（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第二讲 整式与因式分解（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第二讲  整式及因式分解

一、11个必备知识点

       考点一  整式及相关概念

       考点二  幂的运算

       考点三  平方差与完全平方公式

       考点四  整体法--代数式求值

       考点五  化简求值

       考点六  因式分解

一、11个必备知识点

1．代数式：代数式的书写要注意规范，如：乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

2．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.

3．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.

4．整式：单项式和多项式统称为整式.

5．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

6．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

7．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.

8．整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.

（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.

9．乘法公式：

（1）平方差公式：.   （2）完全平方公式：.

10．整式的除法：

（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.

（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

11．因式分解的基本方法：

（1）提取公因式法：.

（2）公式法：运用平方差公式：.

运用完全平方公式：.

       考点一  整式及相关概念

单项式与多项式统称整式.

观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．

多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．

考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.

一．选择题（共4小题）

1．下列各组式子中，是同类项的为（　　）

A．2a与2b B．2ab与﹣3ba C．a2b与2ab2 D．3a2b与a2bc

2．多项式3x|m|y2+（m+2）x2y﹣1是四次三项式，则m的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1

3．若多项式x2﹣2kx﹣x+7化简后不含x的一次项，则k的值为（　　）

A．0 B．﹣2 C． D．

4．若计算（x+m）（4x﹣3）﹣5x所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（　　）

A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．4

二．填空题（共7小题）

5．若amb3与﹣7abn是同类项，则m+n＝　 　．

6．已知代数式3x2a﹣1y1+m与x2﹣by2﹣n为同类项，则2a+b+2m+2n＝　 　．

7．若（2x﹣a）（x+1）的积中不含x的一次项，则a的值为　 　．

8．已知关于x，y的多项式x2+mx﹣2y+n与nx2﹣3x+4y﹣7的差的值与字母x的取值无关，则n﹣m＝　 　．

9．已知多项式4x2﹣2kxy﹣3（x2﹣5xy+x）不含xy项，则k的值为　    　．

10．已知A＝2x2+x+1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则常数m＝　   　．

11．若多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3相加后不含二次项，则m的值为　 　．

       考点二  幂的运算

幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．

一．选择题（共3小题）

1．化简a2•a3的结果是（　　）

A．a B．a5 C．a6 D．a8

2．下列运算正确的是（　　）

A．（ab3）2＝a2b6 B．a6÷a3＝a2 

C．a2•a3＝a6 D．a+a＝a2

3．下列运算正确的是（　　）

A．3a2b﹣2ba2＝a2b B．5a﹣4b＝ab 

C．a2+a2＝a4 D．2（a﹣1）＝2a﹣1

二．填空题（共6小题）

4．已知am＝8，an＝5，则am+n＝　   　．

5．若3x＝2，3y＝4，则3x+y＝　 　．

6．若5m＝3，5n＝4，则5m﹣n的值是 　              　．

7．若xm＝5，xn＝4．则x2m﹣n＝　               　．

8．已知：3m＝2，9n＝5，则33m﹣2n＝　              　．

9．已知xa＝2，xb＝9，则x3a﹣2b＝　               　．

       考点三  平方差与完全平方公式

熟练的掌握（1）平方差公式：. 

 （2）完全平方公式：

一．选择题（共2小题）

1．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（　　）

A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） 

C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y）

2．若x2+4y2﹣8x+4y+17＝0，则xy＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1

二．填空题（共11小题）

3．若（x﹣y）2＝5，xy＝1，则（x+y）2＝　 　．

4．若多项式x2+kx+25是一个完全平方式，则k＝　    　．

5．16x2+kxy+4y2是一个完全平方式，则k＝　    　．

6．若正有理数m使得二次三项式x2﹣2mx+36是一个完全平方式，则m＝　 　．

7．已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝　   　．

8．若a﹣b＝6，ab＝2，则a2+b2＝　   　．

9．已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝48，则（x﹣2020）2＝　   　．

10．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，则x2+y2＝　   　；xy＝　   　．

11．若，求的值为　 　．

12．若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m•n的值为 　   　．

13．若x+y＝4，xy＝1，则x2+y2﹣2＝　   　．

       考点四  整体法--代数式求值

一．选择题（共4小题）

1．已知a+2b＝5，则代数式1+2a+4b的值是（　　）

A．11 B．6 C．﹣4 D．﹣9

2．已知x﹣3y＝4，则代数式15y﹣5x+6的值为（　　）

A．﹣26 B．﹣14 C．14 D．26

3．若a2+3a＝1，则代数式5a2+15a﹣2的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．若a2﹣ab＝7﹣m，b2﹣ab＝9+m，则a﹣b的值为（　　）

A．2 B．±2 C．4 D．±4

二．填空题（共8小题）

5．的整数部分为a，小数部分为b，求a3++b2＝　                　．

6．已知代数式3m+6n﹣5的值为1，则代数式﹣m﹣2n的值为　   　．

7．若x，y满足2x﹣3y+4＝2020，则2﹣4x+6y＝　      　．

8．已知，则m4+2m3﹣145m2的值为 　 　．

9．已知当x＝2时，代数式ax3+bx﹣5的值为20，则当x＝﹣2时，代数式ax3+bx﹣5的值是　    　．

10．已知x2﹣3x+1＝0，则﹣2x2+6x＝　 　；x3﹣2x2﹣2x+9＝　 　．

11．已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为 　 　．

12．若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝　     　．

解题的顺序：先化简，再求值。不能直接将数带入运算。.

1．化简：

（1）2（2x2﹣xy）+x（x﹣y）；（2）ab（2ab2﹣a2b）﹣（2ab）2b+a3b2．

2．计算：（x﹣2y）（2x+y）+x（﹣2x﹣y）．

3．化简下列各式：

（1）2（ab﹣2c）+（﹣ab+2c）；（2）﹣2（3x2﹣xy）+3（x2﹣xy+2）．

4．先化简，再求值：，其中a、b满足．

5．先化简，再求值：x（x+y）﹣（2x﹣3y）（x﹣y）+（x﹣2y）（x+2y），其中x＝3，y＝﹣1．

6．先化简，再求值：ab[（2a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）]，其中a、b满足：（a+2）2+|b﹣1|＝0．

7．先化简，再求值：，其中5m+2n＝7．

8．先化简，再求值．

[（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣b）2﹣3a（a﹣2b）]÷b，其中+b2+2b+1＝0．

9．先化简，再求值：[（a﹣b）2﹣（a﹣2b）（2a+5b）+（a+b）（a﹣b）]÷2b，其中a＝1，b＝﹣．

       考点六  因式分解

因式分解的概念与方法步骤

①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．

②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.

③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．

一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.

一．选择题（共3小题）

1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．ax+bx+c＝（a+b）x+c B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）

2．下列各式中，正确的因式分解是（　　）

A．a2﹣b2+2ab﹣c2＝（a+b﹣c）（a﹣b﹣c） 

B．﹣（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y+1） 

C．2（a﹣b）+3a（b﹣a）＝（2+3a）（a﹣b） 

D．2x2+4x+2﹣2y2＝（2x+2+2y）（x+1﹣y）

3．若4x4﹣（y﹣z）2分解因式时有一个因式是2x2+y﹣z，则另一个因式是（　　）

A．2x2﹣y+z B．2x2﹣y﹣z C．2x2+y﹣z D．2x2+y+z

二．填空题（共4小题）

4．把多项式ab2﹣4ab﹣12a分解因式的结果是 　            　．

5．在实数范围内因式分解：3x2+6x﹣2＝　                　．

6．分解因式：3a（x﹣y）+2b（y﹣x）＝　             　．

7．分解因式：﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝　            　．

三．解答题（共2小题）

8．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得：x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）．

则x﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．

∴．

解得：n＝﹣7，m＝﹣21．

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

问题：仿照以上方法解答下列问题：

已知二次三项式2x2﹣5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．

9．阅读材料：由多项式乘法可得：（x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn，根据因式分解是整式乘法方向相反的变形可得：x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n），由此获得因式分解的一种方法，如：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．

解决问题：

（1）分解因式：

①x2+8x+15

②（a+2）2﹣（a+2）﹣20

（2）若x2﹣px﹣12分解因式的结果有一个因式为x﹣2，则实数p的值为　   　．

（3）计算：