专题20等差数列与等比数列B辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题20等差数列与等比数列B辑

1．设，无穷数列满足：，，，则下列说法中不正确的是（    ）

A．时，对任意实数，数列单调递减

B．时，存在实数，使得数列为常数列

C．时，存在实数，使得不是单调数列

D．时，对任意实数，都有

【答案】D

对于A，当时，，则即，所以对于任意实数，数列单调递减，故A正确；

对于B，当时，，若，则即，当即时，数列为常数列，故B正确；

对于C，当、时，，，， ，，故数列不是单调数列，故C正确；

对于D，当时，，所以，

所以，，

所以，

当时，，故D错误.

故选：D.

2．已知数列的各项都小于1，，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

由，得，

由于，∴与同号，而，∴，于是，

∴，∴，∴．

又，变形得，

∴，

∴，

而，∴．

故选：B

3．已知等差数列的首项，且，．若，且对任意的，均有，则的最小值为（    ）．

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

，，

，是方程的两根.

易知函数是上单调递增的奇函数，

方程有且仅有一个根，

故，即，

等差数列的公差.

又，

，

，

易知当时，，

，

当时，，

，

而，，，，，

且当时，，

，

.

若最小，则，，

.

故选：C.

4．设数列的前项和为．若，，，则值为（    ）

A．363 B．121 C．80 D．40

【答案】B

因为，

所以有：，

即得到数列是以公比为3的等比数列，

所以有：，

即，

当时有

故选：B

5．数列满足.若存在实数.使不等式对任意恒成立，当时，=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

，故，，，，，

取得到，即，故排除ACD，

现证明成立，

当时，成立，

假设时成立，即，

当时，，

易知函数在上单调递增，

故，即成立，

故恒成立，同理可证.

故选：B.

6．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．3

【答案】D

由，得，

又，所以．

由，

可得，当且仅当时等号成立，

因为，，

所以，所以，

所以，

所以，

所以．

又对任意的，恒成立，

所以，

故的最小值为3．

故选：D

7．设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

构造函数，, 可得,

所以在时单调递增,在时单调递减.

故，即，当且仅当时取等号.

因为，所以，

故，即．

当时，，与题意矛盾，故．

构造函数，，可得，

所以函数在时单调递增，即，故可知．

又因为，所以．

即有.

故选：B.

8．设函数的极值点从小到大依次为，若，，则下列命题中正确的个数有（    ）

①数列为单调递增数列

②数列为单调递减数列

③存在常数，使得对任意正实数，总存在，当时，恒有

④存在常数，使得对任意正实数，总存在，当时，恒有

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】D

由得，

分别作函数和的图象，如图，

因为，所以（1）错误；

，所以（3）正确；

函数的图象，如图，

因为，，，所以（2）错误；

因为，或者，所以（4）错误.

综上，仅（3）正确.所以，正确的个数只有1个.

故选：D.

9．设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

由是6和的等差中项，得，令得 ，又，

得，

则是首项为，公比为的等比数列, 得．

若为奇数，；若为偶数，．

而是关于的单调递增函数，并且，，故最小值是，故此题选B．

10．已知数列中，，且对任意的，都有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

令，则，又，

，，

累加法求和得：

，

故选：B．

11．以下数表构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.

该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后行仅有一个数，则这个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

由题意得：数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行的公差为4，…，第行的公差为，即第2018行公差为，

故第一行的第一个数为：，

第二行的第一个数为：，

第三行的第一个数为：，

第四行的第一个数为：，

…

第行的第一个数为：，

由题意得数表中共有2018行，

所以第2018行只有一个数，且这个数为：

故选：C

12．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

由得，

即，

，当且仅当时取得最小值，

此时.

故选：B

13．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为(    )

A．2020 B．20l9 C．2018 D．2017

【答案】B

是等差数列的前项和，若，

故，，，，故，

当时，，，，

，

当时，，故前项和最大.

故选：.

14．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（    ）

①数列的任意一项都是正整数；

②数列存在某一项是5的倍数.

A．①正确，②错误 B．①错误，②正确

C．①②都正确 D．①②都错误

【答案】A

因为,是方程的两个不等实数根,

所以,,

因为,

所以

,

即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,

又,,

所以,,,

以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;

若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,

由,,依次计算可知,

数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,

故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;

故选:A.

15．已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

当时，则，，

所以，，显然当时，

，故，，若对于任意正整数不等式

恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任

意正整数恒成立，设，，令，解得，

令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，

当时，有单调递减，故数列的最大值为，

所以.

故选：C.

16．已知数列的通项公式，其前项和为，且对任意正整数均成立，则正整数的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

设函数，，则，函数单调递减，且，

故在上恒成立，故，

故

，即，综上，，即．

故选：A.

17．设函数，若常数满足：对，唯一的，使得，，成等差数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

因为对，唯一的，使得，，成等差数列，

所以，即，

因为在上是单调减函数，

所以．

故选：A．

18．设，数列满足则（    ）

A．当 B．当

C．当 D．当

【答案】D

解：对于A，令，则，或，

取，则，……，，故A错；

对于B，令，则，或，，

取，则，……，，故B错；

对于C，令，则，

取，则……，，故C错；

对于D，当时，，，

，，数列为递增数列，

当时，，

∴，故D对；

故选：D．

19．已知数列满足：，，其中为的前项和．若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

当时，由条件，

可得，整理得，

化简得：，

从而，

故，

由于，

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，

则，

整理得，

依题只须，

令，

则，

所以为单调递增数列，

故，

∴，

故选：B．

20．设函数，数列满足，，且，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

由题：，所以，

若，是单调递增函数，不合题意；

所以必有，

，，

即函数在单调递减，在单调递增，

，，即即，

解得

故选：D

21．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

由题意，设每一行的和为

故

因此：

故

故选：D

22．若数列满足，，若对任意的正整数都有，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

，

，

若，则，则，

则，那么可以无限的大下去，不符合题意；

若，则，则，数列单调递增，

又，故，

又，故与同号，则，符合题意；

故选：．

23．已知，直线与曲线相切，设的最大值为，数列的前n项和为，则（    ）

A．存在，

B．为等差数列

C．对于，

D．

【答案】C

设直线y=ax+b与曲线f(x)=lnx−(n−2)相切于点.

.

则.

可得：b=−lna−n+1.

∴ab=−alna+a(1−n).

令g(a)=−alna+a(1−n).n∈N+，a>0.

g′(a)=−lna−n，

可得时,函数g(a)取得极大值即最大值.

,

∴数列为等比数列，且，

∴数列的前n项和.

.

可知A，B，D错误.

因此只有C正确.

故选：C.

24．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

当时，．

所以数列从第2项起为等差数列，，

所以，，．

，，

．

故选：．

25．设、，数列满足，，，则（      ）

A．对于任意，都存在实数，使得恒成立

B．对于任意，都存在实数，使得恒成立

C．对于任意，都存在实数，使得恒成立

D．对于任意，都存在实数，使得恒成立

【答案】D

取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；

由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，

因为当时，数列单调递增，则；

当时，数列单调递减，则；

所以要使，只需要，故，化简得且.

故选：D．

26．已知非常数列满足，若，则(    )

A．存在，，对任意，，都有为等比数列

B．存在，，对任意，，都有为等差数列

C．存在，，对任意，，都有为等差数列

D．存在，，对任意，，都有为等比数列

【答案】B

解：由题意，得.
令，则，
为非零常数且，
均为非零常数，
∴常数，且.
故.
两边同时减去，可得
，
∵常数，且，
，且.
，
∵数列是非常数数列，
，
则当，即，即，即时，
.
此时数列很明显是一个等差数列.
∴存在，只要满足为非零，且时，对任意，都有数列为等差数列.
故选：B.

27．数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（    ）

A．99 B．103 C．107 D．198

【答案】B

由得，

∴为等比数列，∴，

∴，，

∴

，

①为奇数时，，.

②为偶数时，，，

∵，只能为奇数，

∴为偶数时，无解.

综上所述，.

故选:B.

28．已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（    ）

A．9 B．12 C．16 D．18

【答案】D

\

由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.

故选：D

29．如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

，经过一次变换后得到，

点，，，A选项正确；

由题意知

所以，

，

，B选项正确；

           ，

C选项正确；

，

D选项错误.故选D.

30．数列满足：，给出下述命题正确的个数是：（    ）

①若数列满足：，则；

②存在常数，使得成立；

③若（其中），则；

④存在常数，使得都成立

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

由，得，即数列是递增数列．

对于①，若，则，成立，正确；

对于②，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，，不存在常数，使得成立，错误；

对于③，若数列为递减数列，如：，满足题意，，但是，错误；

对于④，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，，故不存在常数，使得都成立，错误．

故选：A．