专题09分段函数及其应用C辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题09分段函数及其应用C辑

1．已知，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是_____（结果用区间表示）．

【答案】

解：由，

可得：在的图象关于直线对称，

有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，

的图象与直线的位置关系如图所示，

设过原点的直线与相切与点，

由，

则此切线方程为：，

又此直线过原点，

则求得，

即切线方程为：，

由图可知：当的图象与直线的交点个数为2时，

实数的取值范围是，

故答案为．

2．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则实数的取值范围是      .

【答案】.

【解析】

根据题意分析可知，问题等价于命题“，且，使得”是真命题，

当时，问题等价于，设，∴，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，

当时，问题等价于，若：，∵，∴，故不等式显然成立，若：则，综上实数的取值范围是.

3．已知函数，（e＝2.71828…是自然对数的底数），若存在，使得成立，则实数的取值范围是____.

【答案】；

当时，，则，

即在递减，得，

当时，在递增，则，

综合得的值域为.

由题若存在，使得成立，

则，在有解，

即在在有解，

令，，，

则，在递减，的最小值，

又，在递减，的最大值，

则.

故答案为：

4．已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为__________．

【答案】.

【解析】

令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1．

且4个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ， 

则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，

x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有两个不相等的实根，

则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，

即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，

当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，

同理也恒成立；

故λ的取值范围为（0，）．

故答案为（0，）．

5．已知函数(且)在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是________.

【答案】.

解：∵ 函数(且)在上单调递减，

∴ ，解得：，

∵ 关于的方程恰好有两个不相等的实数解，

∴ 与的图象恰好有两个不同的交点，

∵过点，

当与有一交点，

当，时，与有一交点，

即在只有一个根，

所以有一正根和一负数根，

此时，得

或方程有一根为0，则

此时方程的另一根为，满足题意，

综上：，

故答案为：

6．已知函数是定义域为 的偶函数，，都有，当时，，则________.

【答案】5

解：由可知，关于对称，又因为是偶函数，

所以周期为2，则，

.

故答案为:5.

7．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

根据已知，当时，，

则当时，在处取到最小值，

当时，在处取到最小值，

所以在时在处取到最小值,

又因为，

可知当时，在时取到最小值，且，则.

为使当时，恒成立，需，

当时，可整理为，解得；

当时，可整理为，解得.

综上，实数的取值范围是

故答案为：

8．已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）

【答案】②

①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标，

当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点；

当时，由得，即，即，

因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错；

②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令；

做出函数的图像如下：

由图像可得：当时，与有个交点；

当时，与有个交点；

因为函数恰有个不同零点，

则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）；

所以只需，，因此，，

所以；，，因此；故②正确；

③由，得；

所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数；

由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点；

当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点；

若，由基本不等式可得：，即时，；

若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错.

故答案为：②.

9．已知函数若方程有四个解，且，则的取值范围为_________.

【答案】

由题知方程有4个解，

即与的图象有4个不同的交点.

作出2个函数的图象，如图所示，易知当时，有4个不同的交点，则，即，，

所以，

可看作关于的函数，记为，

又当时，，当时，，

所以函数的定义域为.

由题得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以时，，

即的取值范围是.

故答案为：

10．已知函数，若有两个零点，则的取值范围______.

【答案】

当时,, , , 
当, 
综上可知：,

则，有两个根，,(不妨设, 
当时,，当时,, 
令,则，，，，，, 
设，, 所以, ，函数单调递减, , 
的值域为, 取值范围为, 
故答案为：.

11．已知，若对任意，不等式恒成立，则非零实数的取值范围是_____.

【答案】.

，

，

对任意，，不等式恒成立，

即对任意，，不等式恒成立，

在上是增函数，

，即，

又，，

当时，取最小值，

，解得，

又，即，

故，

故答案为：，．

12．已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .

【答案】

画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，

由于，不妨设，可知

故

不妨设

故在单调递减，在单调递增，

故

可得的最小值为

故答案为：

13．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.

【答案】

当时，，

由得：，解得，

由得：，解得，

即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），

当，，

当，，

作出函数的图象如图，

设，

由图象知，当或，方程有一个根，

当或时，方程有2个根，

当时，方程有3个根，

则，等价为，

当时，，

若函数恰有4个零点，

则等价为函数有两个零点，满足或，

则，

即（1）

解得：，

故答案为：

14．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.

【答案】

因为，又当时，，即.

当时，显然成立；

当时，由等价于，

令，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

，则，

又，得，

因此的最大值为.

故答案为：

15．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.

【答案】

设，

则在是偶函数，

当时，，

由得，

记，

，，

故函数在增，而，

所以在减，在增，，

当时，，当时，，

因此的图象为

因此实数的取值范围是.

16．已知函数，数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数t的取值范围是_________.

【答案】

数列的通项公式为,若数列是单调递减数列

函数

当时, .由复合函数单调性性质可知为单调递增函数.则;

当时,为单调递减,则 ,解得

当时,当时, .

因为数列是单调递减数列

所以满足恒成立

而当时,, 单调递减,单调递增

由函数性质可知的解集为

由以上可得满足,所以.即

故答案为:

17．已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为_____．

【答案】

【解析】

解：记，

由，知在和单调，

所以有， 时，，，所以，

所以，即，故，

设，，，则，令，得，

当时，，单调递增，

当，时，，单调递减，

；

所以当时，取极大值也是最大值，即，所以最大值为．

故答案为：，．

18．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

当时，函数在区间上单调递增，

很明显，且存在唯一的实数满足，

当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，

考查函数在区间上的性质，

由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

函数有6个零点，即方程有6个根，

也就是有6个根，即与有6个不同交点，

注意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，

绘制函数的图像如图所示，

观察可得：，即.

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为．

19．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______________.

【答案】

当时，，

当时，

若时，在上是单调递增函数，

所以，满足则，

所以，

，

又，所以.

若时，则，

在上是单调递增函数，此时，

在上是单调递减函数，此时

满足 则

又，所以，

综上，，

故答案为.

20．定义在R上的奇函数，当时,

则函数的所有零点之和为_____．

【答案】

∵当x≥0时，

f（x）＝

即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

画出x≥0时f（x）的图象，

再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，

最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，

∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）＝（﹣x+1），

又f（﹣x）＝﹣f（x），

∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），

∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，

解得x＝1﹣2a，

∴所有根的和为1﹣2a．

故答案为1﹣2a．

21．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.

【答案】.

当时，即

又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；

当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.

综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.

22．已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

当时，，

令，则或；，则，

函数在上单调递减，在单调递增，

函数在处取得极大值为，

在出的极小值为.

当时，，综上所述，的取值范围为

23．已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．

【答案】

解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，

当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，

∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．

当点A，B分别位于分段函数的两支上，

且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，

设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），

∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，

∵•的最小值为0，∴⊥，

∴kPA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，

∴a＝1，∴f（x）max．

故答案为

24．已知函数 满足：①当时，方程无解；②当时，至少存在一个整数使.则实数的取值范围为___．

【答案】

绘制函数的图像如图所示，函数恒过点，

（1）当时，方程无解，考查临界情况，

当时，，，

设切点坐标为，切线斜率为，

故切线方程为，切线过点，

则：，解得：，故切线的斜率，

据此可得，

（2）当x≥0时

时，点两点连线的斜率，

时，，点两点连线的斜率，

据此可得，

综上可得，实数的取值范围为.

25．已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是_______．

【答案】

则当时，抛物线的对称轴为，

若函数有三个不同的零点，不妨设，
即有三个不同的根，

 的图象有三个交点，

作出的图象，

由图可知，,即,

当时，，即，

则，

当时，由,得 ,即，

则，

设，

则导数,

则当时, 恒成立，

即此时函数为减函数，
则，，即，

即，

即的取值范围是，故答案为.

26．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__

【答案】﹣≤a≤2

画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知

27．已知定义在R上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为______．

【答案】

∵，

∴函数的周期为2．

又，

∴函数图象的对称中心为．

在同一个坐标系中画出函数和的图象，如下图所示．

由图象可得两函数的图象交于A,B,C三点，且点A,C关于点对称，

∴点A,C的横坐标之和为．

又由图象可得点B的横坐标为，

∴方程在区间上的所有实根之和为.

故答案为．

28．已知函数，，均为一次函数，若实数满足，则__________．

【答案】2

详解：设三个函数的一次项系数都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且的零点分别是，再进一步分析，

可知，解得，

结合零点以及题中所给的函数解析式，

可求得，

所以可以求得，故答案是2.

29．已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．

【答案】.

【解析】

作出f（x）的函数图象如图所示：

∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），

∴a+b=﹣6，

∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，

由函数图象可知：＜c＜e2，

设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，

显然在（，e2]上单调递增，

∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，

∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，

在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，

又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，

∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．

故答案为2e2﹣12

30．已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

若存在三个互不相等的实数，使得成立，

等价为方程存在三个不相等的实根，

当时，，

，解得，

当时，，只有一个根.

当时，方程存在两个不相等的实根，

即.

设，

，

令，解得，

当，解得，在上单调递增；

当，解得，在上单调递减；

又，，

存在两个不相等的实根，

.

故答案为.