方法技巧专题08 轨迹方程的求法-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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方法技巧专题8 轨迹方程问题 解析版一、 轨迹方程问题知识框架二、求轨迹方程的常用方法【一】定义法定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 1.例题【例1】已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【例2】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，，当与相切时，有 ①当与相切时，有 ②将①②两式的两边分别相加，得，即 ③移项再两边分别平方得： ④两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。【例3】已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。【解析】设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为【练习2】一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（ ）抛物线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线一支【解析】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。【练习3】已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且a>c>b，a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2, ∴椭圆方程为, 又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x