专题2.4 数列-结构不良型-2022年高考数学二轮复习解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

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专题2.4 数 列-结构不良型

1．等差、等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
2．给出与的递推关系，求an，常用思路是一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
3．求数列的前项和常见思路：
（1）对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；
（2）等差数列等比数列时，常采取分组求和法；
（3）等差数列等比数列时，常采取错位相减法；
（4）裂项相消法．用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，看它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后的表达式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式的最简结果．

1．设数列的前项和为，在①，②，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
问题：已知数列满足，______，若数列是等比数列，求数列的通项公式；若数列不是等比数列，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】2021届普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（四）
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】若选①，利用化简得，得，从而可作出判断；若选②，利用可得，从而有数列是首项为1，公比为3的等比数列；若选③，先求出，然后可得，再利用得，从而可判断数列是首项为1，公比为2的等比数列，
【解析】若选①：，则当时，，
两式相减，得，即，结合，可知，所以．
由，得，即，
故数列不是等比数列．
若选②：，由，得，即，于是，
当时，，两式相减得，即，
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此．
若选③：，由，得，
当时，，两式相减得，即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此．
2．已知等差数列的前项和为．
（1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列的通项公式；
①；②；③；
注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分．
（2）在（1）的条件下，令，求数列的前项和．
【试题来源】黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测（一模）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据所选条件，得出方程组，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到数列为等比数列，再利用等比数列求和公式计算可得；
【解析】（1）选择条件①②，①③，②③对应的基本量如下：
由，即
由，即
由，即解得，所以．
（2）．因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
3．已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：
（1）求数列的通项公式和它的前n项和；
（2）若对任意不等式恒成立，求k的取值范围．
条件①
条件②，当，，
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）
【答案】（1）选①，；；选②，，
（2）选①，；选②，
【分析】（1）选①，根据与的关系求出通项公式，再利用等差数列的前项和公式即可求解； 选②，利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解．
（2）选①，分离参数可得，求出最大值即可；选②，分离参数可得，利用基本不等式求出的最小值即可．
【解析】（1）选①，由，
则，，两式相减可得
，，
又，所以，即，
所以数列为等差数列，当时，，
所以，所以；
选②，，当，，，
，所以当时，数列为等差数列，
所以时，，
所以，
（2）数列为等差数列，，，
则公差，所以．
若对任意不等式恒成立，
若，则恒成立，，所以，
若，则恒成立，，
因为，所以，
当且仅当时取等号，所以．
4．已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）数列中的最大项．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【试题来源】北京市石景山区2021届高三一模
【答案】答案见解析．
【分析】（1）分别选择一个条件，利用等差、等比数列的通项公式以及前项和公式计算即可．（2）根据（1）所得到的数据，然后根据数列等差部分、等比部分的单调性简单判断即可．
【解析】选择条件①：
（1）因为的前20项成等差数列，，
所以解得． 所以．
因为数列后11项成公比为的等比数列，所以．
综上，．
（2）的前20项成等差数列，，所以前20项为递增数列．
即前20项的最大项为．
数列的后11项成等比数列，，所以后11项是递减数列．
即后11项的最大项为
综上，数列的最大项为第20项，其值为40．
选择条件②：
（1）因为的前20项成等差数列，，
所以 所以
因为数列后11项成公比为的等比数列，，
因为，，所以．
综上，．
（2）的前20项成等差数列， ．所以前20项为递减数列．
前20项的最大项为．
因为．i．当时，，
所以当时，．
此时，数列的最大项为第1项，其值为2；
ⅱ．当时，，
后11项的最大项为．
此时，数列的最大项为第21项，其值为18
综上，当时，数列的最大项为第1项，其值为2；
当时，数列的最大项为第21项，其值为18．
选择条件③：
（1）因为数列后11项成公比为的等比数列，，
所以，解得． 所以．
因为的前20项成等差数列，，所以．
综上，．
（2）的前20项成等差数列， ．
所以前20项为递减数列，前20项的最大项为．
的后11项成等比数列，而，，
，所以后11项为递增数列．
后11项的最大项为，
综上，数列的最大项为第30项，其值为10240．
5．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，若____，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，，求数列的前项和．
【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（广东专用）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设是公差不为0的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式、结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，进而得到，再由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解析】（1）设是公差不为的等差数列，
选①，可得，即，
由、、成等比数列，可得，即，
解得，则；
选②，可得，即
由、、成等比数列，可得，即，
解得，则；
选③，可得，
由、、成等比数列，可得，即，
解得，则；
（2）设等比数列的公比为，，，
可得，又，解得，所以，所以，
所以数列的前项和
．
6．已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且a1＋3，3a2，a3＋5成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且 ，若数列{cn}满足cn＝anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①3Sn＋bn＝4；②bn＝bn－1＋2(n≥2)；③5bn＝－bn－1(n≥2)．
【试题来源】2021年高考二轮复习讲练测（浙江专用）
【答案】（1）an＝3n-1；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式和等差中项列方程组解得首项和公比，可得数列{an}的通项公式；（2）选择①时，构造方程3Sn-1＋bn-1＝4(n≥2)，利用两式相减法求出，再求出，根据恒成立，可知的最小值为；选择②时，根据等差数列的定义求出，再求出，根据恒成立，可知的最小值为；选择③时，根据等比数列的定义求出，再求出，，讨论的奇偶可解得结果．
【解析】（1）设数列{an}的公比为q，
则由前3项和为13，且a1＋3，3a2，a3＋5成等差数列，
得所以
所以，即3q2－10q＋3＝0，解得或
因为{an}是递增的等比数列，所以q>1，所以q＝3，所以，所以an＝3n-1．
（2）选择①：因为3Sn＋bn＝4，所以3Sn-1＋bn-1＝4(n≥2)，
两式相减得3(Sn－Sn-1)＋(bn－bn-1)＝0，即4bn－bn-1＝0(n≥2)，
所以(n≥2)，所以数列{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，
故，因此，
因为恒成立，即c1>0，c2>0，c3>0，…，所以(Tn)min＝T1＝c1＝1．
选择②：由bn＝bn-1＋2(n≥2)知{bn}是以b1＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以，
因为cn＝(2n－1)·3n－1>0，即c1>0，c2>0，c3>0，…，
所以(Tn)min＝T1＝c1＝1．
选择③：由5bn＝－bn-1(n≥2)知{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，所以，
当n为奇数时，由于，故；
当n为偶数时，由于，故，
由在n为偶数时单调递增，
所以当n＝2时，，
综上所述：Tn的最小值为．
【名师点睛】第（2）问，选择③时，求出后，讨论的奇偶是解题关键．
7．在①；②；③，，．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知数列满足______（），若，求数列的前项和．
【试题来源】山东省济宁市2021届高三一模
【答案】
【分析】若选①：利用求解可得数列为等比数列，求出，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可；若选②：先利用求解可得数列的通项公式，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可；若选③：由已知条件可知数列为等比数列，利用，，求出公比，写出通项公式，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可．
【解析】若选①：因为，①
所以当时，，②
①②得，即，
所以数列为等比数列，
当时，，解得，
所以，所以，
所以，③
，④
③④得，
所以．
若选②：因为，①，
所以当时，，
当时，，②
①②得，
因为符合上式，所以对一切都成立．
所以，
所以，③
，④
③④得，
所以．
若选③：由，，知数列是等比数列，
设数列的公比为，则，即，
所以，解得，所以．
所以，
所以，①
，②
①②得，
所以．
【名师点睛】由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力．
8．从“①；②，；③，是，的等比中项．”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答．
已知等差数列的前项和为，公差不等于零，______，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】2021年高考数学金榜预测卷（山东、海南专用）
【答案】选择见解析：（1）；（2）．
【分析】（1）选①：由时，即可求解；选②：用基本量与列方程组即可求解；选③：由等比中项公式即可求得公差，通项可得；
（2）依题意求通项再用分组求和法求得前项和为．
【解析】选①：（1），令
所以①．当时，②
当时，，而，所以．
选②：（1）由得得，
又得，因为得，所以；
选③：（1）由是，的等比中项得，则
因为，所以，则；
（2），
所以．
【名师点睛】数列求和的方法技巧
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
9．在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，，成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知正项等比数列的前项和为，且，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】2021年新高考测评卷数学（第六模拟）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）选择不同的条件，分别利用等差数列或等比数列的性质建立等式，
再利用等比数列的通项公式与前项和公式求得基本量，从而得到结果；
（2）由（1）得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可．
【解析】（1）方案一：选条件①．
设数列的公比为，由题意知．
因为，，成等差数列，所以，
所以，即，
又，所以，解得（舍去）或．
又，所以．所以．
方案二：选条件②．
设数列的公比为，由题意知．
因为，，成等比数列，所以，）
所以，又，所以，
解得（舍去）或．
又，所以，所以．
方案三：选条件③．
设数列的公比为，由题意知．
因为，，成等差数列，
所以，即．
又，所以，解得（舍去）或，
所以，所以．
（2）由（1）知，
所以．
10．①，
②，，
③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知数列的前项和为，，______，求的表达式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】2021届普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（二）
【答案】答案见解析．
【分析】若选①，写出当时表达式与原式作差可得，结合等比数列求和公式即可求出的表达式；若选②，整理得，结合等差数列的定义和通项公式可得，由等比数列的求和公式可求出的表达式；若选③，构造新数列是以为首项，4为公比的等比数列，求出，结合分组求和方法可得的表达式．
【解析】若选①：因为，
所以当时，．
两式相减，可得，则，故，
故，，经验证也符合该式，故，
则．
若选②：因为，所以等式两边同时除以，得，
故数列是公差为0的等差数列，即常数列．所以，
即，（1）由，得，所以．（2）
由（1）－（2）得，即，故，
经验证也符合该式，则．
若选③，因为，故，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，故，
即．则
．
11．已知数列，其前n项和为，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中使得最终结论成立并证明你的结论．
条件①：(t为常数)；
条件②：，其中数列满足，；
条件③：．
数列中是二项式展开式中的常数项，且 ．求证：＜1对恒成立．
注：如果选择多个条件作答，则按第一个条件的解答计分．
【试题来源】湖北省八市2021届高三下学期3月联考
【答案】答案见解析．
【分析】由二项式定理求得，
选①，由求得，然后由求得数列是等比数列，由等比数列前项和公式得可证结论成立；
选②，利用连乘法求得，从而得，然后由裂项相消法求得和可结论成立；
选③，由已知式变形得或，前者分类讨论求得和可得证，后者利用等差数列的前项和公式计算出后，由二次函数性质可证结论．
【解析】二项展开式的通项为，
令得展开式的常数项为．
可选择的条件为①或②或③
若选择①：在中令，得
（1），（2）
（1）（2）得， 故是以为首项为公比的等比数列，
所以恒成立．
若选择②：由，得
所以 时也满足，
则，
恒成立．
若选择③：则或
又，当时，
当时，
此时时．
【名师点睛】本题考查二项式定理，考查求数列的和．解题关键是由已知条件求出数列的通项、前项和．在已知和的关系式中，一般由确定数列的性质，得出数列通项公式，求得其前项和．
12．从条件①，②数列为等比数列，，中任选一个，补充在下面的问题中：
已知为正项数列，为的前项和，___________．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记为的前项和，证明：．
【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高考第一次质量普查调研考试（一模）
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）选择①：利用当时，公式化简即可求解；选择②：设公比为，转化为基本量列方程计算即可；
（2）先求得通项，判断为等比数列，再结合等比数列求和公式求解即可．
【解析】（1）选择①：①，②，
①②得，，
当时，，，
数列是以4为首项，为公比的等比数列，
；
选择②：设正项等比数列的公比为，由题意知，
，，即，
或(舍)，又，，．
（2）由（1）知，
数列是以2为首项，为公比的等比数列，
，
．
13．已知等比数列的前项和为，给出条件：
①；②，且．若___________________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】广东省汕头市2021届高三一模
【答案】条件选择见解析：（1），；（2）．
【分析】（1）选条件①：方法一：令可得出，令，由得，两式作差得出，再由满足可求得的值，据此可得出数列的通项公式；
方法二：分别求得、、，求得等比数列的公比，可求得，再由满足在时的表达式可求得的值，据此可得出数列的通项公式；
选条件②：方法一：令，由得出，两式作差可得出，结合已知条件可知数列是公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式，再由得出，可求得的值；
方法二：令可得出，令可得出，可知数列是公比为的等比数列，求出数列的通项公式，再由可求得实数的值；
（2）求得，利用裂项相消法可求得．
【解析】（1）选条件①，方法一：当时，；
当时，由得，
．
因为数列是等比数列，所以，即，
所以数列的通项公式为，；
方法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以，等比数列的公比为，当时，．
满足，则，解得．
所以，；
选条件②，方法一：当时，由可得，
两式相减得，即，
因为数列是等比数列，且，
所以数列的通项公式为，，
又当时，，解得；
方法二：当时，，
当时，，，
所以，等比数列的公比为，且，．
所以，解得；
（2）由（1）可知，，
即
因此．
【名师点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．
14．已知数列的前n项和为，且．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．
已知数列满足___________，求的前n项和．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
【试题来源】2021年高考数学金榜预测卷（山东、海南专用）
【答案】（1）证明见解析，；（2）答案见解析．
【分析】（1）利用得出的递推关系，变形后可证明是等比数列，由等比数列通项公式得，然后再除以得到新数列是等差数列，从而可求得；（2）选①，直接求出，用错位相减法求和；选②，求出，用分组（并项）求和法求和；选③，求出，用裂项相消法求和．
【解析】（1）当时，因为，所以，两式相减得，．
所以．
当时，因为，所以，又，故，于是，
所以是以4为首项2为公比的等比数列．
所以，两边除以得，．
又，所以是以2为首项1为公差的等差数列．
所以，即．
（2）若选①：，即．
因为，
所以．
两式相减得，
，
所以．
若选②：，即．
所以
．
若选③：，即．
所以
．
【名师点睛】本题考查求等差数列、等比数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
15．在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】山东省烟台市2021届高三一模
【答案】答案见解析
【分析】若选：
（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；
（2）由，可得解．
若选：
（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；
（2）由，可得解．
若选：
（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；
（2）由，可得解．
【解析】若选：由已知，所以
通项，故
不妨设的公差为．则
解得所以
由，则，
，
所以．
若选：由已知，，
通项，故．
不妨设的公差为，则，
解得所以．
由，则，
，
所以．
若选：由已知，所以
通项，
故，
不妨设的公差为．则，
因为解得所以．
由，则
，
所以．
【名师点睛】本题解题的关键一是利用基本量运算求解通项公式，二是根据判断的值．
16．在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，若 ， ，且．是否存在大于2的正整数，使得成等比数列？
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【试题来源】2021年高考数学考前信息必刷卷（江苏专用）
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】由等比数列的条件，求得，可得等比数列的通项公式．然后分别选取条件①②，条件①③，条件②③，列出关于等差数列首项与公差的方程组，求得首项与公差，得到等差数列的通项公式及前项和，再由，，成等比数列列式求解值即可．
【解析】设的公差为，的公比为，
由题意知，所以，
整理得，因为，所以，所以．
（1）当选取的条件为①②时，有，所以，解得．
所以．
所以，
若成等比数列，则，
所以，解得，
因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在．
（2）当选取的条件为①③时，有，所以，解得．
所以．
所以，
若成等比数列，则，
所以，解得或（舍去）
此时存在正整数满足题意．
（3）当选取的条件为②③时，有，所以，解得．
所以．
所以，
若成等比数列，则，即，
所以，解得，
因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在．