专题20 直线与圆锥曲线的位置关系-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题20  直线与圆锥曲线的位置关系一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．互相垂直的直线,(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点,,,，记,的中点分别为,，则线段的中点的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．【解析】由题意，抛物线：的焦点，设直线,的方程分别为和，,,,，联立得，,，联立得，,，,，，即，即，的轨迹方程为，故选：A.2．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ）A． B．C． D．【解析】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率. 故选：C.3．已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【解析】由题意，不妨设在第一象限，则双曲线在点处的切线方程为，所以，即又因为，所以联立可得，所以点到直线的距离，因为，所以，所以．令，则，因为，所以，所以，可得，当且仅当，即时，面积取得最大值．故选：D.4．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【解析】设双曲线的右准线与轴的交点为，则，设直线与轴正方向的夹角为，由双曲线的第二定义可得，，，，即，由，①②，可得整理，③由①可得，即，④将④代入③，整理可得，即.故选：D5．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，，为坐标原点，则当四边形的面积取得最小值时，直线的方程是（    ）A． B．C． D．【解析】设，，且，易知，设直线，由，得，所以，，.令，，则，易知是上的增函数，且，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，四边形的面积取得最小值，此时，，直线的方程是.故选：A6．已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【解析】由已知得、，设椭圆上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，，设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，令得，，即，，则设与的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得：，，又，，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故选：A7．已知椭圆:的下顶点为，点是上异于点的一点，若直线与以为圆心的圆相切于点，且，则（    ）A． B． C． D．【解析】由题意可知，，设，则点满足，∴.∵，∴，∴，∴.∵直线与圆相切于点，∴，∴，即，将代入上式可得，解得或（舍），∴，，∴，，.又∵，∴，故选：B.8．已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则（    ）A．16 B．9 C．4 D．3【解析】设动点，，由双曲线方程可得，，则，，所以直线的方程为，直线的方程为，由此可得，，所以.因为动点在双曲线上，所以，所以，则.故选：.9．已知点为抛物线的焦点，若过点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点，且，，则（    ）A．2 B．1 C．0 D．【解析】的焦点为，设，，直线方程为，，联立方程，整理得，则，，，由，，，，得，，，，．10．双曲线上有两点、，为坐标原点，为双曲线焦点，满足，当、在双曲线上运动时，使得恒成立，则离心率取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】设，直线:，因为，即，联立，整理得，，，，代入得，所以，整理得，即由到直线:的距离，所以距离为一个定值，又，又，即，所以，又，所以，又，所以，故选：A11．设A，B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的于S，T两点，且，则的面积(     )A． B． C． D．【解析】双曲线的左右顶点为，，，可得直线PA的方程为，PB的方程为，联立可得，解得或，代入可得，即有，联立可得，解得或，代入，可得，即，设，由M，N，Q三点共线，可得，即有，将M，N的坐标代入化简可得，解得，即，设过Q的直线方程为，联立双曲线方程，可得，设，，可得，，恒成立，，可得，代入韦达定理可得，解得，可得．故选A．12．过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（    ）A． B． C． D．【解析】如图，先固定直线AB，设，则，其中为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当时有，，综上，；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，与椭圆方程联立可得，设，，则由根与系数的关系有，，，注意到与异号，故，设，则，，当，即，此时，故，又，综上外接圆半径的最小值为.故选：D．二．填空题13．已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_________．【解析】设切点，由抛物线，∴切线，同理切线， 又点是两条切线的交点，所以.所以直线的方程为，即.此直线恒过，则.，消去，得，∴，∴.，即，令，则，即，解得，，即.故答案为：.14．已知为抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的取值范围是______.【解析】因为为抛物线：的焦点，,抛物线,①，过点且斜率为的直线:,②，①②联立消去并整理得,，,,③，③与①联立消去，,解得,,因为分别以OM,ON为底边，高为C,B到直线OM的距离，由于M为BC的中点，所以高相等，=,。15．已知椭圆的顶点是，，若过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点（异于点），直线与交于点，则__________.【解析】由题可知椭圆焦点在y轴上，且，，椭圆方程为， 可知当直线l斜率不存在时，不符合题意，设直线l的方程为，由于异于点，，则可得，设，联立直线与椭圆，可得，，，直线AC的方程为，直线BD的方程为，联立直线AC和BD方程可得，，与异号，， 又，所以与异号，则与同号，所以，解得，故，则.16．已知椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于点两点，（均异于点），若直线的斜率分别为，则的最小值为______________.【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为，求得,又,，，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程得，在椭圆内，则显然，设，则，，，，则，当且仅当，即时等号成立，综上，的最小值为4.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，(点为坐标原点)的面积为2.（1）求抛物线的方程；（2）若过点的两直线，的倾斜角互补，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，与的面积相等，求实数的取值范围.【解析】（1）因为焦点，所以点的坐标分别为，.所以，故.故抛物线的方程为.（2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线.点，.联立方程可得，消去，可得.则.因为，所以，焦点到直线的距离，所以.设直线，与抛物线方程联立可得，将用替换，可得由可得，即，两边平方并化简可得，所以，解得.又由且得或，可知，所以，即，所以，所以实数的取值范围是.18．设O为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P为直线上一点，是底角为的等腰三角形.（1）求椭圆E的离心率；（2）若，设不与x轴重合的直线l过椭圆E的右焦点，与椭圆E相交于A､B两点，与圆相交于C､两点，求的取值范围.【解析】设直线与x轴交于点Q，由是底角为的等腰三角形， ，，在直角中，，，，利用余弦定义可知，解得：所以椭圆的离心率为；（2）由（1）知，，且，则，故，所以椭圆的方程为：设不与轴重合的直线的方程为：，设点联立，化简整理得其中，，利用弦长公式可得：设圆的圆心O到直线的距离为d，则利用圆的弦长公式可得：所以，，，所以的取值范围是．19．已知点，圆：，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线：与圆：相切，并与轨迹交于不同的两点，，且，求面积的最大值.【解析】（1）由圆的方程可知：圆心，半径，由题意可知：， 动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，设：， 则，，即，，，动点的轨迹的方程为：.（2），则圆的圆心到的距离，则 联立与得：，，则， 设、，则，，，又，，，又，，，解得：，，令，，则，，在上恒增，，，即面积的最大值.20．已知抛物线及轴上一点，过点的直线l与抛物线交于两点.（1）若直线的倾斜角为，且|，求点的横坐标的取值范围；（2）设，若对给定的点的值与直线位置无关，此时的点称为拋物线的“平衡点”，问抛物线的“平衡点”是否存在？若存在，求出所在“平衡点”坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设的点的坐标为由题意：直线的方程为：，代入抛物线得：由得：，所以解得所以的取值范围是（2）设的点的坐标为则直线的方程为：联立.化为由对称性，不妨设（i）时，因为所以同号，所以，所以，不论取何值，均与有关，即时，不是“平衡点"（ii）时，因为，所以异号，所以所以所以仅当时，即时，与无关，所以所求的“平衡点”为因此仅有焦点一个“平衡点".21．椭圆的离心率，在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点.求证：点恒在一定直线上.【解析】（1）因为点在C上，所以，又，，所以，，故所求椭圆C的方程为.（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为.设，，(，).，，，且有.(，)，，故，故点T恒在一定直线上.22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，当轴时，（为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程.（2）设直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）当轴时，点的横坐标代入椭圆的方程，可得点的纵坐标，由题意知，，，又当轴时，，，得，且，，∴椭圆的标准方程为.（2）为定值，且定值为，理由如下：由（1）得，，，设，，，直线的方程为，联立方程可得整理得，则，，由，，三点共线可得，①，，，②由①②得③由，，三点共线可得④由③④可得，分别将，代入，得，将，代入并整理，可得，，设，同理可得，由，，三点共线可得，⑤由③⑤得，，为定值.