专项测试（9）抛物线方程—2022高考二轮复习黄金选填题（解析几何篇）

这是一份专项测试（9）抛物线方程—2022高考二轮复习黄金选填题（解析几何篇）

2022高考二轮解析几何黄金选填题专项测试（9）——抛物线方程一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·广东高三月考）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由题意有且直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，即可求，进而得到抛物线准线方程.【详解】由抛物线方程知：焦点为，即，∴设，线段的中点的横坐标为2，∴， 联立直线、抛物线方程得：，有，∴综上有：，故抛物线准线方程为，2．（2022·云南昆明市·昆明一中）已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（ ）A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x【答案】D【分析】根据AB⊥x轴，且AB过点F，易知|AB|＝2p，再由S△CAB＝×2p×求解即可.【详解】因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.3．（2020·全国高三专题练习）如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若|，则此抛物线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM、BN垂直准线于点M、N，可得，联立直线与抛物线可得，求出即得抛物线方程.【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6，则x=1，而，由直线AB：，代入抛物线的方程可得， ，即有，故： ，故抛物线的标准方程为： .4．（2020·福建高三其他模拟）抛物线焦点，过上一点作直线垂直准线于点，恰好为等腰直角三角形，其面积为，则抛物线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的定义可知，若恰好为等腰直角三角形，则，根据的面积为可求得的长，从而得出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线方程便可得到的值.【详解】根据抛物线的定义，得，又恰好为等腰直角三角形，所以，∴，∴，∴，将其代入，得，解得∴抛物线方程为.5．（2020·山西太原市·太原五中高三）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.【详解】将转化为,当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.所以抛物线的方程为或6．（2020·山西大同市·大同一中高三）已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程．【详解】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限），可知，，，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，所以，则三角形是正三角形，因为是的中点，，所以是的中点，所以，，，所以，则，由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，所以，则，可得，所以抛物线方程为：．7．（2020·四川省绵阳南山中学高三）设抛物线：的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆过点，则的方程为（ ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】首先设出点的坐标，根据题意可知以线段为直径的圆与轴相切，利用焦半径公式和几何关系得到点的坐标，建立方程求.【详解】设，，由条件可知，即，并且线段的中点纵坐标是，所以以线段为直径的圆与轴相切，切点坐标，所以，即，代入抛物线方程，整理为，解得：或，即抛物线方程是或.8．（2022·全国高三专题练习）设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为( )A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据线条长度关系解除A、B点横坐标（用表示），然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.【详解】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，设点，由得，即……①，又因为,所以,所以，所以……②，由①②可解得，在中，，，所以，所以,解得或（舍去），二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，对而不全得3分，否则得0分）． 9．（2020·山东高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6【答案】BC【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得，设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求的最小值.【详解】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，点到焦点的距离等于3，可得，解得，则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，由，消去得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为，在等腰中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，10．（2020·蕉岭县蕉岭中学高三）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（ ）A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x【答案】BCD【分析】根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】根据题意，作图如下：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，，，所以A不正确，焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.11．（2020·山东高三其他模拟）设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）A．抛物线的方程为 B．的最小值为6C．存在直线，使得、两点关于对称D．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切【答案】BD【分析】根据得到故，错误，，正确，计算中点在抛物线上，错误，计算，正确，得到答案.【详解】，故，，故，错误；过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；设，，设中点则，，相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；12．（2020·全国高三专题练习）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）．A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线方程是C．直线的方程是 D．的面积是【答案】AD【分析】根据已知可得横坐标和，再由焦半径公式，求出，判断选项A；求出抛物线的准线方程，判断选项B；设直线方程为，与抛物线方程联立，设得到关系，进而求出的值，建立的方程求解，可判断选项C；利用利用关系，即可求解，判断选项D.【详解】设，，根据抛物线的定义可知，又的中点到轴的距离为6，∴，∴，∴．∴所求抛物线的方程为．故A项正确；抛物线的准线方程是，故B项错误；设直线的方程是，联立，消去得，则，所以，解得，故直线的方程是或．故C项错误；．故D项正确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．（2020·河南周口市·高三）已知抛物线：（），以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于，两点，若（点为坐标原点），则______.【答案】8【分析】在中，利用余弦定理求得，进而得到，然后由，求得点A的坐标，代入抛物线方程求解.【详解】如图所示：在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，代入方程，解得.14．（2020·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．【答案】【分析】由为等边三角形知，可得PM垂直于准线，设点P坐标可得M坐标，由两点间的距离公式计算可得答案.【详解】因为为等边三角形，所以，由抛物线的定义可得PM垂直于抛物线的准线，设，则点，因为焦点，是等边三角形，所以，解得，所以抛物线方程为.15．（2020·江苏徐州市·高三期中）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_______．【答案】【分析】在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，根据题意求得抛物线的标准方程，可求得该抛物线的焦点坐标，进而可得出结果.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，，解得，所以，所求抛物线的标准方程为，焦点坐标为，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为.16．（2020·全国高三专题练习）设抛物线：()的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交于、两点，若，的面积为，则_______.【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出，，由点A到准线l的距离写出△ABD的面积，从而求出p的值．【详解】∵，∴，又∵，∴，，∴到准线的距离，∴，解得.