（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十五讲 几何初步及平行线、相交线（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第十五讲  几何初步及平行线、相交线

一、四大必备知识点

考点一  线段的计算

考点二  角的计算

考点三  定理与命题

考点四  平行线中的拐点问题

考点五  平行的性质与判定

一、四大必备知识点

一、直线、射线、线段

1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；

3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．

2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．

3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．

4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．

5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．

二、角

1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．

2．角平分线

（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线

（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．

3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．   1周角=2平角=4直角=360°．

4．余角和补角

1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．

3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．

5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．

三、相交线

1．三线八角

1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．

∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．

2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：

2．垂直

1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．

2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．

3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．

4．邻补角

1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．

3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．

5．对顶角

1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．

2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．

四、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

2．平行线的判定

1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．

4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．

3．平行线的性质

1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．

4．平行线间的距离

1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．

2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．

考点一  线段的计算

1．如图，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，如果AB＝12cm，那么MN的长为　   　cm．

2．已知线段AB，延长AB至点C，使BC＝AB，反向延长AB至点D，使AD＝AB，若AB＝12cm，则CD＝　   　cm．

3．P为线段AB上一点，且AP＝AB，M是AB的中点，若PM＝2cm，则AB＝　   　cm．

4．如图，BC＝AB，D为AC的中点，DC＝2cm，则AB＝　   　．

5．已知，如图，一条直线上有A、B、C三点，AB＝24cm，BC＝AB，E为AC的中点，D为AB的中点，则DE的长为 　   　cm．

考点二  角的计算

6．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝50°，∠BOD＝4∠DOE，则∠DOE的度数为（　　）

A．20° B．18° C．60° D．80°

7．如图，∠AOB＝α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn，OBn分别是∠An﹣1OM和∠MOBn﹣1的平分线，则∠AnOBn的度数是（　　）

A． B． C． D．

8．如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（　　）

A．28° B．30° C．32° D．38°

9．如图，∠AOB＝90°，∠AOC为∠AOB外的一个锐角，且∠AOC＝40°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为（　　）

A．45° B．65° C．50° D．25°

10．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG为折痕，则∠AEF+∠BEG的度数为（　　）

A．40° B．70° C．80° D．140°

11．将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

12．如图，将正方形ABCD沿直线DF折叠，使得点C落在对角线BD上的点E处，则∠DEC的度数是（　　）

A．65.5° B．67.5° C．70° D．72.5°

13．如图所示，长方形ABCD中，点E在CD边上，AE，BE与线段FG相交构成∠α，∠β，则∠1，∠2，∠α，∠β之间的关系是（　　）

A．∠1+∠2+180°＝∠α+∠β B．∠α+∠2＝∠β+∠1 

C．∠α+∠β＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2＝∠a﹣∠β

14．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝21°，则∠B'CD'的度数为（　　）

A．35° B．42° C．45° D．48°

考点三  定理与命题

15．下列命题中是假命题的是（　　）

A．两直线平行，同位角互补 

B．对顶角相等 

C．直角三角形两锐角互余 

D．平行于同一直线的两条直线平行

16．下列命题中真命题的个数（　　）

①，，3.14，π，0.301001…这5个数中有2个是无理数；

②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

③和为180°的两个角互为邻补角；

④的算术平方根是7；

⑤两条对角线长分别为6和8的菱形的周长是40；

⑥等边三角形、菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．

A．2 B．3 C．4 D．5

17．下列命题中，逆命题是假命题的是（　　）

A．两直线平行，同旁内角互补 

B．直角三角形的两个锐角互余 

C．全等三角形的对应角相等 

D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

18．有下列四个命题：

①同位角相等；

②；

③有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；

④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

其中真命题有（　　）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

考点四  平行线中的拐点问题

19．如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°

20．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（　　）

A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β+γ＝180° D．α+β﹣γ＝180°

21．如图，若AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝25°，则∠α的度数为（　　）

A．35° B．50° C．65° D．85°

22．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E﹣∠F＝48°，则∠CDE的度数为（　　）

A．16° B．32° C．48° D．64°

23．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2＝（　　）°．

A．230 B．20 C．50 D．90

24．如图，a∥b，∠1＝55°，∠2＝130°，则∠3＝（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°

25．如图，AB∥CD，∠BED＝63°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB的度数是（　　）

A．147° B．147.5° C．148° D．148.5°

26．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（　　）

A．630° B．720° C．800° D．900°

27．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为（　　）

A．97° B．117° C．125° D．152°

28．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（　　）

A．135° B．125° C．115° D．105°

29．如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是（　　）

A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° 

C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°

30．如图所示，已知AB∥CD，∠A＝49°，∠C＝27°，则∠E的度数是（　　）

A．49° B．22° C．27° D．25°

31．如图所示，AB∥CD，则∠A，∠E，∠C关系正确的是（　　）

A．∠A+∠E+∠C＝180° B．∠C﹣∠A+∠E＝180° 

C．∠C﹣∠E+∠A＝180° D．∠C＝∠A+∠E

考点五  平行的性质与判定

32．如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．

33．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC．

（1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由；

（2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC；

（3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由．

34．如图，点C，F，E，B在同一直线上，点A，D分别在直线BC的两侧，且DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，∠B＝∠C．求证：AE∥DF．

35．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．

（1）求证：EA平分∠BEF；

（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．