专题21等差数列与等比数列C辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题21等差数列与等比数列C辑

1．已知数列和满足，，，.则＝_______.

【答案】

，，且，，则，

由可得，代入可得，

，且，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

在等式两边同时除以可得，

所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，

所以，，，

则，

因此，.

故答案为：.

2．已知数列满足，则数列的前40项和为________.

【答案】1260

研究奇数项有：……，

相邻两个奇数项之和为3；

研究偶数项有：，

相邻两个偶数项之和构成等差数列；

所以前40项的和为.

故答案为:1260.

3．已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则______．

【答案】

由题意，数列满足，则，

则，

则

.

故答案为：

4．已知数列的前项和为，若对一切正整数，不等式恒成立，则满足条件的最小整数为______.

【答案】2020

解：当时，，得，

当时，，

整理得 ，等式两边同除得，

则数列是以为首项，1为公差的等差数列，

，

则，

所以不等式对一切正整数恒成立，

即对一切正整数恒成立，

令，当时，最大，

，

解得，因为，，

此时，

，即。

所以满足条件的最小整数为2020.

故答案为：2020

5．已知数列满足：，数列的前n项和为，则______．

【答案】

，

，

，

，

，

，

，

故答案为.

6．已知数列，令，则称为的“伴随数列”，若数列的“伴随数列”的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数取值范围为__________．

【答案】

【解析】

由题意得,所以, 相减得-，所以,也满足. 因此数列的前项和为 ,

7．已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，….记数列的前n项和为，有下列判断：①；②；③；④.其中正确的判断序号是______.

【答案】①③④

①,故①正确；

②在数列中是第项，所以，故②错误；

③，，故③正确；

④

，故④正确.

故答案为：①③④.

8．已知数列为等比数列，且（为自然对数的底数），数列首项为1，且，则的值为__________．

【答案】

【解析】

，因此

9．已知数列中，，则其前项和__________．

【答案】

【解析】

设,化简求出,即,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,所以,故其前项和 .

10．已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

因为，所以，

两式作差得，所以，

两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.

若对恒成立，当且仅当.

又，，

所以，解得：.

即首项的取值范围是.

11．等比数列的相邻两项，是方程的两个实根，记是数列的前项和，则________．

【答案】．

因为，是方程的两个实根，

则由韦达定理得，，，

因为数列是等比数列，则数列的公比，又，所以首项，故

所以，

故数列是以为首项，4为公比的等比数列，

所以．

故答案为：

12．为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是_________.

【答案】

易得中有正有负,则数列中的项一定满足或,且项数为偶数.

不妨设,设公差为,则此时,且.

又

.故.

故有

.

因为,故.因为

故,

故答案为：

13．设，圆（）与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为，若数列满足：，，要使数列成等比数列，则常数________

【答案】2或4

因为圆（）与曲线的交点为,

所以,即,

由题可知,点的坐标为,由直线方程的截距式可得直线的方程为:,

由点在直线上得:,

将,代入并化简得:,

由,得,

又 故数列是首项为4,公比为的等比数列,

故,

即,

所以,

,

令,得:

,

由等式对任意恒成立得:

,即 ,解得或,

故当时, 数列成公比为4的等比数列;

当时, 数列成公比为2的等比数列

故答案为: 2或4.

14．定义函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则_____________．

【答案】

解：由题意得，当时，由于，所以，所以，

则，

当时，由于，所以，所以，

则，

当时，由于，所以，所以，

则，

当时，由于，所以，所以，

则，

以此类推，得，

利用累加法得，，

故答案为：

15．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为______________

【答案】2019

解：等差数列的公差设为，若，

则，，所以公差，，

即，，即，可得，

即数列递减，且，，，，，，

，

则

，

由，要使取最大值，可得取得最小值，

显然，而，

可得时，取得最小值，

故答案为：．

16．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.

【答案】18

当时，，

，

当时，，

，

是以为首项，公差为1的等差数列，，

，

，

又时，

令，

，

，

即，从而.

故答案为：.

17．数列中，，，设的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是_______.

【答案】

，，可得: ，，由，，

可得: ，，，

所以，

，又

所以，

所以

，

由恒成立，即恒成立

，

设，

则，

当时，，即，

当时，，即，

当时，，即，

由二次函数的性质可知当时，

可得，且，

所以，

.

故答案为：

18．已知数列与满足，且为正项等比数列，，.若数列满足对任意的都有，成立，则实数的取值范围______.

【答案】

∵，①∴时，，②

①—②可得，∴.

又∵，，∴，

∴，

∴，∴.

∵，对任意的成立，∴恒成立，

又，

所以恒成立.

∵为奇数时，；为偶数时，，，∴的取值范围是.

19．已知数列的前n项和为，，，且．若对都成立，则实数的最小值为____________．

【答案】

解：∵，

∴，即，

又，∴，

依据叠加法（累加法）可得

，也适合，

∴，

．

代入，得．

令，

，

∴时，即，时，，

当，且时，数列单调递增，

当，且时，数列单调递减；

又∵，，故大值为，

故实数的最小值为．

20．已知函数若对于正数，直线与函数的图象恰有个不同的交点，则数列的前n项和为________.

【答案】

当时，，即，；

当时，函数周期为，画出函数图象，如图所示：

与函数恰有个不同的交点，

根据图象知，直线与第个半圆相切，故，

故，

数列的前n项和为.

故答案为：.

21．数列满足递推公式，且，则___________.

【答案】2020

左右两端同乘以有，从而，，，，将以上式子累加得.

由得.令，有.

故答案为：2020

22．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.

【答案】2

因为,

累加可得.

若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.

所以.

当时,证明：对任意的正整数都有.

当时, 成立.

假设当时结论成立,即,

则,即结论对也成立.

由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.

综上可知,所求实数的最大值是2.

故答案为：2

23．数列中，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.

【答案】

解 : 由数列满足,，

两边取倒数可得：，

数列是等差数列, 公差为1, 首项为2

，

由恒成立,得,

当 为偶数时，, 则，

当为奇数时，,则

∴实数的取值范围为，

故答案为：

24．已知数列满足，，则______.

【答案】

由得，

，又，

所以数列以为首项,以为公差的等差数列,

 ，，所以，

故答案为：.

25．定义：若数列满足，则称该数列为“切线一零点数列”已知函数有两个零点1，2，数列为“切线一零点数列，”设数列满足，，，数列的前n项和为，则________．

【答案】

有两个零点1，2

．

．由题意

，

，，

又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，

则，．

故答案为：

26．设等差数列的公差为d，若，且，则的前n项和取得最大值时项数n的值为______.

【答案】8

由题意，因为，整理得，

可得，即，解得，

所以，

因为时，所以，即，

又由，可得，所以

所以，解得，且，所以，

即的前n项和取得最大值时项数n的值为8.

故答案为：8.

27．已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为________.

【答案】3

解：由，得，

两式相减得，

整理得，，，

两式相减得.数列的各项为正数，，

当 时，，即，解得或（舍）或（舍），

又，解得：或（舍），

则，数列是公差为1的等差数列，，

，，则，

相减得，

，满足不等式的的最小正整数为3.

故答案为:3.

28．数列满足，，实数为常数，①数列有可能为常数列；②时，数列为等差数列；③若，则；④时，数列递减；则以上判断正确的有______（填写序号即可）

【答案】①②③④

对于①：时，，又因为，所以数列为常数列，①正确．

对于②：时，两边取倒数，得，所以，数列为等差数列，所以②正确.

对于③：令，，再令，，，即，解得，，所以③正确．

对于④，令，，归纳猜想，于是，所以④正确．

综上，①②③④都正确．

故答案为：①②③④.

29．我们把一系列向量按次序排列成一列，称之为向量列，记作.已知向量列满足：，，设表示向量与的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

所以，故，

令

则

所以单调递增，所以，则

因为，所以，则

解得

综上所述，

故答案为：

30．已知数列的前项和为，且满足.有以下结论：

①数列是等差数列；②；③.

其中所有正确命题的序号是______.

【答案】①②③

对于①，由条件知，当时，，所以对任意正整数，有，

又时，求得，所以是等差数列，故①正确；

对于②，由①可得，，所以或，

所以，当时，成立；

当时，，故②正确；

对于③仅需考虑，同号的情况即可，可设，均为正，（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），

由②得，，

此时，，

从而

，故③正确；

综上，正确的序号①②③.

故答案为：①②③.