（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第八讲 平面直角坐标系与函数（讲义）学案

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第八讲 平面直角坐标系与函数
一、7个必备知识点 2
考点一 点坐标的特征 4
考点二 图形在坐标系中的旋转 8
考点三 图形在坐标系中的平移 15
考点四 坐标系中的动点问题 21
考点五 自变量的取值范围 28
考点六 函数图像的简单应用 29















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一、7个必备知识点
1．有序数对
（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．
2．点的坐标特征
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
﹢
+
第二象限
-
+
第三象限
-
-
第四象限
+
-
x轴上
正半轴上
+
0
负半轴上
-
0
y轴上
正半轴上
0
+
负半轴上
0
-
原点
0
0
3．轴对称
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
4．中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．
5．图形在坐标系中的旋转
图形（点）的旋转与坐标变化：
（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；
（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；
（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（-y，x）；
（4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）．
6．图形在坐标系中的平移
图形（点）的平移与坐标变化
（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；
（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；
（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；
（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．
7．函数
（1）函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：①有两个变量．②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.
（2）函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
（3）函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
（4）函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
（5）函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．





考点一 点坐标的特征

1．点P（m+3，m﹣1）在y轴上，则点P的坐标为（　　）
A．（0，﹣4） B．（5，0） C．（0，5） D．（﹣4，0）
【解答】解：点P（m+3，m﹣1）在y轴上，得：
m+3＝0．
解得m＝﹣3，
m﹣1＝﹣4，
点P的坐标是（0，﹣4），
故选：A．
2．若xy＞0，则关于点P（x，y）的说法正确的是（　　）
A．在第一或第二象限 B．在第一或第三象限
C．在第二或第四象限 D．在第一或第四象限
【解答】解：∵xy＞0，
∴x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
∴点P（x，y）在一或三象限．
故选：B．
3．已知点A（m，2021）与点B（2020，n）关于x轴对称，则m+n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：∵A（m，2021）与点B（2020，n）关于x轴对称，
∴m＝2020，n＝﹣2021，
则m+n＝2020﹣2021＝﹣1．
故选：B．
4．已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．72021 D．﹣72021
【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
则（a+b）2021＝（4﹣3）2021
＝1．
故选：A．
5．在平面直角坐标系中，点（﹣2，a2+2a+3）关于x轴对称的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵a2+2a+3＝（a+1）2+2＞0，
∴点（﹣2，a2+2a+3）在第二象限，
∴点（﹣2，a2+2a+3）关于x轴对称的点在第三象限．
故选：C．
6．若点A（m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，
∴m＝1，n＝2，
故m+n＝3．
故选：D．
7．已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2021的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2021
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
∴（m+n）2021的值为﹣1．
故选：B．
8．点（a，﹣3）关于原点的对称点是（2，﹣b），则a+b＝（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【解答】解：∵点（a，﹣3）关于原点的对称点是（2，﹣b），
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣5，
故选：B．
9．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，m2+3）关于原点的对称点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：点P（﹣5，m2+3）关于原点的对称点为（5，﹣m2﹣3），
∵﹣m2﹣3＜0，
∴点P（﹣5，m2+3）关于原点的对称点在第四象限．
故选：D．
10．已知平面直角坐标系内不同的两点A（3a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为　1或﹣3　．
【解答】解：∵平面直角坐标系内的两点A（3a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，
∴|2a+2|＝4，
解得：a1＝1，a2＝﹣3．
当a＝1时，点A为（5，4），点B为（3，4），符合题意；
当a＝﹣3时，点A为（﹣7，4），点B（3，﹣4），符合题意．
故答案为：1或﹣3．
11．阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　3　．
（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（1，﹣3），
∴AB＝＝3；
故答案为3；
（2）当B点在x轴上，设B（t，0），
而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5，
∴（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解得t＝2或﹣6，
此时B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）；
当B点在y轴上，设B（0，m），
而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5，
∴（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解得m＝3+或3﹣，
此时B点坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；
综上所述，B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）或（0，3+）或（0，3﹣）；
（3）∵点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
∴（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，
整理得x2﹣5x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
即x的值为﹣1或6．
12．先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴，距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（3，5），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），你能断定此三角形的形状吗？说明理由．
【解答】解：（1）∵A（3，5）、B（﹣2，﹣1），
∴AB＝＝；
（2）设点A的坐标为（m，5），则点B的坐标为（m，﹣1），
∴AB＝＝6；
（3）△ABC为等腰三角形．
理由如下：
∵A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），
∴AB＝＝5，BC＝＝6，AC＝＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．


考点二 图形在坐标系中的旋转

1．如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A．（10，8） B．（8，﹣10） C．（﹣10，8） D．（﹣8，10）
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA．

∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵∠AEB＝∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠ABE+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠ABE＝∠BCO，
∴△AEB∽△BOC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝8，BE＝6，
∴OE＝10，
∴A（﹣10，﹣8），
则第1次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
则第2次旋转结束时，点A的坐标为（10，8），
则第3次旋转结束时，点A的坐标为（8，﹣10），
则第4次旋转结束时，点A的坐标为（﹣10，﹣8），
••••••
观察可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝505...1，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
故选：D．
2．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【解答】解：如图，设AB交OB1于T，过点A1作A1R⊥x轴于R．

∵A（0，2），B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝2，
∴AB＝＝＝，
∵•OB•OA＝•AB•OT，
∴OT＝＝，
∴AT＝＝＝，
∵∠AOR＝∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠A1OR，
∵∠ATO＝∠A1RO＝90°，
∴△ATO∽△A1RO，
∴＝＝，
∴1＝＝，
∴OR＝，RA1＝，
∴A1（，），
故选：A．
3．如图，将一个含30°角的直角三角尺AOB放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知∠OAB＝30°，AB＝16，点D为斜边AB的中点，现将三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°，则点D的对应点D′的坐标为（　　）

A．（4，4） B．（8，﹣8） C．（4，﹣4） D．（4，﹣4）
【解答】解：如图，过点D′作D′H⊥OA′于H．

在Rt△A′OB′中，∠A′OB′＝90°，A′B′＝16，A′D′＝D′B′，
∴OD′＝A′D′＝A′B′＝8，
∴∠D′OH＝∠D′A′O＝30°，
∴D′H＝OD′＝4，OH＝D′H＝4，
∴D′（4，﹣4）．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，P分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，0），△PAB是等边三角形，将线段PA绕点P顺时针旋转30°得到线段PC，则点C的坐标为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：过点C作CH⊥OP于H．

∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵△PAB是等边三角形，OP⊥AB，
∴OA＝OB＝1，∠APO＝∠APB＝30°，
∴OP＝OA＝，PA＝2OA＝2，
在Rt△CPH中，∠CHP＝90°，∠APH＝60°，
∴CH＝PC•tan60°＝，PH＝PC＝1，
∴OH＝OP﹣PH＝﹣1，
∴C（﹣，﹣1）．
故选：D．
5．如图，将斜边为4，且一个角为30°的直角三角形AOB放在直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重合，D为斜边的中点，现将三角形AOB绕O点顺时针旋转120°得到三角形EOC，则点D对应的点的坐标为（　　）

A．（1，﹣） B．（，1） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）
【解答】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△A′OB′，连接OD，OD′，过D′作DM⊥y轴，
∴∠DOD′＝120°，
∵D为斜边AB的中点，
∵AD＝OD＝AB＝2，
∴∠BAO＝∠DOA＝30°，
∴∠MOD′＝30°，
在Rt△OMD′中，OD′＝OD＝2，
∴MD′＝1，OM＝，
则D的对应点D′的坐标为（1，﹣），
故选：A．

6．如图，将△ABC绕点C（﹣1，0）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a﹣2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）
【解答】解：设A′的坐标为（m，n），
∵A和A′关于点C（﹣1，0）对称．
∴＝﹣1，＝0，
解得m＝﹣a﹣2，n＝﹣b．
点A′的坐标（﹣a﹣2，﹣b）．
故选：B．
7．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是　（4，）　．

【解答】解：在中，令x＝0得，y＝4，
令y＝0，得，解得x＝，
∴A（，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，
∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1＝，OB＝O1B＝4，
∴∠OBO1＝90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4＝；
横坐标为O1B＝OB＝4，
故点A1的坐标是（4，），
故答案为：（4，）．



考点三 图形在坐标系中的平移

1．如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣4，1） B．（﹣1，2） C．（4，﹣1） D．（1，﹣2）
【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），
故选：D．
2．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，若点P2的坐标为（2.8，3.6），则点P的坐标为（　　）

A．（1.2，1.4） B．（﹣1.2，﹣1.4）
C．（2.2，2.4） D．（﹣2.2，﹣2.4）
【解答】解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，
∵P2（2.8，3.6），P1与P2关于原点对称，
∴P1（﹣2.8，﹣3.6），
∴P（1.2，1.4）．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
3．如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0），B（3，0）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD．动点P在y轴上，当S△PAC＝S四边形ABDC时，点P的坐标是　（0，﹣10）或（0，14）　．

【解答】解：设P（0，m），
由题意×|m﹣2|×1＝×4×2，
解得m＝﹣10或14，
∴P（0，﹣10）或（0，14），
故答案为：（0，﹣10）或（0，14）．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（1，4），BC∥y轴与x轴交于点C，BD∥x轴与y轴交于点D，平移四边形ABCD，使点D的对应点为DO的中点E，则图中阴影部分的面积为 　6.5　．

【解答】解：由题意，E（0，2），J（﹣1.5，0），C（1，0），T（﹣3，﹣2），Q（1，﹣2）．

∵四边形EPQT是由四边形DBCA平移得到，
∴S四边形DBCA＝S四边形EPQT，
∴S阴＝S四边形JCQT＝×（2.5+4）×2＝6.5，
故答案为：6.5．
5．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为15，则点C的坐标为 　（6，3）　．

【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为15，点A的坐标为（1，3），
∴3AC＝15，
∴AC＝5，
∴C（6，3），
故答案为（6，3）．
6．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），△OAB沿AC方向平移AC长度的到△ECF，四边形ABFC的面积为 　3　．

【解答】解：∵点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），
∴AC＝5﹣4＝1，AC∥x轴，
∵△OAB沿AC方向平移AC长度的到△ECF，
∴AC＝BF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC的高为C点到x轴的距离，
∴S四边形ABFC＝1×3＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共2小题）
7．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．
（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；
（2）求出△COA1的面积．

【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求，A（﹣3，1），B（0，2），C（﹣1，4）；

（2）△COA1的面积为：2×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×1×1
＝8﹣3﹣2﹣
＝．

8．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点A（0，﹣2），B（2，﹣5），C（5，﹣3），请按下列要求操作：
（1）请在图中画出△ABC；
（2）将△ABC向上平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1．在图中画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．

【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；

（2） 如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣4，3），B1（﹣2，0），C1（1，2）．


考点四 坐标系中的动点问题

1．如图，直角坐标系中两点A（0，4），B（1，0），P为线段AB上一动点，作点B关于射线OP的对称点C，则线段AC的最小值为（　　）

A．3 B．4 C． D．
【解答】解：连接OC、AC，
∵A（0，4），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵C是点B关于射线OP的对称点，
∴OC＝OB＝1，
∵AC≥OA﹣OC，
∴AC≥4﹣1＝3，
∴AC的最小值为3，
故选：A．

2．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　（﹣2，0）　．
【解答】解：作点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′（﹣1，1），作直线A′B交x轴于点M，
由对称性知：MA′＝MA，
∴MB﹣MA＝MB﹣MA′＝A′B，
若N是x轴上异于M的点，则NA′＝NA，这时NB﹣NA＝NB﹣NA′＜A′B＝MB﹣MA′，
所以，点M就是使MB﹣MA的值最大的点，MB﹣MA的最大值是A′B，
设直线A′B的解析式为：y＝kx+b，
把A′（﹣1，1），B（2，4）代入得：，
解得：，
∴直线A′B的解析式为y＝x+2，
∵点M为直线A′B与x轴的交点，
当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．

3．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2＝他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x＝，y＝．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为　　；
②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：　（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）　；
拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y＝x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
【解答】解：
（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），
∴Q1Q2＝OQ2﹣OQ1＝x2﹣x1，
∴Q1Q＝，
∴OQ＝OQ1+Q1Q＝x1+＝，
∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，
∴PQ＝＝，
即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x＝，y＝；
（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），
∴MN＝＝，
故答案为：；
②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），
∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），
设D（x，y），则x+3＝0，y+（﹣1）＝2，解得x＝﹣3，y＝3，
∴此时D点坐标为（﹣3，3），
当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），
当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），
综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，

又对称性可知EP＝EM，FP＝FN，
∴PE+PF+EF＝ME+EF+NF＝MN，
∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，
设R（x，x），由题意可知OR＝OS＝2，PR＝PS＝n，
∴＝2，解得x＝﹣（舍去）或x＝，
∴R（，），
∴＝n，解得n＝1，
∴P（2，1），
∴N（2，﹣1），
设M（x，y），则＝，＝，解得x＝，y＝，
∴M（，），
∴MN＝＝，
即△PEF的周长的最小值为．
4．阅读下列一段文字．
材料1：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可以用下列公式计算：MN＝．例如：已知点P（2，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝＝．
材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点M（x1，y1）、M（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（）．
例如：已知点P（2，1）、Q（1，﹣2）则线段PQ中点M的坐标，即M．解答下列问题：
如图：已知点A（2，4）、B（6，2），线段AB的中点为C．
（1）求线段AB的长度和中点C的坐标．
（2）若点M为x轴上的一个动点，当MA＝MB时，求点M的坐标及直线MC的解析式．

【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（6，2），
∴AB＝＝2，
线段AB的中点C的坐标为（，），即C（4，3）；
（2）设M（t，0），
∵MA＝MB，
∴MA2＝MB2，即（t﹣2）2+（0﹣4）2＝（t﹣6）2+（0﹣2）2，解得t＝，
∴M（，0），
设直线MC的解析式为y＝kx+b，
把M（，0），C（4，3）分别代入得，解得，
∴直线MC的解析式为y＝2x﹣5．
5．（1）如图，在直线m的同侧有A，B两点，在直线m上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大（保留作图痕迹）

（2）平面直角坐标系内有两点A（2，3），B（4，5），请分别在x轴，y轴上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大，则点P，Q的坐标分别为　（，0）　，　（0，1）　
（3）代数式+的最小值是　2　，此时x＝　　
（4）代数式﹣的最大值是　2　，此时x＝　﹣1　．
【解答】解：（1）①作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B与直线m交于点P，此时PA+PB最小，点P如图所示．
②延长BA交直线m于Q，此时，|QB﹣QA|最大，点Q如图所示．


（2）点A关于x轴的对称点A′（2，﹣3），
直线A′B的解析式为y＝4x﹣11，y＝0时，x＝，
所以点P坐标（，0）．
直线AB解析式为y＝x+1，与y轴的交点为（0，1），
所以点Q坐标（0，1）．
故答案为（，0），（0，1）

（3）∵+＝+，
欲求+的最小值，
可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小，
由（2）可知x＝，最小值＝＝2，
故答案为2，．

（4）∵﹣＝﹣，
欲求﹣的最大值，
可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之差最大，
∵直线AB解析式为y＝x+1，与x轴交于点Q（﹣1，0），
∴x＝﹣1时，此时最大值＝2．
故答案为2，﹣1．


考点五 自变量的取值范围

1．函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥l且x≠0 B．x≠0 C．x≤1且x≠0 D．x≤1
【解答】解：由题意得：1﹣x≥0且x≠0，
解得：x≤1且x≠0，
故选：C．
2．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞2且x≠﹣5 C．x≠﹣5 D．x≥2且x≠﹣5
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0且x+5≠0，
解得：x≥2，
故选：A．
3．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2021 B．x＞2021 C．x≤2021 D．x≠2021
【解答】解：由题可得，x﹣2021≥0，
解得x≥2021，
故选：A．
4．下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
【解答】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；
C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
故选：B．
5．在函数中，自变量x的取值范围是 　x≥﹣2且x≠3　．
【解答】解：由题意得：x+2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣2且x≠3，
故答案为：x≥﹣2且x≠3．

考点六 函数图像的简单应用

1．下列各图表示y是x的函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；
B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；
C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；
D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
故选：D．
2．一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为3，则y与x之间的关系用图象表示大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得，
∴xy＝6，
∴y＝（x＞0，y＞0），
故选：C．
3．如图是某城市一天的气温变化图，根据图象判断，以下说法不正确的是（　　）

A．当日最低气温是5℃
B．当日温度为30℃的时间点有两个
C．从早上9时开始气温逐渐升高，直到15时到达当日最高气温接近40℃
D．当日气温在10℃以上的时长共12个小时
【解答】解：A．由纵坐标看出，当日最低气温是5℃，错误，故A选项不合题意；
B．由纵坐标看出，当日温度为30℃的时间点有两个，故B选项不合题意；
C．由函数图象看出，从早上9时开始气温逐渐升高，直到15时到达当日最高气温接近40℃，故C不合题意；
D．由函数图象看出，当日气温在10℃以上的时长共18个小时，故D符合题意；
故选：D．
4．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系．由此给出下列说法：
①小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min．
②食堂与图书馆相距0.2km．
③小明从图书馆回家的速度是0.08km/min．
其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解；由图象可得，
小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min，故①正确；
食堂与图书馆相距0.8﹣0.6＝0.2（km），故②正确；
小明从图书馆回家的速度为0.8÷（68﹣58）＝0.08（km/min），故③正确，
故选：D．
5．已知小军家，公交站，学校顺次在一条直线上，小军从家出发步行去公交站，在公交站等了一会儿后，乘车前往学校，设小军从家出发后所用时间为t，小军与家的距离为s．下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：①刚开始距离家最近，步行的过程，距离缓慢增大；
②等校车的过程，距离不变；
③坐校车去学校的过程，路程快速增大；
综上可得B选项的函数图象符合．
故选：B．
6．定义新运算a⊗b＝，例如4⊗5＝4×52，4⊗（﹣5）＝﹣4×52．则函数y＝2⊗x的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得：y＝2⊕x＝，
当x≥0时，抛物线在在第一象限，
当x＜0时，抛物线在第三象限，
故选：D．
7．“龟兔赛跑”新编：兔子和乌龟在上一次比赛中，兔子由于骄傲输给了乌龟．新的一轮比赛开始，兔子汲取教训极力奔跑，一路遥遥领先的兔子在比赛途中捡到一个钱包，为了便于失主尽快找到，兔子焦急地在原地等待，直到钱包被认领．这时，兔子发现乌龟已经远远地跑在了自己的前面，于是它奋起直追，结果拾金不昧的兔子与乌龟同时到达终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“为了便于失主尽快找到，兔子焦急地在原地等待，直到钱包被认领，这时，兔子发现乌龟已经远远地跑在了自己的前面，于是它奋起直追，结果拾金不昧的兔子与乌龟同时到达终点”一致，符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直在增加，不符合题意；
C．此函数图象中，S2随时间增加其路程一直在变化，不符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：A．
8．小明骑车上学，当他骑了一段时间后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校．他离家距离（米）与所用的时间（分钟）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是 　1500　米；
（2）小明在书店停留了 　4　分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 　2700　米；
（4）据统计骑车的速度超过了330米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由．

【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500；

（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，
故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4；

（3）一共行驶的总路程＝1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）
＝1200+600+900＝2700米；
故答案为：2700；

（4）由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝200米/分，
6～8分钟时，平均速度＝＝300米/分，
12～14分钟时，平均速度＝＝450米/分，
∵450＞300，
∴12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．