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专题09 构造函数法解决导数问题-2022年高考数学高分突破冲刺练(全国通用)
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专题09 构造函数法解决导数问题一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )A. B.C. D.【解析】设,所以,因为,所以,所以在上单调递减,且,又因为等价于,所以解集为,故选:C.2.已知是可导的函数,且,对于恒成立,则下列不等关系正确的是( )A., B.,C., D.,【解析】设,则,,,即在上单调递减,,即,即,故选项A不正确;,即,即,故选项D不正确;,即,即.故选项B不正确;故选:C.3.已知函数,若对任意,有, 则( )A. B. C. D.【解析】由题意得,因为,所以在x=1处取得最小值,即为x=1是的极小值点,所以,即,所以,令,则,令,解得,当时,,所以为增函数,当时,,所以为减函数,所以,所以,即.故选:A4.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】构造函数,该函数的定义域为,由于函数为奇函数,则,所以,函数为偶函数.当时,,所以,函数在上为减函数,由于函数为偶函数,则函数在上为增函数.,则且,所以,.不等式等价于或,解得或.因此,不等式的解集为.故选:C.5.设是奇函数,是的导函数,.当时,,则使得成立的x的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】令,所以,当当时,,所以,所以可知的在的单调递增,又是奇函数且,所以,则,由, 所以函数为的偶函数且在单调递减,,当时,的解集为,当时,的解集为,综上所述:的解集为:,故选:D6.已知函数,当时,恒成立,则m的取值范围为( )A. B. C. D.【解析】由题意,若显然不是恒大于零,故.(由4个选项也是显然可得),则在上恒成立;当时,等价于,令在上单调递增.因为,所以,即,再设,令,时,,时,,在上单调递增,在上单调递减,从而,所以.故选:D.7.已知可导函数的导函数为,若对任意的,都有,且为奇函数,则不等式的解集为( )A. B. C. D.【解析】设,由,得:,故函数在递减,由为奇函数,得,∴,即,∵不等式,∴,即,结合函数的单调性得:,故不等式的解集是,故选:A.8.设是定义在的奇函数,其导函数为,当时,,则关于的不等式的解集为( )A. B.C. D.【解析】令,,当时,,所以在上为单调递减函数,又是定义在的奇函数,所以为偶函数, 在上为单调递增函数,当时,,所以等价于,即,因为在上为单调递减函数,所以,当时,,所以等价于,即,因为在上为单调递增函数,所以,综上所述:关于的不等式的解集为.故选:B9.已知为自然对数的底数,为实数,且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时,的值为( )A. B. C. D.【解析】设,则,当时,,所以在上递增,不符合条件,故,令得,所以在上递增,上递增,故有,即,则有,令,,则在上递减,且,所以在上递增,上递减,所以,此时取得最大值,且,所以.故选:D10.已知函数且恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】不妨设可得令则在区间上单调递减,所以在区间上恒成立,当时,当时,,而,所以在区间上单调递减,则,所以.故选:A11.若对任意的,,,恒成立,则a的最小值为( )A. B. C. D.【解析】因为,所以,则可化为,整理得,因为,所以,令,则函数在上递减,则在上恒成立,所以在上恒成立,令,则在上恒成立,则在上递减,所以,故只需满足:.故选:A.12.定义在上的函数的导函数为,且,则对任意、,下列不等式中:①;②;③;④;一定成立的有( )A.①②③ B.②④ C.②③ D.③【解析】依题意的定义域为,且,即.构造函数,则,所以单调递减,故,即,化简得,所以②正确;由于,故,即,故③正确;由于同理,相加得,故①正确;取,它符合题意,但是,所以④不成立.综上一定成立的有①②③.故选:A二.填空题13.已知定义在上的函数满足,且对于任意的,恒成立,则不等式的解集为________.【解析】,设,则,是上的减函数,且,不等式,即为,所以,得,解得或,原不等式的解集为. 14.设是函数在的导函数,对,,且,,.若,则实数的取值范围为__.【解析】,,令,,函数为奇函数.时,.时,,故函数在上是增函数,故函数在上也是增函数,由,可得在上是增函数.,等价于,即,,解得.故答案为:,.15.已知函数的定义域为,导函数为,若,且,则满足的的取值范围为______.【解析】令, 又,则,即,故函数为奇函数.,故函数在上单调递减,则,即,即,即,故,所以x的取值范围为.16.已知偶函数的导函数为,,当时,,则使成立的x的取值范围是___________.(其中e为自然对数的底数)【解析】令,则,因为当时,,所以当时,,单调递增,又是偶函数,所以,所以是偶函数,而,所以,即,所以,又在单调递增,所以,解得或,故答案为:.三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,求的取值范围.【解析】(1)由,得,当或,,当时,,所以,在和上递增,在上递减;(2)因为在上递减,在上递增,所以,因为,所以恒成立,令,则,即:在上恒成立,令,则,所以在上递增,在上递减,所以,故的取随范围的.18.设函数,(1)求函数的单调区间;(2)设对于任意,且,都有恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1)易知的定义域为R,,当时,在上单调递增,当时,在上单调递减.的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)当,时,恒成立,即恒成立,设,由题意可知,在上单调递减,即在上恒成立;,设,则在上单调递减,,即19.已知函数的定义域为.(1)当取得最小值时,记函数在处的切线方程为.若恒成立且,求的最大值;(2)若有两个极值点和,求证:.【解析】(1)由题意函数定义域为,所以,即的最小值为,所以,,,所以,因为恒成立,即恒成立,当时,显然成立,令,则,因为且,所以的最大值为.(2)令,则,当时,;当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,由,故和是方程的实根,所以,所以令,,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,则所以得证.20.已知函数.(1)若函数在处取得极值,求曲线在点处的切线方程;(2)已知,若方程有两个不相等的实数根,,且,证明:.【解析】(1)因为,所以.因为函数在处取得极值,所以,即.因为,所以.因为,所以所求切线的方程为.(2)证明:由,可得.令,,则.当时,在上单调递增,至多一个根,不符合题意;当时,在上单调递减,在上单调递增,且.不妨设,要证,即证,只需证.因为,所以只需证,即证.因为在上单调递增,所以只需证.因为,所以只要证,.令,则,即证.令.当时,,在上单调递减.因为,所以当时,,即,于是,所以,即恒成立.21.已知函数.(1)若函数的图象在处的切线为,求的极值;(2)若恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1),由题意可得:,解得:,此时函数,函数的图象在处的切线为成立,所以,,由可得,由可得,所以在上单调递增,在 上单调递减.所以的极大值为,不存在极小值.由可得分离可得:令令所以在上单调递增,存在唯一的,使得当时,,即,当时,,即,故在上单调递减,在上单调递增.,由于,得,再对两边取对数可得:所以,所以 即实数的取值范围22.已知函数.(1)求曲线上一点处的切线的方程;(2)设函数的两个极值点为,求的最小值.【解析】对求导得:,故切线斜率为,因此切线方程为,即,故切线的方程为;(2)函数,定义域为,,因为是函数的两个极值点,所以是方程的两不等正根,则有,∴,故,且有,,,令,则,,,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,,所以,的最小值为.
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