方法技巧专题17 函数不等式的证明-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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 方法技巧专题  函数不等式的证明学生篇       一、 函数不等式的证明知识框架                               二、构造辅助函数证函数 1.例题【例1】已知函数，求证：当时，恒有      【例2】证明当 [来源:学科网ZXXK]  【例3】证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.    [来源:学科网ZXXK]   2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；         【练习2】若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，求证：           【练习3】已知函数，设,证明 ：.[来源:学&科&网]                         函数不等式的变形原理                  【一】幂函数与lnx的积商形式1.例题【例1】已知函数,曲线 在点处的切线方程为y=2（1）求a,b的值；（2）当且时，求证：           2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；（3）当，且时，证明：.        【二】幂函数、ex与lnx的混合形式1.例题【例1】设函数.（1）求在区间[1，2]上的最小值；（2）证明：对任意的，都有.          【例2】已知函数.(1)若上存在极值，求实数的取值范围；(2)求证：当时，．          2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：          【练习2】已知函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.              函数不等式的单零点—隐零点问题1.例题【例1】已知函数在点处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）求证：．    【例2】设函数，e为自然对数的底数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）证明：若，则． [来源:学。科。网Z。X。X。K]    【例3】已知函数．（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；（2）若，求证：．    2.巩固提升综合练习【练习1】已知，.（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（Ⅱ）当时，证明.     【练习2】已知函数，曲线在点处的切线方程为：.（1）求，的值；（2）设，求函数在上的最大值.     【练习3】已知函数，其中a为非零常数．讨论的极值点个数，并说明理由；若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为       函数不等式的双零点问题                【一】双零点是二次函数的零点  1.例题【例1】已知函数若在处取得极值,求函数的单调区间若是函数的两个极值点,且,求证：    【例2】已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若有两个极值点，证明：.    【例3】已知函数的导函数为.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.       2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数（1）若在点处的切线与直线平行，求在点的切线方程；（2）若函数在定义城内有两个极值点，，求证：．   【练习2】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若为的两个极值点，证明：.    【二】极值点偏移问题  1.例题【例1】已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．    2.巩固提升综合练习【练习1】【2016年全国Ⅰ】已知函数有两个零点．（I）求a的取值范围；（II）设，是的两个零点，证明：．     【练习2】已知函数， 为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）     【练习3】已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．（1）求的取值范围；   （2）求证：；（3）求证：．       六、课后自我检测                         1.已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是，且在点处的切线互相垂直．（1）求的值；（2）证明：当时，．      2.已知定义在上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为(   )A．     B．     C．     D．  3、设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（   ）A．     B．     C．     D．  4.已知函数,.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）若在有两个零点，求的取值范围；（3）当时，证明：.    5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若都有，求证：.    6.已知函数.（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若有两个极值点，，证明：.   7.已知函数．讨论函数的极值点的个数；若函数有两个极值点，，证明：．     8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明.   9.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .    [来源:Z.xx.k.Com]11.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明对一切，都有成立.     12.已知函数.（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）证明：当时，.