（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第二十七讲 尺规作图（强化训练）

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第二十七讲  尺规作图

考点一  尺规作图

考点一  尺规作图

1．在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．

已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．

小云的作法如下：

①在直线l上任取一点B，连接AB．

②以A为圆心，线段AB的长度为半径作弧，交直线l于点D．

③分别以B、D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C．

④作直线AC．直线AC即为所求（如图2）．

（1）请证明：AC⊥直线l．

（2）若BD＝12，AC＝16，求四边形ABCD的周长．

【解答】（1）证明：由作法得AB＝AD，CB＝CD，

∴四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

即AC⊥直线l．

（2）解：AC与BD相交于O点，如图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴OA＝OC＝AC＝8，BO＝DO＝BD＝6，

在Rt△AOB中，AB＝＝＝10，

∴四边形ABCD的周长＝4×10＝40．

2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．

（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；

（2）在（1）的条件下，连接ED，若∠A＝63°，求∠CDE的度数．

【解答】解：（1）如图，E即为所求；

（2）由（1）的作法可知，EF是AD的垂直平分线，

∴AE＝DE，

∴∠ADE＝∠A＝63°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣∠A＝117°，

∴∠ADE+∠CDE＝117°，

∴∠CDE＝117°﹣∠ADE＝54°．

3．在△ABC中，BD是边AC上的高．

（1）尺规作图：作∠C的角平分线，交BD于E．

（2）若DE＝3，BC＝10，求△BCE的面积．

【解答】解：（1）如图，CE为所作．

（2）作EH⊥BC于H，如图，

∵CE平分∠BCD，ED⊥CD，EH⊥BC，

∴EH＝ED＝3，

∴S△BCE＝×BC×EH＝×3×10＝15．

4．在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作一个角等于已知角

已知：∠AOB，

求作：∠A′O′B′，使：∠A′O′B′＝∠AOB

小易同学作法如下：

①作射线O′A′，

②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D，

③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′，

④以点C′圆心，以CD为半径作弧，交③中所画弧于D′，

⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角

老师说：“小易的作法正确”

请回答：小易的作图依据是　SSS，全等三角形的对应角相等　．

【解答】解：由作图可知：

OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，

∴△COD≌△C′O′D′（SSS），

∴∠COD＝∠C′O′D′（全等三角形对应角相等）．

故答案为：SSS，全等三角形对应角相等．

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°．

（1）用尺规作图法作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

（2）若AD＝BD＝4，求BC．

【解答】解：（1）如图，

所以BD即为所求．

（2）∵AD＝BD＝4，

∴∠A＝∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°，

∴BC＝BD•cos30°＝．

6．如图，O是AB上一点，过点O作射线OC．

（1）利用尺规作图分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1）如图，OD、OE为所作；

（2）OD⊥OE．

理由如下：

∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠COD＝AOC，∠EOC＝∠BOC，

∴∠COD+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°，

即∠DOE＝90°，

∴OD⊥OE．

7．画出三角形三边的垂直平分线（保留作图痕迹）．

【解答】解：如图，直线l、l′，l″为所作．

8．如图，已知∠AOB，∠DCE，利用尺规作图，比较它们的大小（不写作法，保留作图痕迹）．

【解答】解：如图，

由图知，点A′在∠AOB的内部，所以∠AOB＞∠DCE．

9．尺规作图：

已知：∠ABC．

求作：∠A1B1C1，使∠A1B1C1＝∠ABC．

【解答】解：①作射线B1C1；

②以点B为圆心，以任意长为半径作弧，交BC于E，交BA于D；

③以点B1为圆心，以BE长为半径作弧，交B1C1于E′；

④以点E′为圆心，以ED为半径作弧，交③中所画弧于D′；

⑤过点D′作射线B1A1，则∠A1B1C1就是所求的角．

10．如图，已知∠MON＝30°，点A是射线OM上的一点．

（1）求作：直线l，使l经过点A，且l⊥ON于点B（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）中线段AB的延长线上取点C，使BC＝AB，连接OC．按要求补全图形并证明AC＝OC．

【解答】解：（1）如图，直线l为所作；

（2）如图，∵AB⊥ON，AB＝BC，

∴OB垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∴OB平分∠AOC，

∴∠COB＝∠AOB＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∴△AOC为等边三角形，

∴AC＝OC．

11．如图，利用尺规作∠CPE，使∠CPE＝∠A，且PE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：如图，直线PE即为所求．

12．尺规作图：（不写作法，保留清晰、完整的作图痕迹）已知直线AB和AB外一点P，利用尺规作一条经过点P的直线CD，使得CD平行于AB．

【解答】解：如图，CD为所作．

13．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点．请用尺规作图法，在△ABC内，作出∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E．（保留作图痕迹不写作法）

【解答】解：如图，∠ADE即为所求．