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（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十五讲 几何初步及平行线、相交线（强化训练）
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这是一份（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十五讲 几何初步及平行线、相交线（强化训练），文件包含全国通用备战2022年中考数学一轮复习专题第十五讲几何初步及平行线相交线强化训练解析版doc、全国通用备战2022年中考数学一轮复习专题第十五讲几何初步及平行线相交线强化训练原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十五讲 几何初步及平行线、相交线
考点一 线段的计算 2
考点二 角的计算 2
考点三 定理与命题 4
考点四 平行线中的拐点问题 5
考点五 平行的性质与判定 8
考点一 线段的计算
1．如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AC＝5cm，BD＝2cm，则CD＝ 3 cm．
【解答】解：∵点C为AB中点，
∴BC＝AC＝5cm，
∴CD＝BC﹣BD＝3cm．
2．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC的长度为 8cm ．
【解答】解：∵线段AB的中点为M，
∴AM＝BM＝6cm
设MC＝x，则CB＝2x，
∴x+2x＝6，解得x＝2
即MC＝2cm．
∴AC＝AM+MC＝6+2＝8cm．
3．如图，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC＝ 6 cm．
【解答】解：CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3cm，
AC＝2CD＝2×3＝6cm．
故答案为：6．
4．如图，C是线段BD的中点，AD＝3，AC＝7，则AB的长等于 11 ．
【解答】解：∵AD＝3，AC＝7∴CD＝4．
∵点C是线段BD的中点∴BD＝2CD＝8
AB＝BD+AD＝3+8＝11．故应填11．
5．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，若线段AB＝18cm，则线段BD的长为 15cm或12cm ．
【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝18cm，
∴AC＝BC＝AB＝×18＝9cm，
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+6＝15cm；
②当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+3＝12cm．
所以线段BD的长为15cm或12cm．
故答案为：15cm或12cm．．
考点二 角的计算
6．如图，OC是∠AOB的平分线，．则∠AOB等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠BOD＝15°，
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故选：D．
7．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，则∠MOB的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+50°＝140°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝＝70°，
∴∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
8．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【解答】解：∵∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，
∴∠BOC＝∠BOD＝20°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOB＝2∠BOC＝40°，
故选：D．
9．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．0°＜α＜90°
B．α＝90°
C．90°＜α＜180°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
【解答】解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE．
∠GFH＝∠EFG+∠EFH
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°．
故选：B．
10．如图，点O在直线AB上，OC为射线，且∠AOC＝∠BOC，则∠BOC的度数是（ ）
A．150° B．135° C．120° D．30°
【解答】解：∵点O在直线AB上，OC为射线，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝150°．
故选：A．
11．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【解答】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，
∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFE＝120°，
∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH
∴∠EFH＝40°，
∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．
故选：D．
12．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝∠BAD'＝α，则∠DAE的度数为（ ）
A．2α B．90°﹣3α C．30°+ D．45°﹣
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠D'AE＝（90°﹣∠BAD'）＝45°﹣；
故选：D．
13．在同一平面上，若∠BOA＝60°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数是（ ）
A．80° B．40° C．20°或 40° D．80°或 40°
【解答】解：（1）如图所示：当OC边在∠BOA的外部时，
∠AOC＝∠BOA+∠BOC
＝60°+20°
＝80°；
（2）如图所示：当OC边在∠BOA的内部时，
∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC
＝60°﹣20°
＝40°．
故选：D．
14．如图，点B、O、D在同一直线上，∠COD＝105°，∠AOC为直角，则∠AOB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵点B、O、D在同一直线上，∠COD＝105°，
∴∠BOC＝180°﹣105°＝75°，
∵∠AOC＝90°，∠AOB+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOB＝90°﹣75°＝15°．
故选：B．
考点三 定理与命题
15．下列命题为真命题的是（ ）
A．两个锐角之和一定是钝角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．如果x2＞0，那么x＞0
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【解答】解：A、20°和30°都是锐角，20°+30°＝50°，50°是锐角，
∴两个锐角之和一定是钝角，是假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，
∴两直线平行，同旁内角相等，是假命题；
C、（﹣1）2＞0，﹣1＜0，
∴如果x2＞0，那么x＞0，是假命题；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
故选：D．
16．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．算术平方根等于自身的数只有1
C．直角三角形的两锐角互余
D．如果a2＝b2，那么a＝b
【解答】解：A、同位角相等，是假命题，本选项不符合题意．
B、算术平方根等于自身的数只有1，是假命题，本选项不符合题意．
C、直角三角形的两锐角互余，是真命题，本选项符合题意．
D、如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题，本选项不符合题意．
故选：C．
17．下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角大于任一内角
D．直角三角形的两锐角互余
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
18．下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：①长度相等的弧是等弧，错误，是假命题，不符合题意；
②一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，所以原命题说法错误，是假命题，不符合题意；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题的个数是0，
故选：D．
考点四 平行线中的拐点问题
19．如图，直线AB∥CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝120° C．α+β﹣γ＝60° D．β+γ﹣α＝60°
【解答】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°．
∵∠EFA＝∠KFG＝α，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝180°﹣γ，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝α+90°，
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣α﹣90°﹣180°+γ﹣30°，
∴α+β﹣γ＝60°，
故选：C．
20．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：过点B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°，
∴∠2＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
21．如图，已知AB∥EF，∠BAC＝p，∠ACD＝x，∠CDE＝y，∠DEF＝q，则用p、q、y来表示x．得（ ）
A．x＝p+y﹣q+180° B．x＝p+q﹣y+180°
C．x＝p+q+y D．x＝2p+2q﹣y+90°
【解答】解：如图，过点C作CM平行AB、过点D作ND平行EF，
则∠BAC＝∠ACM，
∠MCD+∠NDC＝180°，
∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM＝x﹣p，
∠NDE＝∠DEF＝q，
∴∠NDC＝∠CDE﹣∠NDE＝y﹣q，
∴x﹣p+y﹣q＝180°，
即x＝p+q﹣y+180°．
故选：B．
22．如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，且GF∥DE，已知∠ACD＝90°，若∠AGD＝α，∠GFE＝β，则下列等式中成立的是（ ）
A．α＝β B．2α+β＝90° C．3α+β＝90° D．α+2β＝90°
【解答】解：如图，过D作DP∥EF，连接GC并延长，
∵AB∥EF，
∴AB∥DP，
∴∠ACD＝∠BAC+∠PDC＝90°，
又∵∠ACH是△ACG的外角，∠DCH是△DCG的外角，
∴∠ACD＝∠CAG+∠CDG+∠AGD，
∴∠CAG+∠CDG＝90°﹣α，
∵∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，
∴∠BAC＝2∠GAC，∠CDG＝∠EDG，
∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣∠EDP）＝90°，
又∵DP∥EF，DE∥GF，
∴∠EDP＝∠F＝β，
∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣β）＝90°，
即2∠GAC+2∠CDG﹣β＝90°，
∴2（90°﹣α）﹣β＝90°，
∴2α+β＝90°，
故选：B．
23．如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，则∠1度数是（ ）
A．56° B．124° C．134° D．146°
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝56°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣56°＝124°．
故选：B．
24．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；
△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
即α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
25．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（ ）
A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°
C．∠ABE+3∠D＝180° D．∠ABE＝2∠D
【解答】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠G，
∵BF∥DE，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠D＝∠ABF，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．
故选：D．
26．已知，如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠ACD＝（ ）
A．55° B．70° C．40° D．110°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A＝70°，
∴∠ACD＝70°．
故选：B．
27．如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（ ）
A．43° B．57° C．47° D．45°
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD＝∠A＝43°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝47°，
故选：C．
28．如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）
A．95° B．105° C．110° D．115°
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝130°，
∴∠BCD＝∠ABC＝130°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝130°﹣55°＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣75°＝105°，
故选：B．
29．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：C．
30．如图，若AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【解答】解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CM∥DE，
∴∠1+∠B＝180°，∠2＝∠D＝35°，
∵∠B＝130°，
∴∠1＝50°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝85°，
故选：B．
31．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．22° C．28° D．38°
【解答】解：
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
考点五 平行的性质与判定
32．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF＝∠ADG，求证：DG∥BA．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠BEF＝∠BAD，
∵∠BEF＝∠ADG，
∴∠ADG＝∠BAD，
∴AB∥DG．
33．如图，若AB∥EF，AB∥CD．求证：∠2+∠3﹣∠1＝180°（关键步骤要写理由）．
【解答】证明：∵AB∥EF，AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠3＝∠CGE（两直线平行，内错角相等），
∴∠3﹣∠1＝∠CGE﹣∠1＝∠BGE（等式的性质），
∵AB∥EG（已知），
∴∠2+∠BGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠2+∠3﹣∠1＝180°．
34．如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F．求证：BC∥EF．
【解答】证明：∵∠A＝∠EDF（已知），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CGF（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠C＝∠F（已知），
∴∠CGF＝∠F（等量代换），
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
35．如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2．求证：DE∥AF．
【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴CD∥AB，
∴∠CDA＝∠BAD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴DE∥AF．
备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十五讲 几何初步及平行线、相交线
考点一 线段的计算 2
考点二 角的计算 2
考点三 定理与命题 4
考点四 平行线中的拐点问题 5
考点五 平行的性质与判定 8
考点一 线段的计算
1．如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AC＝5cm，BD＝2cm，则CD＝ 3 cm．
【解答】解：∵点C为AB中点，
∴BC＝AC＝5cm，
∴CD＝BC﹣BD＝3cm．
2．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC的长度为 8cm ．
【解答】解：∵线段AB的中点为M，
∴AM＝BM＝6cm
设MC＝x，则CB＝2x，
∴x+2x＝6，解得x＝2
即MC＝2cm．
∴AC＝AM+MC＝6+2＝8cm．
3．如图，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC＝ 6 cm．
【解答】解：CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3cm，
AC＝2CD＝2×3＝6cm．
故答案为：6．
4．如图，C是线段BD的中点，AD＝3，AC＝7，则AB的长等于 11 ．
【解答】解：∵AD＝3，AC＝7∴CD＝4．
∵点C是线段BD的中点∴BD＝2CD＝8
AB＝BD+AD＝3+8＝11．故应填11．
5．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，若线段AB＝18cm，则线段BD的长为 15cm或12cm ．
【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝18cm，
∴AC＝BC＝AB＝×18＝9cm，
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+6＝15cm；
②当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+3＝12cm．
所以线段BD的长为15cm或12cm．
故答案为：15cm或12cm．．
考点二 角的计算
6．如图，OC是∠AOB的平分线，．则∠AOB等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠BOD＝15°，
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故选：D．
7．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，则∠MOB的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+50°＝140°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝＝70°，
∴∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
8．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【解答】解：∵∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，
∴∠BOC＝∠BOD＝20°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOB＝2∠BOC＝40°，
故选：D．
9．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．0°＜α＜90°
B．α＝90°
C．90°＜α＜180°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
【解答】解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE．
∠GFH＝∠EFG+∠EFH
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°．
故选：B．
10．如图，点O在直线AB上，OC为射线，且∠AOC＝∠BOC，则∠BOC的度数是（ ）
A．150° B．135° C．120° D．30°
【解答】解：∵点O在直线AB上，OC为射线，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝150°．
故选：A．
11．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【解答】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，
∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFE＝120°，
∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH
∴∠EFH＝40°，
∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．
故选：D．
12．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝∠BAD'＝α，则∠DAE的度数为（ ）
A．2α B．90°﹣3α C．30°+ D．45°﹣
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠D'AE＝（90°﹣∠BAD'）＝45°﹣；
故选：D．
13．在同一平面上，若∠BOA＝60°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数是（ ）
A．80° B．40° C．20°或 40° D．80°或 40°
【解答】解：（1）如图所示：当OC边在∠BOA的外部时，
∠AOC＝∠BOA+∠BOC
＝60°+20°
＝80°；
（2）如图所示：当OC边在∠BOA的内部时，
∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC
＝60°﹣20°
＝40°．
故选：D．
14．如图，点B、O、D在同一直线上，∠COD＝105°，∠AOC为直角，则∠AOB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵点B、O、D在同一直线上，∠COD＝105°，
∴∠BOC＝180°﹣105°＝75°，
∵∠AOC＝90°，∠AOB+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOB＝90°﹣75°＝15°．
故选：B．
考点三 定理与命题
15．下列命题为真命题的是（ ）
A．两个锐角之和一定是钝角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．如果x2＞0，那么x＞0
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【解答】解：A、20°和30°都是锐角，20°+30°＝50°，50°是锐角，
∴两个锐角之和一定是钝角，是假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，
∴两直线平行，同旁内角相等，是假命题；
C、（﹣1）2＞0，﹣1＜0，
∴如果x2＞0，那么x＞0，是假命题；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
故选：D．
16．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．算术平方根等于自身的数只有1
C．直角三角形的两锐角互余
D．如果a2＝b2，那么a＝b
【解答】解：A、同位角相等，是假命题，本选项不符合题意．
B、算术平方根等于自身的数只有1，是假命题，本选项不符合题意．
C、直角三角形的两锐角互余，是真命题，本选项符合题意．
D、如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题，本选项不符合题意．
故选：C．
17．下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角大于任一内角
D．直角三角形的两锐角互余
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
18．下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：①长度相等的弧是等弧，错误，是假命题，不符合题意；
②一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，所以原命题说法错误，是假命题，不符合题意；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题的个数是0，
故选：D．
考点四 平行线中的拐点问题
19．如图，直线AB∥CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝120° C．α+β﹣γ＝60° D．β+γ﹣α＝60°
【解答】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°．
∵∠EFA＝∠KFG＝α，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝180°﹣γ，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝α+90°，
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣α﹣90°﹣180°+γ﹣30°，
∴α+β﹣γ＝60°，
故选：C．
20．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：过点B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°，
∴∠2＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
21．如图，已知AB∥EF，∠BAC＝p，∠ACD＝x，∠CDE＝y，∠DEF＝q，则用p、q、y来表示x．得（ ）
A．x＝p+y﹣q+180° B．x＝p+q﹣y+180°
C．x＝p+q+y D．x＝2p+2q﹣y+90°
【解答】解：如图，过点C作CM平行AB、过点D作ND平行EF，
则∠BAC＝∠ACM，
∠MCD+∠NDC＝180°，
∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM＝x﹣p，
∠NDE＝∠DEF＝q，
∴∠NDC＝∠CDE﹣∠NDE＝y﹣q，
∴x﹣p+y﹣q＝180°，
即x＝p+q﹣y+180°．
故选：B．
22．如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，且GF∥DE，已知∠ACD＝90°，若∠AGD＝α，∠GFE＝β，则下列等式中成立的是（ ）
A．α＝β B．2α+β＝90° C．3α+β＝90° D．α+2β＝90°
【解答】解：如图，过D作DP∥EF，连接GC并延长，
∵AB∥EF，
∴AB∥DP，
∴∠ACD＝∠BAC+∠PDC＝90°，
又∵∠ACH是△ACG的外角，∠DCH是△DCG的外角，
∴∠ACD＝∠CAG+∠CDG+∠AGD，
∴∠CAG+∠CDG＝90°﹣α，
∵∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，
∴∠BAC＝2∠GAC，∠CDG＝∠EDG，
∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣∠EDP）＝90°，
又∵DP∥EF，DE∥GF，
∴∠EDP＝∠F＝β，
∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣β）＝90°，
即2∠GAC+2∠CDG﹣β＝90°，
∴2（90°﹣α）﹣β＝90°，
∴2α+β＝90°，
故选：B．
23．如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，则∠1度数是（ ）
A．56° B．124° C．134° D．146°
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝56°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣56°＝124°．
故选：B．
24．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；
△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
即α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
25．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（ ）
A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°
C．∠ABE+3∠D＝180° D．∠ABE＝2∠D
【解答】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠G，
∵BF∥DE，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠D＝∠ABF，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．
故选：D．
26．已知，如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠ACD＝（ ）
A．55° B．70° C．40° D．110°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A＝70°，
∴∠ACD＝70°．
故选：B．
27．如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（ ）
A．43° B．57° C．47° D．45°
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD＝∠A＝43°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝47°，
故选：C．
28．如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）
A．95° B．105° C．110° D．115°
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝130°，
∴∠BCD＝∠ABC＝130°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝130°﹣55°＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣75°＝105°，
故选：B．
29．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：C．
30．如图，若AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【解答】解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CM∥DE，
∴∠1+∠B＝180°，∠2＝∠D＝35°，
∵∠B＝130°，
∴∠1＝50°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝85°，
故选：B．
31．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．22° C．28° D．38°
【解答】解：
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
考点五 平行的性质与判定
32．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF＝∠ADG，求证：DG∥BA．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠BEF＝∠BAD，
∵∠BEF＝∠ADG，
∴∠ADG＝∠BAD，
∴AB∥DG．
33．如图，若AB∥EF，AB∥CD．求证：∠2+∠3﹣∠1＝180°（关键步骤要写理由）．
【解答】证明：∵AB∥EF，AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠3＝∠CGE（两直线平行，内错角相等），
∴∠3﹣∠1＝∠CGE﹣∠1＝∠BGE（等式的性质），
∵AB∥EG（已知），
∴∠2+∠BGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠2+∠3﹣∠1＝180°．
34．如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F．求证：BC∥EF．
【解答】证明：∵∠A＝∠EDF（已知），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CGF（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠C＝∠F（已知），
∴∠CGF＝∠F（等量代换），
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
35．如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2．求证：DE∥AF．
【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴CD∥AB，
∴∠CDA＝∠BAD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴DE∥AF．
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