2021学年6.4 平面向量的应用课时训练

这是一份2021学年6.4 平面向量的应用课时训练，文件包含2022年人教版高中数学必修第二册《正余弦定理》综合练习卷教师版doc、2022年人教版高中数学必修第二册《正余弦定理》综合练习卷原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
2022年人教版高中数学必修第二册《正余弦定理》综合练习卷一、选择题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac=3，且a=3bsin A，则△ABC的面积等于(　　)A.         B.            C.1         D.【答案解析】答案为：A解析：∵a=3bsin A，∴由正弦定理得sin A=3sin Bsin A，∴sin B=.∵ac=3，∴△ABC的面积S=acsin B=×3×=，故选 A.2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　)A.3∶2∶1      B.∶2∶1       C.∶∶1        D.2∶∶1【答案解析】答案为：D解析：∵A∶B∶C=3∶2∶1，A＋B＋C=180°，∴A=90°，B=60°，C=30°.∴a∶b∶c=sin 90°∶sin 60°∶sin 30°=1∶∶=2∶∶1.3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B等于(　　)A.          B.        C.          D.【答案解析】答案为：C；解析：根据正弦定理===2R，得==，即a2＋c2－b2=ac，得cos B==，又0＜B＜π，所以B=，故选C.4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B=1∶，c=2cos C=，则△ABC的周长为(　　)A.3＋3          B.2        C.3＋2          D.3＋【答案解析】答案为：C；解析：因为sin A∶sin B=1∶，所以b=a，由余弦定理得cos C===，又c=，所以a=，b=3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.5.在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=－3，则BC边上的高等于(　　)A.1        B.      C.        D.2【答案解析】答案为：A；解析：因为tan∠BAC=－3，所以sin∠BAC=，cos∠BAC=－.由余弦定理，得BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC=5＋2－2×××=9，所以BC=3，所以S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×××=，所以BC边上的高h===1，故选A.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B=asin A，则△ABC的形状为(　　)A.锐角三角形      B.直角三角形     C.钝角三角形     D.不确定【答案解析】答案为：B；解析：由已知及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B=sin2A，即sin(B＋C)=sin2A，又sin(B＋C)=sin A，∴sin A=1，∴A=.故选B.7.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A=asin B，且c=2b，则=(　　)A.2          B.3         C.          D.【答案解析】答案为：A；解析：由2bsin 2A=asin B，得4bsin A·cos A=asin B，由正弦定理得4sin B·sin A·cos A=sin A·sin B，∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A=，由余弦定理得a2=b2＋4b2－b2，∴a2=4b2，∴=2.故选A.8.△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c=2a，bsin B－asin A=asin C，则sin B的值为(　　)A.          B.           C.          D.【答案解析】答案为：C；解析：由正弦定理，得b2－a2=ac，又c=2a，所以b2=2a2，所以cos B==，所以sin B=.二、填空题9.在△ABC中，BC=2，B=，当△ABC的面积等于时，sin C=________. 【答案解析】答案为：.解析：由三角形的面积公式，得S=AB·BCsin =，易求得AB=1，由余弦定理，得AC2=AB2＋BC2－2AB·BC·cos ，得AC=，再由三角形的面积公式，得S=AC·BCsin C=，即可得出sin C=.10.在△ABC中，A=，b2sin C=4sin B，则△ABC的面积为________.【答案解析】答案为：2解析：因为b2sin C=4sin B，所以b2c=4b，即bc=4，故S△ABC=bcsin A=×4×=2.11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=5，B=，△ABC面积为，则cos 2A=________.【答案解析】答案为：.解析：由三角形的面积公式，得S△ABC=acsin B=×a×5×sin=××5a=，解得a=3.由b2=a2＋c2－2accos B=32＋52－2×3×5×=49，得b=7.由=⇒sin A=sin B=sin=，∴cos 2A=1－2sin2A==.12.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且满足4cos2－cos[2(B＋C)]=，若a=2，则△ABC的面积的最大值是____________.【答案解析】答案为：解析：因为B＋C=π －A，所以cos [2(B＋C)]=cos(2π －2A)=cos 2A=2cos2A－1，又cos2=，所以4cos2－cos [2(B＋C)]=可化为4cos2A－4cos A＋1=0，解得cos A=.又A为三角形的内角，所以A=，由余弦定理得4=b2＋c2－2bccos A≥2bc－bc=bc，即bc≤4，当且仅当b=c时取等号，所以S△ABC=bcsin A≤×4×=，即△ABC的面积的最大值为.三、解答题13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设m=(2cos(+A)，cos2A-cos2B)，n=(1，cos( -A))，且m∥n.(1)求角B的值；(2)若△ABC为锐角三角形，且A=，外接圆半径R=2，求△ABC的周长.【答案解析】解：(1)由m∥n，得cos 2A－cos 2B=2cos(+A)cos( -A)，即2sin2B－2sin2A=2(cos2A-sin2A)，化简得sin B=，故B=或.(2)易知B=，则由A=，得C=π－(A＋B)=.由正弦定理===2R，得a=4sin =2，b=4sin =2，c=4sin =4sin=4×=＋，所以△ABC的周长为＋2＋3.14.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=1，cos Bsin C＋(a－sin B)cos(A＋B)=0.(1)求角C的大小；(2)求△ABC面积的最大值.【答案解析】解：(1)由cos Bsin C＋(a－sin B)cos(A＋B)=0，可得cos Bsin C－(a－sin B)cos C=0，即sin(B＋C)=acos C，sin A=acos C，即=cos C.因为==sin C，所以cos C=sin C，即tan C=1，C=.(2)由余弦定理得12=a2＋b2－2abcos=a2＋b2－ab，所以a2＋b2=1＋ab≥2ab，ab≤=，当且仅当a=b时取等号，所以S△ABC=absin C≤××=.所以△ABC面积的最大值为.15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：(b2+c2-a2)sinC=c2sinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求b+c的最大值．【答案解析】解：（1）由正弦定理得，因为，所以，所以由余弦定理得，又在中，，所以．（2）方法1：由（1）及，得，即，因为（当且仅当时等号成立），所以，则（当且仅当时等号成立），故的最大值为．方法2：由正弦定理得，，则，因为，所以，所以，故的最大值为（当时）．16.已知函数f(x)=1＋2sincos－2cos2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f(A)的取值范围；(2)若A为锐角且f(A)=，2sinA=sinB＋sinC，△ABC的面积为，求b的值.【答案解析】解：(1)f(x)=sinx－cosx=2sin（x－），∴f(A)=2sin（A－），由题意知，0<A<π，则A－∈(－，)，∴sin（A－）∈(- ，1]，故f(A)的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin（A－）=，∵A为锐角，即A∈（0，），∴A－∈(－，)，∴A－=，即A=.由正、余弦定理及三角形的面积公式，得解得b=.17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且asinA＋csinC－bsinB=asinC.(1)求角B的大小；(2)设向量m=(cosA，cos2A)，n=(12，－5)，边长a=4，当m·n取最大值时，求b的值.【答案解析】解：(1)由题意得，asinA＋csinC－bsinB=asinC，∴a2＋c2－b2=ac，∴cosB===，∵B∈(0，π)，∴B=.(2)∵m·n=12cosA－5cos2A=－10（cosA-）2＋，∴当cosA=时，m·n取最大值，此时sinA=.由正弦定理得，b==.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A－acos C=0.(1)求角A的大小；(2)若a=，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状. 【答案解析】解：(1)∵(2b－c)cos A－acos C=0，由余弦定理得(2b－c)·－a·=0，整理得b2＋c2－a2=bc，∴cos A==，∵0<A<π，∴A=.(2)由(1)得b2＋c2－bc=3及b2＋c2≥2bc得bc≤3.当且仅当b=c=时取等号.∴S△ABC=bcsin A≤×3×=.从而当△ABC的面积最大时，a=b=c=.∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形.19.已知函数f(x)=sin(3π＋x)·cos(π－x)＋cos2（+x）.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=，a=2，b＋c=4，求b，c.【答案解析】解：(1)因为f(x)=sin(3π＋x)·cos(π－x)＋cos2（+x），所以f(x)=(－sin x)·(－cos x)＋(－sin x)2=sin 2x＋=sin（2x－）＋.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(2)由f(A)=得，sin（2A－）＋=，所以sin（2A－）=1，因为0＜A＜π，所以0＜2A＜2π，－＜2A－＜，所以2A－=，所以A=，因为a=2，b＋c=4，①根据余弦定理得，4=b2＋c2－2bccos A=b2＋c2－bc=(b＋c)2－3bc=16－3bc，所以bc=4，②联立①②得，b=c=2.20.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)=3a2＋2bc.(1)若sin B=cos C，求tan C的大小；(2)若a=2，△ABC的面积S=，且b>c，求b，c.【答案解析】解：因为3(b2＋c2)=3a2＋2bc，所以=，由余弦定理得cos A=，所以sin A=.(1)因为sin B=cos C，所以sin(A＋C)=cos C，所以cos C＋sin C=cos C，所以cos C=sin C，所以tan C=.(2)因为S=，所以bcsin A=，所以bc=.①由余弦定理a2=b2＋c2－2bccos A，可得4=b2＋c2－2bc×，所以b2＋c2=5.②因为b>c>0，所以联立①②可得b=，c=.21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋=.(1)证明：sin Asin B=sin C.(2)若b2＋c2－a2=bc，求tan B.【答案解析】解：(1)证明：由正弦定理==，可知原式可以化简为＋==1，因为A和B为三角形的内角，所以sin Asin B≠0，则两边同时乘以sin Asin B，可得sin Bcos A＋sin Acos B=sin Asin B，由和角公式可知，sin Bcos A＋sin Acos B=sin(A＋B)=sin(π－C)=sin C，∴sin C=sin Asin B，故原式得证.(2)由b2＋c2－a2=bc，根据余弦定理可知，cos A==.因为A为三角形内角，A∈(0，π)，sin A＞0，则sin A==，即=，由(1)可知＋==1，所以==1－=1－=，所以tan B=4.22.已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A=sin Asin B.(1)求角C；(2)若c=2，△ABC的中线CD=2，求△ABC的面积S的值.【答案解析】解：(1)由已知得sin2A＋sin2B－sin2C=－sin Asin B，由正弦定理得a2＋b2－c2=－ab，由余弦定理可得cos C==－.∵0<C<π，∴C=.(2)法一：由| |=|＋|=2，可得2＋ 2＋2·=16，即a2＋b2－ab=16，又由余弦定理得a2＋b2＋ab=24，∴ab=4.∴S=absin∠ACB=ab=.法二：延长CD到M，使CD=DM，连接AM，易证△BCD≌△AMD，∴BC=AM=a，∠CBD=∠MAD，∴∠CAM=.由余弦定理得∴ab=4，S=absin∠ACB=×4×=.23.如图所示，在△ABC中，C=，·=48，点D在BC边上，且AD=5，cos∠ADB=.(1)求AC，CD的长；(2)求cos∠BAD的值.【答案解析】解：(1)在△ABD中，∵cos∠ADB=，∴sin∠ADB=.∴sin∠CAD=sin(∠ADB－∠ACD)=sin∠ADBcos－cos∠ADBsin=×－×=.在△ADC中，由正弦定理得==，即==，解得AC=8，CD=.(2)∵·=48，∴8·CB·=48，解得CB=6，∴BD=CB－CD=5.在△ABC中，AB==2.在△ABD中，cos∠BAD==.24.已知函数f(x)=2sin xcos x＋2cos2x－.(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f=，且sin B＋sin C=，求bc的值．【答案解析】解：(1)f(x)=2sin xcos x＋2cos2x－=sin 2x＋cos 2x=2sin（2x＋），因此f(x)的最小正周期为T==π.f(x)的单调递减区间为2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即x∈(k∈Z)．(2)由f=2sin=2sin A=，且A为锐角，所以A=.由正弦定理可得 2R===，sin B＋sin C==，则b＋c=×=13，所以cos A===，25.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=.(1)求角B的大小；(2)点D满足=2，且AD=3，求2a＋c的最大值.【答案解析】解：(1)=，由正弦定理可得=，所以c(a－c)=(a－b)(a＋b)，即a2＋c2－b2=ac.又a2＋c2－b2=2accos B，所以cos B=，因为B∈(0，π)，所以B=.(2)法一：在△ABD中，由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2ac×cos =32，所以(2a＋c)2－9=3×2ac.因为2ac≤，所以(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，即(2a＋c)2≤36，2a＋c≤6，当且仅当2a=c，即a=，c=3时，2a＋c取得最大值，最大值为6.法二：在△ABD中，由正弦定理知===2，所以2a=2sin∠BAD，c=2sin∠ADB，所以2a＋c=2sin∠BAD＋2sin∠ADB=2(sin∠BAD＋sin∠ADB)=6sin（sin∠BAD＋）.因为∠BAD∈（0，），所以∠BAD＋∈（，），所以当∠BAD＋=，即∠BAD=时，2a＋c取得最大值，最大值为6.