方法技巧专题09 直线与圆锥曲线-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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 方法技巧专题9 直线与圆锥曲线 解析版
、 知识框架

二、直线与圆锥曲线的
直线与圆锥曲线的位置关系：
1.代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立，消去(也可以消去)，整理得到关于（或者）的一元方程.
（1）当时：计算.
若Δ＞0，则与相交；
若Δ＝0，则与相切；
若Δ＜0，则与相离；
（2） 当且时：即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点。
若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像，利用图象和性质可判断与的位置关系．


1.例题
【例1】已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）
A． 相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【解析】直线：化为，
可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.
所以直线与椭圆相交，
故选：B.
【例2】已知点为曲线上两个不同的点，的横坐标是函数的两个极值点，则直线与椭圆的位置关系是（ ）[来源:Z&xx&k.Com]
A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定
【解析】由，得，
因为的横坐标是函数的两个极值点，
所以是方程的两根，
因此，又点为曲线上两个不同的点，
所以
因此直线的方程为：，
即，
即直线恒过定点，又点显然在椭圆内，
因此直线与椭圆必相交.
故选：C.
【例3】已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数__________.
【解析】依题意椭圆，则，，又因为，是直线上一点，若的最小值是，则此直线与椭圆相切.由消去并化简得，判别式，解得.
故答案为：.
【例4】直线与曲线（　　 ）
A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点
【解析】当时，曲线为，与直线方程联立得：
解得：， 此时直线与曲线有两个交点
当时，曲线为，与直线方程联立得：
解得：（舍）， 此时直线与曲线有一个交点
综上所述：直线与曲线有三个交点
故选：
【例5】已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得.
故选：D.

【例6】已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆
相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【解析】

如图，由题可知，，则，
又，，，
又，
作，可得，，则
在，，即，
又，化简可得，同除以，得
解得，双曲线的离心率为
【例7】若直线是抛物线的一条切线，则_________
【解析】联立直线和抛物线得到．
故答案为：.
【例8】已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】据已知可得直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，
由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，
故有，解得或.
【例9】过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解析】画出图像如下图所示，由图可知，这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过点还可以作出一条与抛物线相切的直线，故符合题意的直线有条，故选C.


2.巩固提升综合练习
【练习1】已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】双曲线的方程为，
所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，
为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，
将代入方程，整理可得.
①当时，满足题意；
②当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，
，且是方程的根，
则，解得.
所以，当时，.
根据对称性可知，当时，可求得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【练习2】对不同的实数值,讨论直线与椭圆的位置关系.
【解析】由消去得，

当时，，此时直线与椭圆相交；
当 ，此时直线与椭圆相切；
当，此时直线与椭圆相离.
【练习3】过点和双曲线仅有一交点的直线有（　　）
A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定
【解析】直线斜率不存在时,不满足条件；
直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意
∴过点和双曲线仅有一交点的直线有2条
故选:B．
【练习4】已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是，
渐近线斜率，而，
由此得不等式，即，
故，所以，
故选：C．
【练习5】已知抛物线，直线l过定点(-1,0)，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l的斜率是__________.
【解析】由题意可设直线方程为：y＝k（x+1），
联立方程可得，，整理可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0（*）
直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根
①k＝0时，y＝0符合题意
②k≠0时，△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0
整理，得k2＝1，
解得或k＝﹣1．
综上可得，或k＝﹣1或k＝0．
故答案为﹣1或0或1
【练习6】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，过作直线与抛物线相切，切点为，则的面积为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【解析】抛物线的焦点为,椭圆的焦点为,所以,即,
所以抛物线方程为:,则为,
设直线为,则联立,消去,可得,
因为直线与抛物线相切,所以,则,
当时,直线为,则点为,则,
由抛物线的对称性,当时,,故选:C


直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题
【一】弦长公式
弦长公式：
（1）题设：若斜率为的直线与圆锥曲线方程有两个不同的交点，则
或；
（2）通径：①过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为：；
②过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为：；
（3）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则
① ； ② ；
（4）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则
① ； ② ；



1.例题
【例1】斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B. C. D.
【解析】选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
【例2】已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
【解析】(1)由题意得解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝＝＝＝ .
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
【例3】椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
【解析】(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，
又e＝，所以＝，c＝1，
所以b2＝22－1＝3，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，
由得5x2＋8x＝0，
解得x1＝0，x2＝－，
所以y1＝，y2＝－.
所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.
【例4】已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为( )
A． B． C． D．
【解析】，
∴.
【例5】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．[来源:学*科*网]
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
【例6】已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.
【解析】不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以直线方程为y＝－2(x－4)，与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.
答案：12
【例7】已知斜率为1的直线l与双曲线y2＝1的右支交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为（ ）
A． y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
【解析】设斜率为1的直线的方程为，
联立双曲线方程，可得，
设，，，，可得，，
则，
解得，由于直线与双曲线的右支交于两点，可得，
则直线的方程为．
故选：．
【例8】过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为______.
【解析】
当直线不存在斜率时，直线方程为，此时把代入双曲线方程中可得：，此时，这样有两条直线过左焦点作弦只与双曲线左支相交，使；
直线与双曲线左右两支都相交时，弦的最小值为，所以过左焦点作弦与左右两支都相交，使的直线是不存在的.
故答案为：2
【例9】已知双曲线
（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？
【解析】（1）设直线与的交点
联立方程组，化简得：，
解得，所以，
所以弦长
（2）假设存在直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.
设,,易知,由
两式相减得,
又,，所以,所以,
故直线的方程为,即.
由,消去得,
因为,方程无解,
故不存在一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.


2.巩固提升综合练习
【练习1】已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．[来源:学科网]
【解析】(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立整理得y2－y－9＝0，
则Δ＝＋144＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝2，所以y1＝－2y2，
所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，
则3＋4k2＝8，解得k＝±，
又k＞0，所以k＝.
【练习2】已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，
则原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直.
设其直线方程为，代入（1）得
.
设，则，.
由，得，解得.
从而.
于是.[来源:学&科&网]
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
【练习3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为．
（1）若，求的方程；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．
所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．故．
【练习4】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（ ）

A． B． C． D．
【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.

由，得：，
由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，
由抛物线焦半径公式可得：，解得：，
，解得：，
本题正确选项为B.
【练习5】已知复数满足：（），且在复平面上的对应点的轨迹经过点.
（1）求的轨迹；
（2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于、两点，求的面积.
【解析】（1）由于复数满足：（），所以在复平面上的对应点到、两点的距离之差为常数，且.所以的轨迹是双曲线的右支.且.设轨迹的方程为，将点代入上式得，解得或（舍去），所以的轨迹方程为.
（2）依题意，直线的方程为，由消去得.
设，则.
所以.
到直线的距离为.
所以.
【练习6】已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点．
(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；
(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．
【解析】(1) 设双曲线C：，点代入得： 

∴双曲线C：
在△PF1F2中，设 ，
∴ ，由②得：，
，  ，
∴；

(2) ∵ 
∴ ，
1°当直线AB斜率不存在时，，不符合题意（舍）
2°当直线AB斜率存在时，设AB： ，
联立： ，
∴，
解得：，此时 ，
∴直线l方程：或.


【二】面积问题
面积问题：
涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.
(1)椭圆焦点三角形面积：
(2)双曲线焦点三角形面积：
(3)抛物线：

①题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与C交于两点，其中，则：
.
②题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与C交于两点，其中，则：
.



1.例题
【例1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】抛物线焦点为，准线方程为，
由得或
所以，故答案为C．
【例2】已知点是抛物线：的焦点，直线与抛物线相切于点，连接交抛物线于另一点，过点作的垂线交抛物线于另一点.

（1）若，求直线的方程；
（2）求三角形面积的最小值
【解析】（1）由得,
设直线的方程为,
由得,
因为直线与抛物线相切,故,解得.
故所求直线的方程,即.
（2）设切线的方程为,,,
又由,,三点共线,故,,,
化简可得,,
,
由得,
因为直线与抛物线相切,故,即,
故直线的方程为,,
因此点到直线的距离为
,
由得,,,
故,
所以[来源:Z_xx_k.Com]

等号成立当且仅当,即时等号成立.
此时三角形面积的最小值为16.
【例3】已知点，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若△的面积为9，则_______
【解析】,的面积为9，
设，．则可得：，
即，解得．
【例4】已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
【解析】（1）设，因为直线的斜率为，
所以，. 又
解得，所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离所以，
设，则，
，当且仅当，即，
解得时取等号，满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
2.巩固提升综合练习
【练习1】抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,,垂足为K,则的面积是( )
A．4 B． C． D．8
【解析】由抛物线可得,
因为斜率为,则直线方程为,
联立,消得,解得,,
因为交点在轴上方,所以,则,
则,
则由抛物线定义可得,
因为直线斜率为,即倾斜角为,因为,所以轴,即,
所以,故选:C
【练习2】已知为椭圆上一点，是椭圆的焦点，，则的面积为________．
【解析】由椭圆方程得：，，
设，，则
在中，由余弦定理得：
解得：

【练习3】如图所示,直线与椭圈交于A､B两点,记面积为S;
(1)求在,的条件下S的最大值;
(2)当,,时,求直线的方程;

【解析】设,,
（1）当时,,联立,即,
所以,,所以,
则,
因为,所以设,则,,
则,
因为,所以,则的最大值为1
（2）因为,,所以,即,
联立,则,
所以,,
则
,
整理可得,解得,所以或（舍）,
则,所以或,
所以直线的方程为或
【练习4】已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成四边形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.
【解析】（Ⅰ）由题意知，得，，
所以，
由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4，得，
所以，，椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，
令，得，，
当直线的斜率存在时，设:，，，，
由，得，
则，，
所以，，
将代入，得，
又因为 ，
原点到直线的距离，
所以

.
当且仅当，即时取等号.
综上所述，面积的最大值为1.


课后自我检测
1.已知直线与抛物线交于，两点，则等于（ ）
A． B．6 C．7 D．8
【解析】方法一：设为,为,联立得,
因为,则,
所以
方法二：
故选：D
2.已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)
A. B. C. D．2
【解析】选B　由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，，所以|AB|＝.
3.已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且
|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
【解析】因为椭圆＋y2＝1(a＞0)的焦点在x轴上，所以c＝，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝± ，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝.
答案：
4.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则线段的长是（ ）
A. B. C. D.
【解析】方法一：当直线垂直于轴时，，不符合题设；
当直线不垂直于轴时，设方程为，即.
点到直线距离.
联立得，
设,
则由韦达定理得,,,
所以由弦长公式得,,
因为的面积为,
所以，所以，所以.
故选C.
方法二：，所以，所以
5.若直线l交双曲线的左，右两支于A，B两点，O为坐标原点，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【解析】设直线OA的方程为，与联立得，，
．
则直线OB的方程为（），同理求得，
．
故选B．
6.已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】∵
∴化简可得
∵直线与抛物线有两个不同交点
∴，且等价于，且，
“”不能推出“直线l与抛物线C有两个不同交点”，
“直线l与抛物线C有两个不同交点”能推导出
∴“”是“直线与抛物线有两个不同交点”的必要不充分条件
故选B
7.已知双曲线的右焦点为F，过F做斜率为2的直线, 直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围________
【解析】因为过做斜率为2的直线,直线与双曲线的右支有且只有一个公共点,所以,
所以,又因为,所以
故答案为：
8.已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）
A． B． C．6 D．
【解析】双曲线，则，所以右焦点，
根据题意易得过的直线斜率存在，设为，
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为4，所以，
解得，所以，
则，
则．
故选：D．
9.已知双曲线的虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求．
【解析】（1）双曲线的虚轴长为，离心率为，
∴解得，，，
∴双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，，，
由，得，其中，，，
.
10.已知椭圆：，短轴长为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若已知点,求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为.
(2)方法1：由,消去x,得,判别式,
设点,的坐标分别为,, 所以,
所以的面积
方法2：由,消去y,得,判别式,
设点,的坐标分别为,, 所以,
又因为点到直线的距离,
所以的面积
11.已知椭圆的左焦点为，经过点的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为坐标原点.当直线的斜率为时，直线的斜率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，两点，记的面积为，的面积为，求的最大值.
【解析】（1）设，，则点，由条件知，
直线的斜率为，直线的斜率为，
而，两式作差得，，
所以，即，
又左焦点为，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，记，过标为，，
则，
，
所以.
联立方程，，消去，得，
所以，，
，令，则，且，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为.