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    专题09 构造函数法解决导数问题-2022年高考数学高分突破冲刺练(全国通用)

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    专题09  构造函数法解决导数问题一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设定义在上的函数的导函数为,若,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为(    A BC D解析】设,所以因为,所以所以上单调递减,且又因为等价于,所以解集为,故选:C.2.已知是可导的函数,且,对于恒成立,则下列不等关系正确的是(    A BC D解析】设,则,即上单调递减,,即,故选项A不正确;,即,故选项D不正确;,即,即故选项B不正确;故选:C3.已知函数,若对任意,有 则(    A B C D解析】由题意得因为,所以x=1处取得最小值,即为x=1的极小值点,所以,即所以,则,解得时,,所以为增函数,时,,所以为减函数,所以所以,即.故选:A4.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是(    A B C D解析】构造函数,该函数的定义域为由于函数为奇函数,则所以,函数为偶函数.时,,所以,函数上为减函数,由于函数为偶函数,则函数上为增函数.,则,所以,.不等式等价于,解得.因此,不等式的解集为.故选:C.5.设是奇函数,的导函数,.当时,,则使得成立的x的取值范围是(    A BC D解析】令,所以当当时,,所以所以可知的在的单调递增,是奇函数且,所以,则 所以函数为的偶函数且单调递减,时,的解集为时,的解集为综上所述:的解集为:故选:D6.已知函数,当时,恒成立,则m的取值范围为(    A B C D解析】由题意,若显然不是恒大于零,故.(由4个选项也是显然可得),则上恒成立;时,等价于上单调递增.因为,所以,再设,令时,时,上单调递增,在上单调递减,从而,所以.故选:D7.已知可导函数的导函数为,若对任意的,都有,且为奇函数,则不等式的解集为(    A B C D解析】设,由得:,故函数递减,为奇函数,得,即不等式,即,结合函数的单调性得:故不等式的解集是,故选:A.8.设是定义在的奇函数,其导函数为,当时,,则关于的不等式的解集为(    A BC D解析】令时,所以上为单调递减函数,是定义在的奇函数,所以为偶函数, 上为单调递增函数,当时,,所以等价于,即,因为上为单调递减函数,所以,当时,,所以等价于,即,因为上为单调递增函数,所以综上所述:关于的不等式的解集为.故选:B9.已知为自然对数的底数,为实数,且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时,的值为(    A B C D解析】设,则时,,所以上递增,不符合条件,,令所以上递增,上递增,故有,即则有,令上递减,且,所以上递增,上递减,所以,此时取得最大值,且,所以.故选:D10.已知函数恒成立,则实数的取值范围是(    A B C D解析】不妨设可得在区间上单调递减,所以在区间上恒成立,时,时,,所以在区间上单调递减,则,所以.故选:A11.若对任意的恒成立,则a的最小值为(    A B C D解析】因为,所以,则可化为整理得,因为,所以,则函数上递减,上恒成立,所以上恒成立,,则上恒成立,上递减,所以故只需满足:.故选:A.12.定义在上的函数的导函数为,且,则对任意,下列不等式中:;一定成立的有(    A①②③ B②④ C②③ D解析】依题意的定义域为,且.构造函数,则所以单调递减,故化简得,所以正确;由于,故,即,故正确;由于同理,相加得,故正确;,它符合题意,但是,所以不成立.综上一定成立的有①②③.故选:A填空题13.已知定义在上的函数满足,且对于任意的恒成立,则不等式的解集为________.解析,设上的减函数,且不等式,即为,所以,解得原不等式的解集为. 14.设是函数的导函数,对.若,则实数的取值范围为__解析函数为奇函数.时,时,故函数上是增函数,故函数上也是增函数,,可得上是增函数.,等价于,解得.故答案为:15.已知函数的定义域为,导函数为,若,且,则满足的取值范围为______解析】令 ,即,故函数为奇函数.,故函数上单调递减,,即,即,即,所以x的取值范围为.16.已知偶函数的导函数为,当时,,则使成立的x的取值范围是___________.(其中e为自然对数的底数)解析】令,则因为当时,,所以当时,单调递增,是偶函数,所以,所以是偶函数,,所以,即,所以,又单调递增,所以,解得,故答案为:.三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数.1)讨论的单调性;2)若,求的取值范围.解析】(1)由,当时,所以,在上递增,在上递减;2)因为上递减,在上递增,所以因为,所以恒成立,,则,即:上恒成立,,则所以上递增,在上递减,所以的取随范围的.18.设函数1)求函数的单调区间;2)设对于任意,且,都有恒成立,求实数的取值范围.解析】(1)易知的定义域为R,当时,上单调递增,时,上单调递减.的单调递减区间是,单调递增区间是2)当时,恒成立,即恒成立,设,由题意可知,上单调递减,上恒成立;,则上单调递减,,即19.已知函数的定义域为.1)当取得最小值时,记函数处的切线方程为.恒成立且,求的最大值;2)若有两个极值点,求证:.解析】(1)由题意函数定义域为,所以,即的最小值为,所以,所以,因为恒成立,即恒成立,当时,显然成立,令,则,因为,所以的最大值为.2)令,则,当时,;当时,,所以函数上单调递减,在上单调递增,所以,所以,由,故是方程的实根,所以所以,当时,;当时,,所以上单调递减,在上单调递增,所以,所以,则所以得证.20.已知函数1)若函数处取得极值,求曲线在点处的切线方程;2)已知,若方程有两个不相等的实数根,且,证明:解析】(1)因为,所以因为函数处取得极值,所以,即因为,所以因为,所以所求切线的方程为2)证明:由,可得时,上单调递增,至多一个根,不符合题意;时,上单调递减,在上单调递增,且不妨设要证,即证,只需证因为,所以只需证,即证因为上单调递增,所以只需证因为,所以只要证,则即证时,上单调递减.因为所以当时,,即于是所以,即恒成立.21.已知函数.1)若函数的图象在处的切线为,求的极值;2)若恒成立,求实数的取值范围.解析】(1由题意可得:,解得:此时函数函数的图象在处的切线为成立所以可得,由可得所以上单调递增,在 上单调递减.所以的极大值为,不存在极小值.可得分离可得:所以上单调递增存在唯一的,使得时,,即时,,即上单调递减,在上单调递增.由于,得再对两边取对数可得:所以所以 即实数的取值范围22.已知函数.1)求曲线上一点处的切线的方程;2)设函数的两个极值点为,求的最小值.解析】对求导得:,故切线斜率为因此切线方程为,即故切线的方程为2)函数,定义域为因为是函数的两个极值点,所以是方程的两不等正根,则有,故且有,则时,单调递减,当时,单调递增,所以,所以,的最小值为.  

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