（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十四讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题（强化训练）

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十四讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题
考点一 等腰三角形存在性 2
考点二 直角三角形存在性 4
考点三 平行四边形存在性 6
















考点一 等腰三角形存在性

1．如图1，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例函数y＝x的图象交于点C．
（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点E是线段OD上一点，F是y轴正半轴上一点，且∠ECF＝45°，连接EF，求△OEF的周长．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴一次函数y＝﹣x+3，
∵与函数y＝x的图象交于点C，
∴﹣x+3＝x，
∴x＝2，
当x＝2时，y＝x＝2，
∴C点的坐标（2，2）．
（2）设P（0，m），
∵B（0，3），C（2，2）．
∴BC2＝（0﹣2）2+（3﹣2）2＝5，
PC2＝（0﹣2）2+（m﹣2）2＝4+（m﹣2）2，
BP2＝（m﹣3）2，
要使△BCP是等腰三角形，
①BC＝PC，
∴BC2＝PC2，
4+（m﹣2）2＝5，
m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1，
m＝3或m＝1，
当m＝3时与P点重合（舍去），
∴m＝1，
∴P（0，1），
②BC＝BP，
∴BC2＝BP2，
∴（m﹣3）2＝5，
m﹣3＝或m﹣3＝﹣，
∴m＝3+或m＝3﹣，
∴P（0，3+）或P（0，3﹣），
③PC＝BP，
∴PC2＝BP2，
∴4+（m﹣2）2＝（m﹣3）2，
解得m＝，
∴P（0，）．
综上所述，P点的坐标为：（0，1）或（0，3+）或（0，3﹣）或（0，）．
（3）过点C作CP交x轴于点P，使DP＝HF，过点C作CH⊥y轴，

∵CH⊥y轴，OD⊥y轴，CD⊥x轴，OH⊥x轴，
∴∠CHO＝∠HOD＝∠OPC＝∠PCH＝90°，
∴四边形HODC为长方形，
∵C（2，2）．
∴CD＝OD＝2，
∴四边形HODC为正方形，
∴CH＝CD，
∵在△CHF和△CDP中，∠CHF＝∠CDP＝90°，CH＝CD，HF＝DP，
∴△CHF≌△CDP（SAS），
∴CF＝PC，∠HCF＝∠DCP，
∵∠HCD＝∠HCF+∠FCE+∠ECD＝∠HCF+∠FCD＝90°，
∴∠DCP+∠FCD＝90°，
∴∠HCP＝∠FCD+∠DCP＝90°，
∵∠FCE＝45°，
∴∠ECP＝∠FCP﹣∠FCE＝90°﹣45°＝45°，
在△ECF和△ECP中，∠FCE＝∠ECP，CE＝CE，CF＝CP，
∴△CFE≌△CPE（SAS），
∴EF＝EP，
∵EP＝ED+DP＝ED+HF，设OE＝m，OF＝n，
∴HF＝OH﹣OF＝2﹣n，ED＝2﹣m+2﹣n＝4﹣m﹣n，
∴△OEF的周长＝OE+OF+EF
＝m+n+4﹣m﹣n
＝4．
2．如图所示，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第二象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第一象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在直线y＝中，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（0，），
∴在Rt△AOB中，AB＝，
又∵在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴设AC＝a，则BC＝2a，
可得：a2+22＝（2a）2，
解得：a＝±（负值舍去），
∴AC＝，
∴S△ABC＝，
∴△ABC的面积为；
（2）由题意可得：S四边形AOPB＝S△AOB+S△BOP，
∵点P在第一象限，且P点坐标为（m，），
∴S四边形AOPB＝，
S△APB＝S四边形AOPB﹣S△APO＝，
当△APB与△ABC面积相等时，
，
解得：m＝，
∴四边形AOPB的面积为，当△APB与△ABC面积相等时m的值为；
（3）存在，理由如下：
①当点Q在x轴上时，
由A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（0，），可得tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°，
如图：

∴当Q点位于A点右侧时，等腰△ABQ是等边三角形，此时AQ＝AB＝2，
∴点Q1的坐标为（1，0），
当Q点位于A点左侧时，等腰△ABQ中，AQ＝AB＝2，
此时点Q2的坐标为（﹣3，0）；
②当点Q在y轴上时，

当AB＝BQ＝2时，△ABQ为等腰三角形，
此时点Q3的坐标为（0，+2），点Q4的坐标为（0，﹣2），
当AB＝AQ＝2时，△ABQ为等腰三角形，
此时点Q5的坐标为（0，﹣），
当AQ＝BQ时，△ABQ为等腰三角形，
连接AQ6，设Q点坐标为（0，y），则AQ6＝﹣y，
在Rt△AOQ6中，12+y2＝（﹣y）2，
解得：y＝，
∴点Q6的坐标为（0，）；
综上，存在点Q，使△QAB是等腰三角形，点Q1（1，0），Q2（﹣3，0），Q3（0，+2），Q4（0，﹣2），Q5（0，﹣），Q6的坐标为（0，）．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；
（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．

【解答】解：（1）∵点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，
∴m＝﹣1﹣2＝﹣3．
∴点A的坐标为（1，﹣3），
∴点A向上平移5个单位长度得到点B的坐标为（1，2）；

（2）存在，
①当∠B＝90°时，如图，

∵B（1，2），C点在y＝﹣x﹣2上，
∴2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣4，
∴C（﹣4，2），
∴BC＝5，
∵点A向上平移5个单位长度得到点B，
∴AB＝BC＝5，
∴∠CAB＝45°，
②当∠ACB＝90°时，作CG⊥AB于G，

∵∠CAB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴G为AB中点，
∵点A的坐标为（1，﹣3），点B的坐标为（1，2），
∴G（1，﹣0.5）
∵点C在y＝﹣x﹣2上，
∴﹣0.5＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣1.5，
∴C（﹣1.5，﹣0.5）．
综上，存在一点C，使得△ABC是直角三角形，C点坐标为（﹣4，2）或（﹣1.5，﹣0.5）；

（3）当直线y＝kx﹣2过点A（1，﹣3）时，
得﹣3＝k﹣2，解得k＝﹣1．
当直线y＝kx﹣2过点B（1，2）时，
得2＝k﹣2，解得k＝4．

如图，若一次函数y＝kx﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是﹣1≤k≤4且k≠0．
4．如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线y＝kx+b经过点B与点C（2，0）．
（1）点A的坐标为 　（﹣3，0）　；点B的坐标为 　（0，2）　；
（2）求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在x轴上有一动点M（t，0），过点M作x轴的垂线与直线y＝x+2交于点E，与直线y＝kx+b交于点F，若EF＝OB，求t的值．
（4）当点M（t，0）在x轴上移动时，是否存在t的值使得△CEF是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，直接答不存在．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，
∴令y＝0，则x＝﹣3；令x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，2），
故答案为：（﹣3，0），（0，2）
（2）∵直线y＝kx+b经过点B与点C（2，0）．
∴
解得：
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝﹣x+2．
（3）∵ME⊥x轴，
∴点M、E、F的横坐标都是t，
∴点E（t，t+2），点F（t，﹣t+2）
∴EF＝|t|，
∵EF＝OB＝2，
∴2＝|t|
∴t＝±
（4）当点M在点C左边时，点E与点A重合时，
∴∠CEF＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∴t＝﹣3；
当点M在点C右边，且∠ECF＝90°时，

∵∠ECF＝90°，
∴∠ECM+∠FCM＝90°，且∠ECM+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠FCM，且∠CMF＝∠CME＝90°，
∴△CME∽△FMC，
∴，
∴（t﹣2）2＝（t+2）（t﹣2）
∴t＝2（不合题意舍去），t＝12
综上所述：t＝﹣3或t＝12时，△CEF是直角三角形．







考点二 直角三角形存在性

5．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．
根据信息解答下列问题：
（1）求直线l1的表达式．
（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．
（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2，
∴点B的横坐标为2，
当x＝2时，y2＝×2＝3，
∴直线l1，l2的交点坐标为B（2，3），
∵当y1＜0时，x＜﹣4，
∴直线l1与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），
将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，
∴，
解得：，
∴直线l1的表达式为y1＝x+2；
（2）联立，
解得：，
∴直线l2，l3的交点坐标为C（﹣1，﹣），
∴S△ABC＝＝9；
（3）存在，
∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，
∴设E点坐标为（x，x+2），D点坐标为（m，0），
又∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣），
在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，
①当AC，DE为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴此时D点坐标为（2，0），
②当AD，CE为平行四边形的对角线时，
，解得，
此时D点坐标为（2，0），
③当AE，CD为平行四边形的对角线时，
，解得，
此时D点坐标为（﹣10，0），
综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）．
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过B（6，1）的直线l2与直线l1交于点C（m，﹣5）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点D是第一象限位于直线l2上的一动点，过点D作DH∥y轴交l1于点H．当DH＝8时，试在x轴上找一点E，在直线l1上找一点F，使得△DEF的周长最小，求出周长的最小值；
（3）如图2，将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，点P是直线l3上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线l2与x轴交于点M，与y轴交于点N，将△OMN沿射线NM方向平移2个单位，平移后的△OMN记为△O'M'N'．在平面内是否存在一点Q，使得以点M′，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点C的坐标代入直线l1的表达式得：﹣5＝m+1，解得m＝﹣6，故点C（﹣6，﹣5），
设直线l2的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线l2的表达式为y＝x﹣2；

（2）设点D的坐标为（t，t﹣2），则点H（t，t+1），
则DH＝t+1﹣（t﹣2）＝8，解得t＝10，
故点D、H的坐标分别为（10，3）、（10，11）；
过点D作直线l1的对称点D′，

由直线l1的表达式知，该直线和x坐标轴的夹角为45°，连接D′H，
则△D′DH为等腰直角三角形，故D′H＝DH＝8，
故点D′（2，11），
过点D作x轴的对称点D″，则点D″（10，﹣3），
连接D″D′交直线l1于点F，交x轴于点E，则点E、F为所求点，此时，△DEF的周长最小，
理由：由图形的对称性知，DF＝D′F，DE＝D″E，
则△DEF的周长＝DE+DF+EF＝D″E+D′F+EF＝D″D′为最小，
则D″D′＝＝2；

（3）直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，则点A的坐标为（0，1），
同理可得，点M、N的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），则AN＝1+2＝3＝AN′，
将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，则∠NAN′＝90°，∠MAM′′＝90°，
则点N′的坐标为（3，1），
过点M′′作M′H⊥y轴于点H，

∵∠M′′AH+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，
∴∠M′′AH＝∠AMO，
∵AM＝AM′′，∠MOA＝∠AHM′′＝90°，
∴△MOA≌△AHM′′（AAS），
∴AH＝OM＝4，HM′′＝AO＝1，
故点M′′（1，5）；
由点M′′、N′的坐标得，直线M′′N′的表达式为y＝﹣2x+7，
∵点P是直线l3上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限，
故当x＝2时，y＝﹣2x+7＝3，故点P（2，3）；
由直线MN的表达式知，当将△OMN沿射线NM方向平移2个单位，则向右平移了4个单位向上平移了2个单位，
故点M′（8，2），
设点Q的坐标为（a，b），
而点P、C、M′的坐标分别为（2，3）、（﹣6，﹣5）、（8，2），
①当CP为对角线时，
由中点坐标公式得：（2﹣6）＝（a+8）且（3﹣5）＝（b+2），解得；
②当PQ为对角线时，
同理可得：（a+2）＝（8﹣6）且（b+3）＝（2﹣5），解得；
③当PM是对角线时，
同理可得：（8+2）＝（a﹣6）且（2+3）＝（b﹣5），解得；
故点Q的坐标为（﹣12，﹣4）或（0，﹣6）或（16，10）．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣，0），
∴AO＝|﹣|＝，
∵tan∠ACO＝，
∴CO＝3，
∴C（0，3），
将A、C的坐标代入y＝ax2+x+c得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F，过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，

设直线BC解析式为：y＝kx+b，
由（1）y＝﹣x2+x+3得B（ 3，0），
将B（ 3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b得：
，解得，
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
∵A（﹣，0），故K的横坐标xk＝﹣，代入y＝﹣x+3得yk＝4，
∴K（﹣，4），
∴AK＝4，
设D（m，﹣m2+m+3），则F（m，﹣m+3），
∴DF＝﹣m2+m，
∵DG⊥x轴于点G，AK⊥x轴，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴＝，
将△BDE、△ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同，
∴，
∴＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，有最大值，最大值为；
（3）如答图2，连接OC′，过C′作C′F⊥y轴于F，
由抛物线的解析式y＝﹣x2+x+3知其顶点为（，4），
∵OC＝3，OB＝3，
∴tan∠BCO＝＝，BC＝6，
∴∠BCO＝60°，
∵OC′＝OC，
∴△COC′是等边三角形，
∴CC′＝3，BC′＝3，
Rt△CFC′中可得CF＝，C′F＝，
∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且FO＝，
∴平移后抛物线顶点为（，），对称轴是直线x＝，C′（，），
∵M在平移后抛物线的对称轴上，
∴设M（，m），
又△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①C′M＝，C′B＝3，则＝3，
解得m＝或m＝，
∴M（，）或M（，），
②BM＝C′B＝3，则，
解得m＝或m＝﹣，
∴M（，）或M（，﹣），
综上所述，△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，则M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣），
故答案为：M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣）．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x＝﹣，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣x+3．
（2）令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，得C（0，3），
∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴∠BAC＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
设P（m，﹣m2﹣m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝，
∴当m＝时，PQmax＝，此时P（﹣，），
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周长＝﹣m2﹣m+（﹣m2﹣m），
＝（+1）（﹣m2﹣m），
＝（+1）PQ，
∴△PFG周长的最大值为：（+1）．
（3）∵B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），
由两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，
①当CQ＝CB时，
∴2m2＝13，
∴m1＝（舍去），m2＝﹣，
∴Q1（﹣，﹣+3）；
②当BQ＝CB时，
∴2m2+2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴Q2（﹣1，2）；
③当CQ＝BQ时，
∴2m2+2m+13＝2m2，
∴2m+13＝0，
∴m＝，
∴Q3（﹣，﹣）（不合题意舍去），
综上所述，当Q1（﹣，﹣+3），Q2（﹣1，2）时，以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．







考点三 平行四边形存在性
9．已知抛物线L经过点A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
得．解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设平移后的抛物线为K：y＝﹣x2+mx+n，
∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点B（3，0），
∴﹣9+3m+n＝0，
∴n＝9﹣3m，
∴y＝﹣x2+mx+9﹣3m，
∴P（0，9﹣3m）；
当y＝0时，由﹣x2+mx+9﹣3m＝0，得x＝，
∴x1＝3，x2＝m﹣3．
如图1，当m﹣3≥0，即m≥3时，△BPQ不能是直角三角形；
如图2，当m﹣3＜0，即m＜3时，存在△BPQ是直角三角形，且只有∠BPQ＝90°一种情况.
∵∠POQ＝∠BOP＝90°，∠QPO＝90°﹣∠BPO＝∠PBO，
∴△POQ∽△BOP，
∴，
∴OP2＝OQ•OB，
∴（9﹣3m）2＝3（3﹣m），
∴m1＝，m2＝3（不符合题意，舍去），
∴抛物线K：y＝﹣x2+x+1，
∵抛物线L：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
抛物线K：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+，
∴﹣1＝，﹣4＝﹣，
∴抛物线L向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．


10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；
（3）试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；

（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×（t﹣3﹣t2+2t+3）＝﹣（t﹣）2+≤，
∴当t＝时，△PBC的面积最大值为，
此时点P的坐标为（，﹣）；

（3）∵点P为直线BC下方抛物线上一动点，故∠PBC≠90°，
①当∠PCB为直角时，
由直线BC的表达式知，直线BC和x轴负半轴的夹角为45°，
∴当∠PCB为直角时，则直线PC与x轴的夹角为45°，
故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣3②，
联立①②得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3，解得x＝0（舍去）或1，
即t＝1，
②当∠BPC为直角时，如图2，
过点P作y轴的垂线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，

设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵∠BPM+∠PBM＝90°，∠BPM+∠CPN＝90°，
∴∠PBM＝∠CPN，
∴tan∠PBM＝tan∠CPN，即，
∴＝，解得t＝（不合题意的值已舍去）；
综上，t的值为1或．
11．如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，
∴，
∴解得：，
∴．
∴该抛物线表达式为．
（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，
∴P（m，0），，
∴．
②由题意可得：，MN∥BC，
∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．
1° 当点P在线段OC上时，，
又∵BC＝，
∴．
得m1＝1，m2＝2．
2° 当点P在线段OC的延长线上时，．
∴，
解得 （不合题意，舍去），．
综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），
∴y＝﹣（x+2）（x﹣5），
∴y＝﹣x2+3x+10，
（2）作PH⊥AC于H，PD∥y轴交AC于D点，交x轴于E，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PDH＝45°，
∴PD＝，
设P（m，﹣m2+3m+10），
则E（m，0），
∴AE＝m+2，
∴DE＝m+2，
∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2）
＝﹣m2+2m+8，
当m＝1时，PD最大为9，
∴PH的最大值为，
即P到AC的最大距离为，
（3）由（2）知：P（1，12），
∴Q（1，8），
∵直线AC：y＝x+2与抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）交点C坐标为（4，6），
抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）向右平移2个单位后解析式为：y＝﹣x（x﹣7）＝﹣x2+7x，
∴对称轴为：直线x＝，
当CQ为边时，如图，若C（4，6）平移到N，Q（1，8）平移到M，则M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
当CQ为边时，若C（4，6）平移到M，Q（1，8）平移到N，则M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
当CQ为对角线时，可看作C平移到N，M平移到Q，
∴M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
综上所述：．