专项测试（1）轨迹方程—2022高考二轮解析几何黄金选填题（解析几何篇）专项测试

2022高考二轮解析几何黄金选填题专项测试（1）——轨迹方程

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·广西南宁市·南宁三中）已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【分析】设点，则，利用数量积的坐标计算可得，从而可得正确的选项．

【详解】设点，则，则，，，．

∵，∴，即，整理得，∴动点的轨迹的方程为.

【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，

（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.

（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.

2．（2020·全国高三专题练习）设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且，，则点M的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，根据，得到，结合，即可求解.

【详解】设，由，可得，

则，解得，因为，可得，即.

3．（2022·贵州安顺市）已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先设点和中点，再根据中点坐标公式得到中点的轨迹方程即可.

【详解】设点，中点，因为点是中点，所以，则

又因为点满足椭圆方程，所以,所以，化简得：

所以满足，所以中点的轨迹方程为

4．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学）平面直角坐标系中，已知两点，，若点满足 (为原点)，其中，且，则点的轨迹是（    ）

A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线

【答案】A

【分析】设，由向量坐标运算可得到，由此利用表示出，代入整理得到轨迹方程，从而得到结果.

【详解】设，则，解得：    ，整理得：点的轨迹是直线

5．（2020·全国高三专题练习）在平面内两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是　　

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段

【答案】A

【分析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出动点M的坐标，由M到这两定点的距离的平方和为26列等式，整理后得答案．

【详解】设两定点分别为A，B，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系如图：

，则，，设，则，

即．整理得：．的轨迹方程是．

6．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中）已知F1，F2分别为椭圆C：的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为（     ）

A．(y≠0) B．＋y2＝1(y≠0)

C．＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)

【答案】C

【分析】设P(x0，y0)，G(x，y)，利用三角形的重心的坐标公式可得，将其代入可得结果.

【详解】依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得，即 ，将其代入得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．

7．（2020·全国高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（   ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．

8．（2020·长沙市·湖南师大附中高）设为椭圆上任意一点，，，点满足，，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】题意可得，为椭圆两焦点，由点满足，，可得，可得长为定值，可得点的轨迹方程.

【详解】由椭圆方程，得，，

，则，为椭圆两焦点，由题意点满足，，可得点P在延长线上，且，.点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，其方程为.

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，对而不全得3分，否则得0分）．

9．（2020·河南安阳市·林州一中）在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则（    ）

A．曲线经过坐标原点 B．曲线关于轴对称

C．曲线关于轴对称 D．若点在曲线上，则

【答案】BCD

【分析】利用直接法可得曲线的方程为，然后逐一验证A，B，C，D.

【详解】设，由已知，，即，平方得，不满足方程，故选项A错误；用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故B正确；同理用用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故C正确；令，得，即，所以，故，D正确.

10．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ）

A．的方程为            B．在上存在点，使得到点的距离为3

C．在上存在点，使得    D．在上存在点，使得

【答案】ABD

【分析】设点P的坐标，利用，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．

【详解】设点P（x，y），、，由，得，化简得x2+y2+8x＝0，即：（x+4）2+y2＝16，故A选项正确；曲线C的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为，与圆上的点的距离的最小值为﹣4，最大值为+4，而3∈[﹣4，+4]，故B正确；对于C选项，设M（x0，y0），由|MO|＝2|MA|，得，又 ，联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C选项错误；对于D选项，设N（x0，y0），由|NO|2+|NA|2＝4，得 ，又，联立方程消去y0得x0＝0，解得y0＝0，故D选项正确．

11．（2020·全国高三专题练习）已知点，，若圆上存在点M满足，则实数a的值可以为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】首先求得点的轨迹方程，由题意可知两圆与有公共点，然后列式求的取值范围.

【详解】设，， 由，得，

所以，依题意可知，当两圆与有公共点时，满足圆上存在点M满足，所以，

解得：，所以选项中满足条件的有-2，-1,1.

12．（2020·云南高三期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线仅有1条

【答案】AC

【分析】根据已知求得曲线的方程，求得曲线的离心率，其渐近线与圆的位置关系，以及弦长AB，逐一判断选项即可.

【详解】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；又离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C正确；直线与曲线的方程联立整理得，

设， ，且，

有，所以，要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·河北邯郸高三）一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且，则点P的轨迹方程是________.

【答案】

【分析】

设，由，得到，代入，即可求解.

【详解】设，则，因为，所以，

所以，即，代入，得，即.

14．（2020·云南海口高三）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（﹣1，0），B （1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1）；（2）；（3）∥，则△ABC的顶点C的轨迹方程为_____．

【答案】x21（y≠0）

【分析】由题目给出的条件，分别得到G为三角形ABC的重心，M为三角形ABC的外心，设出G点坐标，由，可知M和G具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C点的坐标，然后由M到A和C的距离相等列式可得G的轨迹方程，利用代入法转化为C的轨迹方程．

【详解】由得，G为重心，由得，M为外心．所以M点在y轴上（M到AB两点距离相等）．又，则．设M为（0，y），G为（x，y）（y≠0），由重心坐标公式得C为（3x，3y）．再由MA＝MC，得 整理得：9x2+3y2＝1①．再设c（x'，y'），由3x＝x'，3y＝y'得x，y．代入①得：（x′）21．所以△ABC的顶点C的轨迹方程为，．

15．（2020·上海奉贤区·高三一模）设平面直角坐标系中，为原点，为动点，，，过点作轴于，过作轴于点，与不重合，与不重合，设，则点的轨迹方程是__________．

【答案】（且）

【分析】设出点的坐标，根据，可以知道点的横坐标和纵坐标之间的关系，由可以求出的坐标，进而根据已知的条件，求出、的坐标，设出点的坐标，通过，可以得到的坐标和的坐标之间的关系，再根据点的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点的轨迹方程.

【详解】设点，因为，所以有，因为，所以有

，由题意可知：，，因为与不重合，与不重合，所以且，，设，因为，所以有，而，所以，又因为且，所以且.

16．（2020·山东淄博高三）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.

① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；

④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）

【答案】②④

【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.

【详解】设点P的坐标为：P（x，y），依题意，有：，整理，得：，

对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，椭圆方程为：，则，解得：，符合；对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是②④.