方法技巧专题14 导数与切线方程问题-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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 方法技巧专题14 导数与切线方程 解析版
一、导数与切线方程问题知识框架

二、导数与切线方程问题题型分析
【一】已知切点求切线
已知切点(x0 , y0)求切线方程
1. 表述：在某点处的切线方程，该点为切点。
2. 求切线方程的基本思路
（1） 求导：利用求导公式进行求导f ’(x)
（2） 求k: 将切点的横坐标x0代入f ’(x0)=k
（3） 求线：利用点斜式y-y0=f ’(x0)(x-x0)
注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。

1.例题
【例1】曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．[来源:Zxxk.Com]
【答案】D
【解析】，选D.
【例2】函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,
由题得，
所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即：故选：A
【例3】已知函数的导函数为，且满足，若曲线在处的切线为，则下列直线中与直线垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，令，则，即.，，所以的方程为，所以直线与直线垂直.选B.



2.巩固提升综合练习
【练习1】若函数f(x)=x2ln2x，则f(x)在点(12,0)处的切线方程为（ ）
A．y=0 B．2x-4y-1=0 C．2x+4y-1=0 D．2x-8y-1=0
【答案】B
【解析】由题得f'（x)=2xln2x+x2⋅1x=2xln2x+x，
所以切线的斜率k=f'（12)=12，
所以切线方程为y-0=12(x-12),∴2x-4y-1=0.故选：B[来源:学科网ZXXK]

【练习2】曲线在点处的切线方程为_____．
【答案】2ex﹣y﹣e＝0
【解析】函数的导数为f （x）＝ex+xex，则f （1）＝e+e＝2e，即切线斜率k＝f （1）＝2e，又f（1）＝e，即切点坐标为（1，e）．所以切线方程为y﹣e＝2e（x﹣1），即切线方程为2ex﹣y﹣e＝0．故答案为：2ex﹣y﹣e＝0．

【练习3】曲线在点（0,1）处的切线方程为________.
【答案】
【解析】求导函数可得，y′＝（1+x）ex当x＝0时，y′＝1
∴曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即．
故答案为：．

【二】过某点求切线
未知切点求切线方程
1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程
2.求切线方程的基本思路
（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线
①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。
②曲线等式不成立，即该点不是切点
（2）该点(x1 , y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路
①设点：设切点(x0，y0)
②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=y1-y0y1-x0和y0=f(x0)（即将切点代入原函数）联立解x0
③求k: 利用k＝f′(x0)
④求线：利用点斜式y-y0=f ’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f ’(x0)(x-x1)



1.例题
【例1】已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．
【答案】
【解析】 由函数，则，
当点为切点时，则，即切线的斜率，
所以切线的方程为，即，
当点不是切点时，设切点，则，即，
解得或（舍去），所以[来源:学&科&网]
所以切线的方程为，即.
【例2】已知曲线f(x)=1x，则过点(-1,3)，且与曲线y=f(x)相切的直线方程为 。
【答案】y=-x+2或y=-9x-6
【解析】设切点为(x0,y0),切线斜率k=f'(x0)=-1x02 ，
则切线方程是y-y0=-1x02(x-x0)，又过点(-1,3)，所以3-y0=-1x02(-1-x0)， ①
又y0=1x0，②由①②解得，x0=1y0=1 或x0=-13y0=-3 ，代入切线方程化简可得：
切线方程为x+y-2=0 或9x+y+6=0.

2.巩固提升综合练习
【练习1】过点p(-4,0)作曲线y=xex的切线，则切线方程为_______________________.
【答案】x+e2y+4=0
【解析】点p(-4,0)不为切点，可设出切点Mm,n，则n=mem，①
又y'=ex+xex，则切线斜率为k=1+mem=k=nm+4，②
由①②得，m=-2,n=-2e-2,k=-e-2，故切线方程为y-0=-e-2x+4，
即x+e2y+4=0，故答案为x+e2y+4=0.
【练习2】过坐标原点(0, 0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为________.
【答案】y=ex
【解析】因为y=ex， 所以y'=ex,设切点坐标为m,em，
则切线斜率为em，切线方程为y-em=emx-m，
把原点坐标代入切线方程可得m=1，
所以过坐标原点(0, 0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为y=ex,故答案为y=ex.

【三】利用切线求参数

1.例题
【例1】已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（　　）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【解析】，当时，切线的斜率，
切线方程为，因为它与抛物线相切，
有唯一解即
故 ，解得，故选C.
【例2】已知函数f(x)=x+a2x.若曲线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．(-∞,1)∪(2,+∞) B．(-∞,-1)∪(2,+∞)
C．(-∞,0)∪(2,+∞) D．(-∞,-2)∪(0,+∞)
【答案】D
【解析】f'x=1-a2x2，设切点坐标为（x0,x0+a2x0），
则切线方程为y-x0-a2x0=(1-a2x02)(x-x0)，
又切线过点（1,0），可得-x0-a2x0=(1-a2x02)(1-x0)，
整理得2x02+2ax0-a=0，
曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足
Δ=4a2-8-a>0，解得a>0或a0，若x20,即1p=ex22-1x2在0，+∞有两解，令f(x)=ex2-1x,f'x=ex2-1x2-1x2,00,∴fx在（0，2）单减，在（2，+∞）单增，fx的最小值为f2=12，又x→+∞,fx→+∞,x→0,fx→+∞,故1p>12,解00恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1,x2,x3，则x2-x1tanx1-x3=________.
【答案】-12
【解析】由题意，直线4kx-4y-kπ=0(k>0)可得y=k(x-π4)恒过定点（π4，0），即x2=π4
∵k＞0恰有三个公共点，
其直线必与（x）的相切，因为f（x）关于（π4，0）对称，所以x1+x3=π2．
∴x3=π2-x1，导函数几何意义：f′（2x1）=-sin2x1=k
所以切线方程：y-cos2x1=-2sin2x1（x-x1） 过（π4，0）
所以2（π4-x1）tan2x1=1 ，x2-x1tan(x1-x3)=x1-π4tan(π2-2x1) =(x1-π4)tan2x1=-12
故答案为：-12
37．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ex的切线，则b=___________．
【答案】0或1
【解析】直线与y=lnx+2的切点为x1,y1，与y=ex的切点x2,y2．
故1x1=ex2且ex2-lnx1-2x2-x1=1x1，消去x2得到1+lnx11-1x1=0，
故x1=1e或x1=1，故x1=1ey1=1或x1=1y1=2，故切线为y=ex或y=x+1，所以b=0或者b=1．填0或1．
38．已知函数f(x)=3sinx+16x3在x=0处的切线与直线nx-y-6=0平行，则(x+1x-2)n的展开式中常数项为__________．
【答案】-20
【解析】由题意知，f'x=3cosx+12x2.由题意知f'0=n，即n=3.
x+1x-23=x-1x6，Tr+1=C6r⋅x6-x⋅-1r⋅x-r2=-1r⋅C6r⋅x3-r
保持展开式为常数项，即3-r=0,r=3. 即常数项为-13C63=-20.
故答案为：-20
39．若直线y=kx+b是曲线y=ex的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线，则k=___________．
【答案】1e或1
【解析】设y=kx+b与y=ex和y=ln(x+2)的切点分别为：x1，ex1，x2，lnx2+2
由导数几何意义得：k=ex1=1x2+2，x2+2=1ex1
切线方程为：y-ex1=ex1x-x1
即y=ex1x-ex1∙x1+ex1
或y-lnx2+2=1x2+2x-x2，即y=ex1x-ex1∙x2+ lnx2+2y=ex1x-ex1∙x2-x1ex11-x1=2ex1-1-x1
解得x1=-1，或x1=0
即k=1e或1
故答案为1e或1