专题13三角函数与解三角形A辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

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2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）专题13三角函数与解三角形A辑1．若、是小于180的正整数，且满足.则满足条件的数对共有（    ）A．2对 B．6对 C．8对 D．12对【答案】A解：、，所以，，结合观察正弦函数的图像，满足的只可能以下两种情况：（1）时，或，所以或.（2）时，同样有，此时，但，则，所以此时没有满足题意的整数对；综合（1）（2），满足题意的有2对.故选：A2．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.3．若，，，且，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A由得即，设，因为，，所以在上单调递增，由，即，，即.所以，由在上单调递增.由，，则，可得，∴，∴，∴，由，，所以∴，∴.故选：A4．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,,，所以 ， , 由正弦定理得，可化简为 ，由 得 从而得 ， ，故选A.5．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A解：因为，，所以，可得：，即，因为为锐角三角形，则有，即，解得：.= ，当时，原式有最大值，此时，则，，，即，所以.故选：A.6．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（    ）A． B． C．3 D．2【答案】A由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴.由于，∴，两边平方，得，当且仅当时取等号，即，∴线段长度的最小值为.故选：A.7．定义在区间的函数有（    ）个零点？（其中表示不大于实数x的最大整数）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D令，则，，则问题转化为求的根的个数.分别作出和的图象，如图所示：则有或或，即或或.或或，或或.或或或或.∴函数有5个零点.故选：D.8．设函数，则下列结论正确的个数是（    ）①当时，的最小正周期为；②当时，的最大值为；③当时，的最大值为．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C①当时，，的最小正周期为，故①正确；②因为，故②正确；③当时，设，，令，，，且当时，取得极小值，极小值为．令，解得．（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以的最大值为．（ⅱ）当时，由，知．又，所以的最大值为，故③错误．故选：C.9．已知函数，则f（x）的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C令为减函数，且所以当时，，从而，当时，，从而，故.故选：C.10．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（    ）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C因为函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，所以 ，解得，因为，所以，因此，①将的图象向右平移个单位长度后函数解析式为，由，得，所以其对称中心为：，故①错；②由，解得，即函数的对称中心为；令，则，故②正确；③由，故③错；④由，得，即函数的增区间为，因此在区间上单调递增，故④正确.故选：C.11．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A根据题意，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则.根据函数的单调增区间满足，解得.当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为.若满足函数在区间和上均单调递增，则 ，解得.故选：A.12．已知正实数，设，.若以为某个三角形的两边长，设其第三条边长为，且满足，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D解：先根据基本不等式得：，，因为其第三条边长为，且满足，所以由余弦定理得：，因为 所以，即，所以.故选：D.13．已知函数图象关于直线对称，由此条件给出5个结论：①的值域为；②图像关于点对称；③的图像向右平移后可得到；④在区间上单调递减；⑤且．则上述所有结论中正确的编号是（    ）A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤【答案】A因为，又由图象关于直线对称，则有，解得，即函数，进而的值域为，故序号①正确，而序号⑤错误；令，，得，显然函数关于点对称，但为其中一个对称点，故序号②正确；将函数图像向右平移后，得，于是序号③正确；易知在区间单调递减，即序号④正确，综上可得，正确序号为①②③④.故选：A．14．给定下列4个独立编号的命题：①设，，且，则二元函数的最小值为20②已知，函数在上是增函数，则的最大值为3③在中，为中点，，在线段上，则的最小值为④若，，则，，则．请你根据逻辑推理相关知识，那么上述所有命题中不成立的编号是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C对于序号①：∵，，且，则，∴二元函数可化为，故序号①正确；对于序号②：∵，函数在上是增函数，即，使在上是增函数，则，显然，而，于是，故的最大值为3．∴序号②正确．对于序号③：由已知条件，∵，当且仅当时取等号，故序号③错误．对于序号④：∵，∴，由于，则，又，则，由于，于是．而，故序号④错误，综上知，不成立的序号为③④，而正确的序号为①②．故选：C．15．△ABC中，BD是AC边上的高，A=，cosB=-，则=（　　）A． B． C． D．【答案】A解：由正弦定理可知，即    故选A．16．已知函数在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间上存在，满足；②在区间有且仅有1个最大值点；③在区间上单调递增；④的取值范围是，其中所有正确结论的编号是(    )A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④【答案】B，，令，则，由题意在上只能有两解和，，（*）因为上必有，故在上存在满足，①成立；开对应的（显然在上）一定是最大值点，因对应的值有可能在上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时是增函数，从而在上单调递增. 所以③成立综上，①③④成立，故选：B.17．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，下列说法：①函数的最小正周期是；②函数的图象关于点成中心对称；③点的坐标是，其中正确结论的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B①中，根据函数的图象以及圆的对称性，可得，两点关于圆心对称，所以，于是，所以，解得，函数的周期为，所以①错误；②中，由函数图象关于点对称，及周期知，函数图象的对称中心为，而不存在的解，所以②错误；③中，由及的相位为0，得，所以，，从而，所以③正确.故选：B.18．若面积为1的满足，则边的最小值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C解：的面积，且，，，根据余弦定理得：，即，可得，，则，解得：，即边的最小值为.故选：C.19．若不等式，对于成立，则，分别等于（    ）A．； B．； C．； D．；【答案】D由，则，当或时，即或时，，当时，即时，，所以当或时，，当时，，设函数，则在上单调递增，在上单调递减，且函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故选：D.A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D函数，函数的定义域为，，所以函数为奇函数．故①正确．，所以函数的最小值正周期为，故函数为周期函数，故②正确．当时，，，不对；故③错误；由在单调递增，而在单调递减，可知在单调递增，函数在单调递增，根据①可知是奇函数，在区间，单调递增，则在区间内单调递增；故④正确；故选：．21．平面四边形为凸四边形，且，，，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D设，在中，，所以，解得，延长交于点，则由得，，若，则，显然点在线段（不含端点）上，所以的取值范围是．故选：D．22．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（   ）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形【答案】D由题 即，由正弦定理及余弦定理得即 故 整理得 ，故 故为顶角为的等腰三角形故选D23．在中，内角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且满足，，若点与点在的两侧，且，，，四点共圆，则四边形面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C由,得,由正弦定理得,又为钝角,,又四点共圆,在中,由余弦定理得:即，当且仅当时,等号成立.同理,在中，，即，,四边形面积的最大值为.故选:.24．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（     ）A． B． C． D．【答案】D函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.由条件为奇函数，则，即又，所以，即关于的方程在内有两个不同的解，即在内有两个不同的解，即在内有两个不同的解，即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，即方程即在内有两个不同的解，由，则，所以，所以则，即，所以，故选：D25．设中角，，所对的边分别为，，，下列式子一定成立的是（    ）．A．B．C．．D．【答案】C对A，令，可判断等式不成立，故A错误；对B,由余弦定理可得，故B错误；对于C选项，由可得，即，整理得，移项可得C选项，故C正确；对于D选项，由，有，，而，可得，故D错误，故选：C．26．已知中，的对边长度分别为，已知点为该三角形的外接圆圆心，点分别为边的中点，则（   ）A． B． C． D．【答案】D如图：


在三角形中，AB=c,BC=a,AC=b.
，
同理，
所以=：：，由正弦定理，可得=，故选：D.27．若直线与函数的图象相交于点，，且，则线段与函数的图象所围成的图形面积是A． B． C． D．【答案】A【解析】线段与函数的图象所围成的图形面积如图阴影部分所示，其面积为 ，选A28．已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（    ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B依题化简得：，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，须为奇函数，且只能为，有如图的两类情况．  29．已知三角形的三边长是公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（   ）A．18 B．15 C．21 D．24【答案】B根据题意设△ABC的三边长分别为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α，∵sinα，∴cosα或，当cosα时，α＝60°，不合题意，舍去；当cosα时，α＝120°，由余弦定理得：cosα＝cos120°，解得：a＝3或a＝﹣2（不合题意，舍去），则这个三角形周长为a+a+2+a+4＝3a+6＝9+6＝15．故选B．30．已知函数有且只有三个零点，则属于(    )A． B． C． D．【答案】D由已知，有且仅有三个不同零点等价于方程有且仅有三个不同实根，等价于与有且仅有三个不同交点，如图当与相切时，满足题意，因为，所以，且，消a得由诱导公式，有，又，所以.故选：D