专题09 构造函数法解决导数问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题09  构造函数法解决导数问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）A． B．C． D．【解析】设，所以，因为，所以，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.2．已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ）A．， B．，C．， D．，【解析】设，则，，，即在上单调递减，，即，即，故选项A不正确；，即，即，故选项D不正确；，即，即．故选项B不正确；故选：C．3．已知函数，若对任意，有， 则（    ）A． B． C． D．【解析】由题意得，因为，所以在x=1处取得最小值，即为x=1是的极小值点，所以，即，所以，令，则，令，解得，当时，，所以为增函数，当时，，所以为减函数，所以，所以，即.故选：A4．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】构造函数，该函数的定义域为，由于函数为奇函数，则，所以，函数为偶函数.当时，，所以，函数在上为减函数，由于函数为偶函数，则函数在上为增函数.，则且，所以，.不等式等价于或，解得或.因此，不等式的解集为.故选：C.5．设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【解析】令，所以，当当时，，所以，所以可知的在的单调递增，又是奇函数且，所以，则，由， 所以函数为的偶函数且在单调递减，，当时，的解集为，当时，的解集为，综上所述：的解集为：，故选：D6．已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】由题意，若显然不是恒大于零，故.（由4个选项也是显然可得），则在上恒成立；当时，等价于，令在上单调递增.因为，所以，即,再设，令，时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.故选：D．7．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【解析】设，由，得：，故函数在递减，由为奇函数，得，∴，即，∵不等式，∴，即，结合函数的单调性得：，故不等式的解集是，故选：A.8．设是定义在的奇函数，其导函数为，当时，，则关于的不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【解析】令，，当时，，所以在上为单调递减函数，又是定义在的奇函数，所以为偶函数， 在上为单调递增函数，当时，，所以等价于，即，因为在上为单调递减函数，所以，当时，，所以等价于，即，因为在上为单调递增函数，所以，综上所述：关于的不等式的解集为.故选：B9．已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（    ）A． B． C． D．【解析】设，则，当时，，所以在上递增，不符合条件，故，令得，所以在上递增，上递增，故有，即，则有，令，，则在上递减，且，所以在上递增，上递减，所以，此时取得最大值，且，所以.故选：D10．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】不妨设可得令则在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，当时，当时，，而，所以在区间上单调递减，则，所以.故选：A11．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ）A． B． C． D．【解析】因为，所以，则可化为，整理得，因为，所以，令，则函数在上递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，则在上递减，所以，故只需满足：.故选：A.12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，下列不等式中：①；②；③；④；一定成立的有（    ）A．①②③ B．②④ C．②③ D．③【解析】依题意的定义域为，且，即.构造函数，则，所以单调递减，故，即，化简得，所以②正确；由于，故，即，故③正确；由于同理，相加得，故①正确；取，它符合题意，但是，所以④不成立.综上一定成立的有①②③.故选：A二．填空题13．已知定义在上的函数满足，且对于任意的，恒成立，则不等式的解集为________.【解析】，设，则，是上的减函数，且，不等式，即为，所以，得，解得或，原不等式的解集为. 14．设是函数在的导函数，对，，且，，．若，则实数的取值范围为__．【解析】，，令，，函数为奇函数．时，．时，，故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数，由，可得在上是增函数．，等价于，即，，解得．故答案为：，．15．已知函数的定义域为，导函数为，若，且，则满足的的取值范围为______．【解析】令， 又，则，即，故函数为奇函数.，故函数在上单调递减，则，即，即，即，故，所以x的取值范围为.16．已知偶函数的导函数为，，当时，，则使成立的x的取值范围是___________.(其中e为自然对数的底数)【解析】令，则，因为当时，，所以当时，，单调递增，又是偶函数，所以，所以是偶函数，而，所以，即，所以，又在单调递增，所以，解得或，故答案为：.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.【解析】（1）由，得，当或，，当时，，所以，在和上递增，在上递减；（2）因为在上递减，在上递增，所以，因为，所以恒成立，令，则，即：在上恒成立，令，则，所以在上递增，在上递减，所以，故的取随范围的.18．设函数，（1）求函数的单调区间；（2）设对于任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）易知的定义域为R，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减．的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）当，时，恒成立，即恒成立，设，由题意可知，在上单调递减，即在上恒成立；，设，则在上单调递减，，即19．已知函数的定义域为.（1）当取得最小值时，记函数在处的切线方程为.若恒成立且，求的最大值；（2）若有两个极值点和，求证：.【解析】（1）由题意函数定义域为，所以，即的最小值为，所以，，，所以，因为恒成立，即恒成立，当时，显然成立，令，则，因为且，所以的最大值为.（2）令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，故和是方程的实根，所以，所以令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则所以得证.20．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；（2）已知，若方程有两个不相等的实数根，，且，证明：．【解析】（1）因为，所以．因为函数在处取得极值，所以，即．因为，所以．因为，所以所求切线的方程为．（2）证明：由，可得．令，，则．当时，在上单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，且．不妨设，要证，即证，只需证．因为，所以只需证，即证．因为在上单调递增，所以只需证．因为，所以只要证，．令，则，即证．令．当时，，在上单调递减．因为，所以当时，，即，于是，所以，即恒成立．21．已知函数.（1）若函数的图象在处的切线为，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），由题意可得：，解得：，此时函数，函数的图象在处的切线为成立，所以，，由可得，由可得，所以在上单调递增，在 上单调递减.所以的极大值为，不存在极小值.由可得分离可得：令令所以在上单调递增，存在唯一的，使得当时，，即，当时，，即，故在上单调递减，在上单调递增.，由于，得，再对两边取对数可得：所以，所以 即实数的取值范围22．已知函数.（1）求曲线上一点处的切线的方程；（2）设函数的两个极值点为，求的最小值.【解析】对求导得：，故切线斜率为，因此切线方程为，即，故切线的方程为；（2）函数，定义域为，，因为是函数的两个极值点，所以是方程的两不等正根，则有，∴，故，且有，，，令，则，，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，，所以，的最小值为.