专题2.12 导数-极值、最值问题-2022年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题2.12  导数-极值、最值问题

1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧的符号不同．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

2．利用导数求解函数最值的思路

（1）若所给的闭区间不含参数，则只需对求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；

（2）若所给的区间含有参数，则需对求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．

3．用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．

4．对于极值点偏移问题，处理类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：

（1）求导确定的单调性，得到的范围；

（2）构造函数，求导后可得恒正或恒负；

（3）得到与的大小关系后，将置换为；

（4）根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论．

1．已知函数(为实数)．

（1）若，求的最小值；

（2）若恒成立，求的取值范围．

2．已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）讨论的单调性．

3．已知函数．

（1）求证：当时，函数存在唯一的极小值点；

（2）若函数的图象相切，求实数的值．

4．已知函数(e是自然对数的底数)．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由．

5．已知函数，．

（1）若函数在处的切线恰好与直线垂直，求实数的值；

（2）讨论的单调性；

（3）若函数存在极值，在上恒成立时，求实数的取值范围．

6．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．

（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线与x轴平行，求a；

（2）若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．

7．已知函数，，是的导函数．

（1）若，求函数的最小值；

（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．

8．已知函数，．

（1）证明：；

（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求的最小值．

9．已知函数，，．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）设函数，当时，求在区间上的最小值．

10．已知函数(其中，e为自然对数的底数)．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数的极小值点为m，极大值点为n，证明：当时，．

11．已知函数，．

（1）证明：有且仅有一个零点；

（2）当时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为，求的值域；若没有，请说明理由．

12．已知函数有两个极值点．

（1）求的取值范围；

（2）求极小值的取值范围．

13．已知函数．

（1）讨论的极值点个数；

（2）设，若函数有两个不同的极值点，，求的取值范围．

14．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，是的极大值点，求的取值范围．

15．已知函数．

（1）求函数在的最大值；

（2）证明：函数在有两个极值点，并判断与的大小关系．

16．已知函数，．

（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；

（2）若有两个极值点分别是，，证明：．

17．已知函数，且方程在上有解．

（1）求实数的取值范围；

（2）设函数的最大值为，求函数的最小值；

18．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间

（2）若在上有且仅有一个极小值点，求的取值范围．