专项测试（6）双曲线方程与渐近线方程—2022高考二轮解析几何黄金选填题（解析几何篇）专项测试

2022高考二轮解析几何黄金选填题专项测试（6）—双曲线方程与渐近线方程

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·河南郑州高三）已知双曲线C：（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为双曲线C的渐近线过点，所以双曲线C的渐近线为，设双曲线的方程为，又因为双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，所以，解得，所以双曲线的方程为.

2．（2022·山东淄博高三）已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线，的倾斜角分别为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，.因为，，则，所以.又，所以.所以.所以.所以.所以双曲线的渐近线方程为.

3．（2020·河北唐山高三）设F为双曲线E：的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝－1，则双曲线E的方程是（    ）

A．－＝1 B．－＝1

C．－y2＝1 D．x2－＝1

【答案】D

【详解】双曲线E：的渐近线方程为，因为四边形OAFB为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c＝2a，所以.则有解得P.因为|PF|＝－1，所以，解得a＝1，则b＝，故双曲线E的方程为x2－＝1.

4．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】双曲线的离心率为 ，在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上，所以椭圆的离心率为，由条件可得解得：，所以双曲线的渐近线方程为：。

5．（2022·天津滨海新区·高三期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为到其焦点的距离为5，故，故，故抛物线的方程为，故.

因为离心率为，故，故，根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则，则与渐近线垂直，故，故，故，故双曲线方程为：.

6．（2022·全国高三专题练习），是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，其中是双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以设，所以，

所以，所以为直角三角形，又因为，

所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以且，

所以，所以，所以渐近线方程为，

7．（2022·天津高三期末）已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，即，又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以焦点到的距离为，所以，又由，所以双曲线的方程为.

8．（2020·河南高三月考）已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，则，因为，所以，即，，，因为，所以，

因为，所以，即，，，故双曲线的渐近线方程为。

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，对而不全得3分，否则得0分）．

9．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点

【答案】AC

【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．双曲线的方程为，故正确；对于B：由，，得，双曲线的离心率为，故错误；对于C：取，得，，曲线过定点，故正确；对于D：双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与有1个公共点，故不正确．

10．（2020·江苏南通市·海安县实验中学）己知双曲线的一条渐近线过点，点为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的离心率为

B．双曲线的渐近线方程为

C．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的方程为

D．设为坐标原点，若，则的面积为

【答案】ABC

【详解】对于A. 双曲线的一条渐近线过点，所以渐近线方程为，所以，所以，故A正确.对于B. 双曲线的一条渐近线过点，所以渐近线方程为，即，故B正确.对于C. 若点到双曲线的渐近线的距离为，则，根据A：可得，，所以双曲线的方程为，故C正确.对于D. 若，则，所以，故D不正确.

11．（2020·江苏苏州市·高三月考）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的离心率为

B．双曲线与双曲线有相同的渐近线

C．若到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为

D．若直线与渐近线围成的三角形面积为则焦距为

【答案】BCD

【详解】渐近线的方程为，因为一条渐近线过点，故即，故离心率为，故A错误.又渐近线的方程为，而双曲线的渐近线的方程为，故B正确.，若到渐近线的距离为2，则，故，所以双曲线的方程为，故C正确.直线与渐近线的两个交点的坐标分别为：及，故即，而，故，，所以，所以，故焦距为，故D正确.

12．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为 B．直线的倾斜角为

C．圆的面积等于 D．与的面积之比为

【答案】ACD

【详解】根据题意可得，，解得，所以双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；因为以为直径的圆过点，所以，根据（1）渐近线为，可得渐近线倾斜角，易知，所以，所以直线的倾斜角为或，故选项B错误；根据双曲线的对称性，不妨设直线的倾斜角为，由可得直线的方程为，分别与渐近线方程和联立，解得或，则，，此时，故圆的半径，其面积，故选项C正确；因为为与的公共边，所以与的面积之比等于，故选项D正确.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·上海长宁区·高三一模）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，､是以为直径的圆与双曲线渐近线的两个交点.若，则___________.

【答案】

【详解】

由已知可得，又点在渐近线 上，，又，

14．（2020·全国高三专题练习）设点､分别是双曲线：()的左､右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于､两点.若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为_____.

【答案】

【详解】

设，则､，，则，

则，，故该双曲线的渐近线方程为.

15．（2020·陕西高三）设点、分别是双曲线：()的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点.若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为_______.

【答案】

【详解】设，，将代入可得：，即，

所以、，，则，

则，又因为，解得：，所以，故该双曲线的渐近线方程为.

16．（2020·全国高三专题练习）过双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点F1作圆x2＋y2＝a2的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段PF1的中点(点M在切点T的右侧)，若的周长为4a，则双曲线的渐近线方程为________．

【答案】y＝±x

【详解】连接OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝＝b.设双曲线的右焦点为F2，连接PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，所以OM＝PF2，

所以|MO|－|MT|＝|PF2|－＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a.又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a，故|MO|＝，|MT|＝，在中， 由勾股定理可得a2＋＝，，所以渐近线方程为y＝±x.