（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第二十四讲 圆（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第二十四讲  圆

必备知识点

考点一  圆相关角计算

考点二  垂径定理与切线长定理

考点三  弧长与扇形面积

考点四  圆综合计算

必备知识点

一、圆的有关概念

1．与圆有关的概念和性质

1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．

3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．

4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．

6）弦心距：圆心到弦的距离．

2．注意

1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．

3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．

二、垂径定理及其推论

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．

2．推论

1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦的关系

1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．

2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

四、圆周角定理及其推论

1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．

圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．

五、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．

2．直线和圆的位置关系

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．

六、切线的性质与判定

1．切线的性质

1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

2．切线的判定

1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

七、三角形与圆

1．三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

2．三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

八、正多边形的有关概念

正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．

正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．

正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

九、与圆有关的计算公式

1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．

2．圆锥与侧面展开图

1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．

2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，

圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．

考点一  圆相关角计算

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°

2．如图，BC为⊙O的直径，A、D为⊙O上的两点，且OA⊥BC．连接AD、CD，若∠AEO＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

3．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

4．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（　　）度．

A．40 B．50 C．70 D．80

5．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．若∠ADE＝36°，则∠C的度数是（　　）

A．18° B．28° C．36° D．45°

6．如图，AB为圆O的直径，直线CD为圆O的切线，且BC＝BD，则∠BAC＝（　　）

A．12° B．18° C．30° D．36°

7．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，连接OC、AD，若∠AOC＝60°，则∠BAD的度数为（　　）

A．40° B．35° C．30° D．25°

考点二  垂径定理与切线长定理

8．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于点M，若AB＝24，CD＝26．则MD的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10

9．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C．3 D．5

10．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

11．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）

A． B． C． D．

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（　　）

A． B． C． D．

考点三  弧长与扇形面积

13．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的周长为 　   　．

14．如图，在扇形OAB中，∠BOA＝120°，OA＝2，C是的中点，D是OA上一点（不与点OA重合），则阴影部分的面积为 　   　．

15．如图，扇形AOB中，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB交于点C，点D，E分别是OC，OB上的动点，若OA＝2，当BD+DE最小时阴影部分的面积为 　   　．

16．如图，将四边形ABCD绕顶点A逆时针旋转45°至AB′C′D′的位置，若AB＝8cm，则图中阴影部分的面积为 　   　．

考点四  圆综合计算

17．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

18．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

19．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．

（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；

（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．

20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点 D．取BC的中点E，连接DE，并连接OE交⊙O于点F．连接AF交BC于点G，连接BD交AG于点H．

（1）若EF＝1，BE＝，求∠EOB的度数；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）求证：点F为线段HG的中点．