专题3.11 函数的零点问题-2022年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题3.11   函数的零点问题

1．由零点求参数的值或取值范围的常用方法与策略：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；

（3）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

（4）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围．

2．判断零点个数的常用方法与策略：

（1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；

（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；

（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；

（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数．

【预测题1】已知函数在上的最大值为．

（1）求的解析式；

（2）讨论函数在上的零点的个数．

【预测题2】已知函数有两个不同的零点(其中为自然对数的底数)．

（1）当时，求证：；

（2）求实数的取值范围；

（3）若函数的两个零点为，求证：．

【预测题3】已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）讨论函数零点的个数．

【预测题4】已知函数．

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）设，若有三个不同的零点，求的取值范围．

【预测题5】已知函数．

（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则请说明理由；

（2）若函数恰好有两个零点、，求证：．

【预测题6】设为实数，函数．

（1）求的单调区间与极值；

（2）若函数在内存在两个零点，求的取值范围．

【预测题7】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数恰好有三个零点，求的取值范围．

【预测题8】已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的零点个数．

【预测题9】已知函数，其中，．

（1）当时，证明不等式恒成立；

（2）若()，证明有且仅有两个零点．

【预测题10】已知函数，其中，为自然对数的底数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数．

【预测题11】已知函数，，其中，e为自然对数的底数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求证：函数有且仅有一个零点．

【预测题12】已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围．

【预测题13】已知，．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）确定在内的零点个数．

【预测题14】已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；

（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．

【预测题15】已知函数．

（1）当，时，求在上的值域；

（2）对任意的，函数的零点不超过4个，求的取值范围．

【预测题16】已知函数．(是自然对数的底数)

（1）求的单调区间；

（2）记，，试讨论在上的零点个数．(参考数据：)