
的定义域为，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，无极小值；
（2）由（1）可知，若，则当时，，即，
所以不存在，使得当时，恒成立，
若，则当时，，
即不存在，使得当时，恒成立；
若，，
，
令，得，，
所以当时，，为增函数，
即函数在上是增函数，
所以存在，使得当时，，
即成立，综上，所以实数的取值范围是．
【名师点睛】利用导数求函数极值的步骤：
（1）求导数；
（2）求方程的根；
（3）检查在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正那么在这个根处取得极小值．
特别注意：无意义的点也要讨论，即可先求出的根和无意义的点，再按定义去判别．
13．已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设切点坐标为，根据题意只需满足，，然后求解方程组得出的值及的值；（2）记，求导讨论函数的单调性，确定最值，使成立，得到关于参数的不等式，然后利用参数分离法求解参数的取值范围．
【解析】（1）设切点为，其中，
有，且
得，所以，易解得，则；
（2）记，有，
当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，，
则有，记，
有，
易知在单调递增，在单调递减，
则，所以，得．
【名师点睛】本题考查导数的几何意义，考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，求解的一般方法如下：
（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；
（2）采用参数分离法，然后构造函数，直接将问题转化为函数最值的求解即可．
14．已知函数，定义域为．
（1）当时，求的单调区间；
（2）记，当，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在，，使得．若存在，求c的取值范围；若不存在，请说明理由．
【试题来源】浙江省名校协作体2021届高三下学期联考
【答案】（1）在区间上单调递减；在区间上单调递增；（2）；（3）存在，
【分析】（1）将代入，利用导数与函数单调性的关系即可求得的单调区间；
（2）利用导数与函数单调性的关系即可求出，表示出，再令，利用函数的单调性求出即可；
（3）由（2）知，根据题意可求得，假设存在，使成立，令，多次求导并对进行讨论即可求解．
【解析】（1）解：当时，因为，
即，所以，
，
在区间上单调递增，且，
令，解得，
令，解得，
在区间上单调递减；在区间上单调递增；
（2）因为，
所以，
，
，
，
故在上单调递增，
又，，
故对每个存在唯一的正数，满足，
即，
在区间上单调递减；在区间上单调递增；
最小值在处取到，
即，
令，
所以，
令，解得，
令，解得，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减；
，此时；
（3）由（2）知，
，
即，
当时不等号左边0，．
设存在，使成立，
令，且，
，且，
，且，
当，即时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
当，，即单调递增，
，即成立；
当时，，又时，，
存在使；
当时，有，即单调递减，
，即单调递减，
，即，故不符合题意．
综上所述：．
【名师点睛】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果．
15．已知函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若函数的极大值点和极小值点分别为，试判断方程是否有解？若有解，求出相应的实数；若无解，请说明理由．
【试题来源】河南省2021届普通高中毕业班高考适应性测试
【答案】（1）函数在和上单调递增，在上单调递减；（2）有解，
【分析】（1）由已知，求导，利用求函数的单增区间，利用求函数的单减区间；（2）由题意，分析函数的单调性，得到，，构造函数，利用导函数分析知在为增函数，从而得解．
【解析】（1），
，令得，或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
函数在和上单调递增，在上单调递减．
（2）有解，由题意，
令得，或，
，，
当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
所以当时，函数取得极大值，且；
当时，函数取得极小值，且
注意到，
令，则，
令，则，函数在为增函数，
即，在为增函数，
方程在上至多有一个实数解，
又，即方程有解
所以相应的实数．
【名师点睛】本题考查利用研究函数的单调性，及函数方程有解问题，利用导数解决等式成立问题的：
（1）首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．
（2）也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
16．已知函数()，．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值．
【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（北京专用）
【答案】（1）答案见解析；（2）或．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出的值即可．
【解析】（1）由已知得，．
（ⅰ）当时，恒成立，则函数在为增函数；
（ⅱ）当时，由，得；
由，得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为，
则．
由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，，
所以在上有且只有一个零点．
又在上，在上单调递减；
在上，在上单调递增．
所以为极值点，此时．
又，，
所以在上有且只有一个零点．
又在上，在上单调递增；
在上，在上单调递减．
所以为极值点，此时．
综上所述，或．
【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．