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（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第九讲 一次函数及其图像与性质（讲义）学案
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这是一份（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第九讲 一次函数及其图像与性质（讲义）学案，文件包含全国通用备战2022年中考数学一轮复习专题第九讲一次函数及其图像与性质讲义解析版doc、全国通用备战2022年中考数学一轮复习专题第九讲一次函数及其图像与性质讲义原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共49页， 欢迎下载使用。
备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第九讲 一次函数及其图像与性质
一、七大必备知识点 2
考点一 一次函数的定义 6
考点二 一次函数的图像与性质 6
考点三 一次函数解析式及函数上的点 8
考点四 一次函数与方程（组）不等式（组） 14
考点五 一次函数与几何综合 18
知识导航
一、七大必备知识点
一、一次函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
二、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
三、待定系数法
1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
四、一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
五、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
六、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
七、一次函数的实际应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
考点一 一次函数的定义
1．若函数y＝（k+3）x|k|﹣2+3是一次函数，则k的值是 3 ．
【解答】解：由函数y＝（k+3）x|k|﹣2+4是一次函数得：
k+3≠0 且|k|﹣2＝1，
解得：k＝3．
故答案为：3．
2．已知y＝m+1是一次函数，则m＝ 2 ．
【解答】解：由题意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
3．已知函数y＝（m﹣1）x|2m﹣1|﹣1是一次函数，则m的值是 0 ．
【解答】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
则得到|2m﹣1|＝1且m﹣1≠0，
∴m＝0，
故答案为：0．
考点二 一次函数的图像与性质
4．直线y＝kx+b与直线y＝kbx，它们在同一个坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，两函数解析式均成立；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；一次函数y＝kbx的图象可知kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＜0矛盾；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾．
故选：A．
5．一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，且m≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；
B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确．
故选：A．
6．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣x﹣k的图象是（ ）
A．B． C．D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵一次函数y＝﹣x﹣k，
∴k′＝﹣1＜0，b＝﹣k＜0，
∴此函数的图象经过二三四象限．
故选：B．
7．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x﹣k的图象大致是（ ）
A．B． C．D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝2x﹣k的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．
故选：B．
考点三 一次函数解析式及函数上的点
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣1分别与x轴、y轴交于点A、B，∠ABC＝45°，那么直线BC的表达式是 y＝x﹣1 ．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图：
∵直线y＝2x﹣1分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（，0），B（0，﹣1），
∴OA＝，OB＝1，AB＝＝，
在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝2，
∴tan∠DAC＝，即＝2，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝x，
∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴CD＝BD，
∴2x＝x+，
∴x＝，
∴AC＝x＝，
∴OC＝OA+AC＝3，
∴C（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BC的表达式为y＝x﹣1，
故答案为：y＝x﹣1．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A（6，﹣3）和点B（﹣2，5）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）判断点C（﹣1，4）是否在该函数图象上．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把A（6，﹣3）与B（﹣2，5）代入得：，
解得：，
则一次函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）把x＝﹣1代入一次函数解析式得：y＝1+3＝4，
则点C在该函数图象上．
3．如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S△ABO．
（3）求点O到直线AB的距离．
（4）求直线AM的解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，即B（0，8），
当y＝0时，x＝6，即A（6，0）；
（2）∵点A的坐标为：（6，0），点B坐标为：（0，8），∠AOB＝90°，
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝＝10，
∴S△ABO＝OA•OB＝×6×8＝24；
（3）设点O到直线AB的距离为h，
∵S△ABO＝OA•OB＝AB•h，
∴×6×8＝×10h，
解得h＝4.8，
∴点O到直线AB的距离为4.8；
（4）由折叠的性质，得：AB＝AB′＝10，
∴OB′＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
设MO＝x，则MB＝MB′＝8﹣x，
在Rt△OMB′中，OM2+OB′2＝B′M2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，把（0，3）；（6，0），
代入可得y＝﹣x+3．
4．如图，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点B′处．
（1）A点的坐标是 （6，0） ，B点的坐标是 （0，8） ；
（2）求直线AM的解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝8，
∴B（0，8），
当y＝0时，﹣x+8＝0，
x＝6，
∴A（6，0），
故答案为：（6，0）；（0，8）；…2分
（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
由折叠得：AB＝AB'＝10，
∴OB'＝10﹣6＝4，
设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，
由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，
a＝3，
∴M（0，3），…7分
设AM：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3…10分
5．已知：如图，在△AOB中，点E在线段AB上，A（3，2），B（5，0），E（4，m），求：
（1）直线AB的解析式；
（2）△AOE的面积．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，2），B（5，0）代入得，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
（2）把E（4，m）代入y＝﹣x+5得，m＝﹣4+5＝1，
∴E（4，1），
∴，，
∴．
6．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足+|OA﹣1|＝0．
（1）写点A、B的坐标及直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点D，使以点B、C、D为顶点的三角形的面积S△BCD＝S△ABC？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）依题意得OB2﹣4＝0，OA﹣1＝0，
∴OB＝2，OA＝1，
∴A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），
设AB的解析式为y＝kx+2 将A坐标代入得0＝k+2，
∴k＝﹣2
∴y＝﹣2x+2；
（2）存在，
设D的坐标为（x，0），
∵A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），点C（﹣4，0），
∴AC＝5，
∴S△ABC＝＝5，
∵S△BCD＝S△ABC，
∴S△BCD＝＝，即|x﹣（﹣4）|×2＝，
∴|x+4|＝，
∴x＝﹣或x＝﹣，
∴D的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．
考点四 一次函数与方程（组）不等式（组）
1．如图所示，直线y＝﹣x+b与直线y＝2x都经过点A（﹣1，﹣2），则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+b与直线y＝2x都经过点A（﹣1，﹣2），
∴方程组的解为．
故选：B．
2．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于点P（﹣1，﹣2），则关于x的不等式kx+b≤mx的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【解答】解：根据图象可得：不等式kx+b≤mx的解集为：x≥﹣1，
故选：C．
3．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
【解答】解：直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，则a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，则b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，
把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，则m＝﹣a，
不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，
解得﹣4＜x＜﹣2．
故选：A．
4．如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＞2x的解集为（ ）
A．x B．x＜3 C．x D．x＞3
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＞2x的解集为x＜．
故选：A．
5．如图，直线y1＝ax（a≠0）与y2＝x+b交于点P，有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；
一次函数y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；
由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误；
当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确；
故选：C．
二．填空题（共3小题）
6．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是 ．
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
7．如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 ．
【解答】解：∵直线y＝x+1经过点M（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴M（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，点A的纵坐标为2，则根据图象可得二元一次方程组的解是 ．
【解答】解：当y＝2时，﹣2x＝2，解得x＝﹣1，则A（﹣1，2），
所以二元一次方程组的解是．
故答案为．
考点五 一次函数与几何综合
1．如图，已知点A的坐标为（﹣6，8），以OA为边构造菱形OABC，使点C恰好落在x轴上，连接AC交y轴于点M，AB交y轴于点N．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点Q为AB的中点，点P为线段AC上一动点，△PQB周长最小时，求点P的坐标并求出△PQB周长的最小值．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣6，8），
∴OA＝＝10，
∴C（10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）取OA的中点D，连接BD，交AC于P，
∵四边形OABC是菱形，点Q为AB的中点，点D为OA的中点，
∴PD＝PQ，
∴此时，△PQB的周长最小，最小值为BD+BQ，
∵A（﹣6，8），AB＝10，
∴D（﹣3，4），B（4，8），
∴BD＝＝，
∵BQ＝5，
∴△PQB的周长最小值为+5，
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BD为y＝x+，
解得，
∴P点的坐标为（﹣，）．
2．如图，直线l1：y＝x+m与y轴交于点B，与x轴相交于点F．直线l2：y＝kx﹣9与x轴交于点A，与y轴交于点C，两条直线相交于点D，连接AB，且OA：OC：AB＝1：3：．
（1）求直线l1、l2的解析式；
（2）过点C作l3∥l1交x轴于点E，连接BE、DE．求△BDE的面积．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝kx﹣9与y轴交于点C，
∴C（0，﹣9），OC＝9，
∵OA：OC：AB＝1：3：，
∴OA＝3，AB＝3，
∴A（3，0），OB＝＝6，
∴B（0，6），
将点A坐标代入直线l2：y＝kx﹣9得，
0＝3k﹣9，解得：k＝3，
，∴直线l2的解析式为y＝3x﹣9，
将点B坐标代入直线l1：y＝x+m得，
m＝6，
∴直线l1的解析式为y＝x+6；
（2）∵直线l1的解析式为y＝x+6；l3∥l1且过点C，C（0，﹣9），
∴直线l3：y＝x﹣9，
∴点E（18，0），点F（﹣12，0），
∴EF＝30，
∵直线l1、l2相交于点D，
∴，解得：，
∴点D（6，9），
∴S△BDE＝S△DEF﹣S△BEF＝×30×9﹣×30×6＝45．
3．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x+3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线L2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝−3x+3，
∴令y＝0，得﹣3x+3＝0，
解得：x＝1，
∴D（1，0）；
（2）设直线L2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点C的横坐标为2，且在y＝−3x+3上，
∴C（2，﹣3），
图象可得：x＝0，y＝﹣6，
代入表达式y＝kx+b，
，
解得，
∴直线L2的解析式为y＝x﹣6，
（3）如图所示：
∵y＝x﹣6，
∴令y＝0，得x﹣6＝0，
解得：x＝4，
∴A（4，0），
∵D（1，0）；
∴AD＝3，
∵C（2，﹣3），
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；
（4）∵点P与点C到AD的距离相等，
∴P点的纵坐标为3，
当y＝3时，，
解得x＝6，
∴P点坐标为（6，3）．
4．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），过点B（3，0）作直线AB⊥x轴，直线AB与直线y＝x交于点A．直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与直线AB交于点D，∠DCO＝60°．
（1）点C的坐标为 （0，3） ，点D的坐标为 （3，3﹣） ；
（2）在直线AB上有一点M，使△PBM是直角三角形，求点M的坐标；
（3）在直线y＝﹣x+3上有一点N，使PN+ND最小，求此时点N坐标，及PN+ND的最小值．
【解答】解：（1）令x＝0，
则y＝﹣x+3＝3，
∴C（0，3），
∵AB⊥x轴，且D在AB上，B的坐标为（3，0），
∴令x＝3，则y＝﹣x+3＝3﹣，
∴D（3，3﹣），
故答案为：（0，3），（3，3）；
（2）设点P坐标为（3，t），
∵P（1，1），B（3，0）
∴PB＝＝，MB＝t，MP＝＝，
当PB2+MB2＝MP2时，
（）2+t2＝（）2，
解得t＝0（舍去），
当PB2+MP2＝MB2时，
（）2+（）2＝t2，
解得t＝5，
当MB2+MP2＝PB2时，
t2+（）2＝（）2，
解得t＝1或t＝0（舍去），
∴M的坐标为（3，5）或（3，1）；
（3）过点N作NH⊥x轴，垂足为H，过点D作DM⊥y轴，垂足为M，两线交于点Q，
∵∠DCO＝60°，
∴∠DNQ＝60°，
在Rt△DNQ中，NQ＝ND，
作点P关于CD的对称点为P'，过点P'作P'R⊥QD于R，则PN+ND的最小值为P'R，
∵点P关于CD的对称点为P'，
∴P'（ ）
∴PN+NH的值最小时，PN+ND最小，
当P与N共线垂直于x轴时，PN+NH值最小，
∴N（1，3﹣），
∴PN+ND＝2×（3﹣﹣1）＝4﹣．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x轴，y轴于B，A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x﹣折叠，使点B落在y轴上的点C处．
（1）①点A的坐标为 （0，4） ．点B的坐标为 （6，0） ．
②求点C的坐标；
（2）①点D在线段BA上，当△CDB与△CDO面积相等时，求OD所在直线的解析式；
②如图2．在①的条件下，以OD为一边作正方形OPQD（点Q在第二象限），则点Q的坐标为 （﹣，） ．
（3）在射线BA上是否还存在其它的点D'，使得△CD'B与△CD'O面积相等？若存在，求出点D'的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①把x＝0代入直线y＝﹣x+4，得y＝4，
则A（0，4），
把y＝0代入直线y＝﹣x+4，得0＝﹣x+4，
则B（6，0）．
②设直线l2与y轴交于点K（0，﹣），
则BK＝＝，
则CK＝BK＝，
则OC＝KC﹣OK＝＝3，
故答案为：C（0，3）．
（2）①点D在线段BA上，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴CD∥OB，
∴点D的纵坐标为3，
当y＝3时，﹣x+4＝3，
解得：x＝，
∴点D的坐标为（，3），
∴直线OD的解析式为：y＝2x；
②过点D作GH平行于y轴，过点Q作HI平行于x轴，过点P作IJ平行于GH，
∵四边形OPQD为正方形，
∴∠ODQ＝90°，DQ＝OD，∠ODG＝∠DQH，
∴△OGD≌△DHG（AAS），
∴DH＝OG＝，HQ＝GD＝3，
∴Q点的横坐标为﹣（3﹣）＝﹣．Q点的纵坐标为．
∴点Q的坐标为（﹣，）；
（3）点D'在第二象限时，AC＝4﹣3＝1．
设点D'到y轴的距离为a，
则S△CD'B＝S△CD'A+S△CAB＝×1•a+×1×6，
＝a+3，
∵△CD'B与△CD'O面积相等，
∴a+3＝×3a，
解得a＝3，
∴点D'的横坐标为﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+4＝6，
∴点D'的坐标为（﹣3，6）．
6．如图1，已知直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C（0，﹣1），与直线l1交于点D（2，t）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG＝2S△QCG，求此时P点的坐标；
（3）将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．过点F作直线l4∥x轴．在直线l4上是否存在动点M，使得△MCE为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵D（2，t）在直线l1：y＝﹣x+5上，
∴t＝﹣2+5＝3，
∴D（2，3），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
将点C，D代入得，，
解得，，
所以，直线l2的解析式为y＝2x﹣1；
（2）设P（a，5﹣a），
∵PQ∥y轴，
G（a，0），Q（a，2a﹣1），
分两种情况：
①如图，点P、Q在x轴两侧，
∵S△PCG＝PG•|a|，S△QCG＝GQ•|a|且S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（1﹣2a），
解得：a＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣1，6）；
②如图，点P、Q都在x轴上方，
∵S△PCG＝PG•|a|，S△QCG＝GQ•|a|且S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（1﹣2a），
解得：a＝，
∴P点的坐标为（，）；
综上，P点的坐标为（﹣1，6）或（，）；
（3）存在，理由如下：
对于直线l1：y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5；当y＝0时，x＝5．
∴A（5.0），B（0.5），
∵将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．点C（0，﹣1），
∴E﹣5.0），N（0．﹣5），F（0，1），
如图，
∵将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3，
∴直线l3：y＝﹣x﹣5，
又∵F（0.1）
∴l4的解析式为：y＝1，
设M（a，1），则MC＝＝，ME＝，CE＝，
当△MCE为等腰三角形，有：
①ME＝MC时，＝，
解得，a＝﹣，即M（﹣，1），
②CE＝MC时，＝，
解得：a＝或a＝﹣，
即M（，1）．M（﹣，1），
③ME＝CE时，＝，
解得，a＝0或a＝﹣10（此时三点共线，不构成三角形，舍去），
即M（0，1），
综上，点M的坐标为：M（﹣，1）或M（，1）或M（﹣，1）或M（0，1）．
7．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）证明直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；
（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝2，则y＝x＝1，
∴B的坐标为（2，1），
将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中得，
，
解得，
∴B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；
（2）证明：∵点A（0，5），B（2，1），
∴OA＝5，OB＝＝，AB＝＝2，
∵52＝（）2+（22），
∴OA2＝OB2+AB2，
∴∠ABO＝90°，
∴直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；
（3）∵△PAB为等腰三角形，
∴可以分三类讨论，
①当BA＝BP时，如图，
此时P有两个位置，分别记为P和P′，
由（2）可得，AB＝2，
∴PB＝2，
设P（p，0），
∴PB＝＝2，
解得：p＝2+或p＝2﹣，
∴P（2+，0）或P（2﹣，0）；
②当AP＝AB时，如图，
∵OA⊥x轴，OA＝5，AB＝2，
∴点A到x轴的距离为5，OA＞AB，
∴此时在x轴上不存在点P使△PAB为等腰三角形；
③当PA＝PB时，如图，
设P（m，0），
在Rt△POA中，PA2＝OA2+OP2＝52+m2＝25+m2，
同理，PB2＝12+（2﹣m）2＝m2﹣4m+5，
∵PA＝PB，
∴25+m2＝m2﹣4m+5，
∴m＝﹣5，
∴P（﹣5，0），
∴P（2+，0）或P（2﹣，0）或（﹣5，0）．
备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第九讲 一次函数及其图像与性质
一、七大必备知识点 2
考点一 一次函数的定义 6
考点二 一次函数的图像与性质 6
考点三 一次函数解析式及函数上的点 8
考点四 一次函数与方程（组）不等式（组） 14
考点五 一次函数与几何综合 18
知识导航
一、七大必备知识点
一、一次函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
二、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
三、待定系数法
1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
四、一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
五、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
六、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
七、一次函数的实际应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
考点一 一次函数的定义
1．若函数y＝（k+3）x|k|﹣2+3是一次函数，则k的值是 3 ．
【解答】解：由函数y＝（k+3）x|k|﹣2+4是一次函数得：
k+3≠0 且|k|﹣2＝1，
解得：k＝3．
故答案为：3．
2．已知y＝m+1是一次函数，则m＝ 2 ．
【解答】解：由题意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
3．已知函数y＝（m﹣1）x|2m﹣1|﹣1是一次函数，则m的值是 0 ．
【解答】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
则得到|2m﹣1|＝1且m﹣1≠0，
∴m＝0，
故答案为：0．
考点二 一次函数的图像与性质
4．直线y＝kx+b与直线y＝kbx，它们在同一个坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，两函数解析式均成立；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；一次函数y＝kbx的图象可知kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＜0矛盾；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾．
故选：A．
5．一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，且m≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；
B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确．
故选：A．
6．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣x﹣k的图象是（ ）
A．B． C．D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵一次函数y＝﹣x﹣k，
∴k′＝﹣1＜0，b＝﹣k＜0，
∴此函数的图象经过二三四象限．
故选：B．
7．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x﹣k的图象大致是（ ）
A．B． C．D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝2x﹣k的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．
故选：B．
考点三 一次函数解析式及函数上的点
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣1分别与x轴、y轴交于点A、B，∠ABC＝45°，那么直线BC的表达式是 y＝x﹣1 ．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图：
∵直线y＝2x﹣1分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（，0），B（0，﹣1），
∴OA＝，OB＝1，AB＝＝，
在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝2，
∴tan∠DAC＝，即＝2，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝x，
∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴CD＝BD，
∴2x＝x+，
∴x＝，
∴AC＝x＝，
∴OC＝OA+AC＝3，
∴C（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BC的表达式为y＝x﹣1，
故答案为：y＝x﹣1．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A（6，﹣3）和点B（﹣2，5）．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）判断点C（﹣1，4）是否在该函数图象上．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把A（6，﹣3）与B（﹣2，5）代入得：，
解得：，
则一次函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）把x＝﹣1代入一次函数解析式得：y＝1+3＝4，
则点C在该函数图象上．
3．如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S△ABO．
（3）求点O到直线AB的距离．
（4）求直线AM的解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，即B（0，8），
当y＝0时，x＝6，即A（6，0）；
（2）∵点A的坐标为：（6，0），点B坐标为：（0，8），∠AOB＝90°，
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝＝10，
∴S△ABO＝OA•OB＝×6×8＝24；
（3）设点O到直线AB的距离为h，
∵S△ABO＝OA•OB＝AB•h，
∴×6×8＝×10h，
解得h＝4.8，
∴点O到直线AB的距离为4.8；
（4）由折叠的性质，得：AB＝AB′＝10，
∴OB′＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
设MO＝x，则MB＝MB′＝8﹣x，
在Rt△OMB′中，OM2+OB′2＝B′M2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，把（0，3）；（6，0），
代入可得y＝﹣x+3．
4．如图，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点B′处．
（1）A点的坐标是 （6，0） ，B点的坐标是 （0，8） ；
（2）求直线AM的解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝8，
∴B（0，8），
当y＝0时，﹣x+8＝0，
x＝6，
∴A（6，0），
故答案为：（6，0）；（0，8）；…2分
（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
由折叠得：AB＝AB'＝10，
∴OB'＝10﹣6＝4，
设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，
由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，
a＝3，
∴M（0，3），…7分
设AM：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3…10分
5．已知：如图，在△AOB中，点E在线段AB上，A（3，2），B（5，0），E（4，m），求：
（1）直线AB的解析式；
（2）△AOE的面积．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，2），B（5，0）代入得，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
（2）把E（4，m）代入y＝﹣x+5得，m＝﹣4+5＝1，
∴E（4，1），
∴，，
∴．
6．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足+|OA﹣1|＝0．
（1）写点A、B的坐标及直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点D，使以点B、C、D为顶点的三角形的面积S△BCD＝S△ABC？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）依题意得OB2﹣4＝0，OA﹣1＝0，
∴OB＝2，OA＝1，
∴A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），
设AB的解析式为y＝kx+2 将A坐标代入得0＝k+2，
∴k＝﹣2
∴y＝﹣2x+2；
（2）存在，
设D的坐标为（x，0），
∵A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），点C（﹣4，0），
∴AC＝5，
∴S△ABC＝＝5，
∵S△BCD＝S△ABC，
∴S△BCD＝＝，即|x﹣（﹣4）|×2＝，
∴|x+4|＝，
∴x＝﹣或x＝﹣，
∴D的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．
考点四 一次函数与方程（组）不等式（组）
1．如图所示，直线y＝﹣x+b与直线y＝2x都经过点A（﹣1，﹣2），则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+b与直线y＝2x都经过点A（﹣1，﹣2），
∴方程组的解为．
故选：B．
2．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于点P（﹣1，﹣2），则关于x的不等式kx+b≤mx的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【解答】解：根据图象可得：不等式kx+b≤mx的解集为：x≥﹣1，
故选：C．
3．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
【解答】解：直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，则a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，则b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，
把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，则m＝﹣a，
不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，
解得﹣4＜x＜﹣2．
故选：A．
4．如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＞2x的解集为（ ）
A．x B．x＜3 C．x D．x＞3
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＞2x的解集为x＜．
故选：A．
5．如图，直线y1＝ax（a≠0）与y2＝x+b交于点P，有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；
一次函数y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；
由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误；
当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确；
故选：C．
二．填空题（共3小题）
6．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是 ．
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
7．如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 ．
【解答】解：∵直线y＝x+1经过点M（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴M（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，点A的纵坐标为2，则根据图象可得二元一次方程组的解是 ．
【解答】解：当y＝2时，﹣2x＝2，解得x＝﹣1，则A（﹣1，2），
所以二元一次方程组的解是．
故答案为．
考点五 一次函数与几何综合
1．如图，已知点A的坐标为（﹣6，8），以OA为边构造菱形OABC，使点C恰好落在x轴上，连接AC交y轴于点M，AB交y轴于点N．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点Q为AB的中点，点P为线段AC上一动点，△PQB周长最小时，求点P的坐标并求出△PQB周长的最小值．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣6，8），
∴OA＝＝10，
∴C（10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）取OA的中点D，连接BD，交AC于P，
∵四边形OABC是菱形，点Q为AB的中点，点D为OA的中点，
∴PD＝PQ，
∴此时，△PQB的周长最小，最小值为BD+BQ，
∵A（﹣6，8），AB＝10，
∴D（﹣3，4），B（4，8），
∴BD＝＝，
∵BQ＝5，
∴△PQB的周长最小值为+5，
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BD为y＝x+，
解得，
∴P点的坐标为（﹣，）．
2．如图，直线l1：y＝x+m与y轴交于点B，与x轴相交于点F．直线l2：y＝kx﹣9与x轴交于点A，与y轴交于点C，两条直线相交于点D，连接AB，且OA：OC：AB＝1：3：．
（1）求直线l1、l2的解析式；
（2）过点C作l3∥l1交x轴于点E，连接BE、DE．求△BDE的面积．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝kx﹣9与y轴交于点C，
∴C（0，﹣9），OC＝9，
∵OA：OC：AB＝1：3：，
∴OA＝3，AB＝3，
∴A（3，0），OB＝＝6，
∴B（0，6），
将点A坐标代入直线l2：y＝kx﹣9得，
0＝3k﹣9，解得：k＝3，
，∴直线l2的解析式为y＝3x﹣9，
将点B坐标代入直线l1：y＝x+m得，
m＝6，
∴直线l1的解析式为y＝x+6；
（2）∵直线l1的解析式为y＝x+6；l3∥l1且过点C，C（0，﹣9），
∴直线l3：y＝x﹣9，
∴点E（18，0），点F（﹣12，0），
∴EF＝30，
∵直线l1、l2相交于点D，
∴，解得：，
∴点D（6，9），
∴S△BDE＝S△DEF﹣S△BEF＝×30×9﹣×30×6＝45．
3．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x+3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线L2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝−3x+3，
∴令y＝0，得﹣3x+3＝0，
解得：x＝1，
∴D（1，0）；
（2）设直线L2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点C的横坐标为2，且在y＝−3x+3上，
∴C（2，﹣3），
图象可得：x＝0，y＝﹣6，
代入表达式y＝kx+b，
，
解得，
∴直线L2的解析式为y＝x﹣6，
（3）如图所示：
∵y＝x﹣6，
∴令y＝0，得x﹣6＝0，
解得：x＝4，
∴A（4，0），
∵D（1，0）；
∴AD＝3，
∵C（2，﹣3），
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；
（4）∵点P与点C到AD的距离相等，
∴P点的纵坐标为3，
当y＝3时，，
解得x＝6，
∴P点坐标为（6，3）．
4．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），过点B（3，0）作直线AB⊥x轴，直线AB与直线y＝x交于点A．直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与直线AB交于点D，∠DCO＝60°．
（1）点C的坐标为 （0，3） ，点D的坐标为 （3，3﹣） ；
（2）在直线AB上有一点M，使△PBM是直角三角形，求点M的坐标；
（3）在直线y＝﹣x+3上有一点N，使PN+ND最小，求此时点N坐标，及PN+ND的最小值．
【解答】解：（1）令x＝0，
则y＝﹣x+3＝3，
∴C（0，3），
∵AB⊥x轴，且D在AB上，B的坐标为（3，0），
∴令x＝3，则y＝﹣x+3＝3﹣，
∴D（3，3﹣），
故答案为：（0，3），（3，3）；
（2）设点P坐标为（3，t），
∵P（1，1），B（3，0）
∴PB＝＝，MB＝t，MP＝＝，
当PB2+MB2＝MP2时，
（）2+t2＝（）2，
解得t＝0（舍去），
当PB2+MP2＝MB2时，
（）2+（）2＝t2，
解得t＝5，
当MB2+MP2＝PB2时，
t2+（）2＝（）2，
解得t＝1或t＝0（舍去），
∴M的坐标为（3，5）或（3，1）；
（3）过点N作NH⊥x轴，垂足为H，过点D作DM⊥y轴，垂足为M，两线交于点Q，
∵∠DCO＝60°，
∴∠DNQ＝60°，
在Rt△DNQ中，NQ＝ND，
作点P关于CD的对称点为P'，过点P'作P'R⊥QD于R，则PN+ND的最小值为P'R，
∵点P关于CD的对称点为P'，
∴P'（ ）
∴PN+NH的值最小时，PN+ND最小，
当P与N共线垂直于x轴时，PN+NH值最小，
∴N（1，3﹣），
∴PN+ND＝2×（3﹣﹣1）＝4﹣．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x轴，y轴于B，A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x﹣折叠，使点B落在y轴上的点C处．
（1）①点A的坐标为 （0，4） ．点B的坐标为 （6，0） ．
②求点C的坐标；
（2）①点D在线段BA上，当△CDB与△CDO面积相等时，求OD所在直线的解析式；
②如图2．在①的条件下，以OD为一边作正方形OPQD（点Q在第二象限），则点Q的坐标为 （﹣，） ．
（3）在射线BA上是否还存在其它的点D'，使得△CD'B与△CD'O面积相等？若存在，求出点D'的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①把x＝0代入直线y＝﹣x+4，得y＝4，
则A（0，4），
把y＝0代入直线y＝﹣x+4，得0＝﹣x+4，
则B（6，0）．
②设直线l2与y轴交于点K（0，﹣），
则BK＝＝，
则CK＝BK＝，
则OC＝KC﹣OK＝＝3，
故答案为：C（0，3）．
（2）①点D在线段BA上，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴CD∥OB，
∴点D的纵坐标为3，
当y＝3时，﹣x+4＝3，
解得：x＝，
∴点D的坐标为（，3），
∴直线OD的解析式为：y＝2x；
②过点D作GH平行于y轴，过点Q作HI平行于x轴，过点P作IJ平行于GH，
∵四边形OPQD为正方形，
∴∠ODQ＝90°，DQ＝OD，∠ODG＝∠DQH，
∴△OGD≌△DHG（AAS），
∴DH＝OG＝，HQ＝GD＝3，
∴Q点的横坐标为﹣（3﹣）＝﹣．Q点的纵坐标为．
∴点Q的坐标为（﹣，）；
（3）点D'在第二象限时，AC＝4﹣3＝1．
设点D'到y轴的距离为a，
则S△CD'B＝S△CD'A+S△CAB＝×1•a+×1×6，
＝a+3，
∵△CD'B与△CD'O面积相等，
∴a+3＝×3a，
解得a＝3，
∴点D'的横坐标为﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+4＝6，
∴点D'的坐标为（﹣3，6）．
6．如图1，已知直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C（0，﹣1），与直线l1交于点D（2，t）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG＝2S△QCG，求此时P点的坐标；
（3）将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．过点F作直线l4∥x轴．在直线l4上是否存在动点M，使得△MCE为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵D（2，t）在直线l1：y＝﹣x+5上，
∴t＝﹣2+5＝3，
∴D（2，3），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
将点C，D代入得，，
解得，，
所以，直线l2的解析式为y＝2x﹣1；
（2）设P（a，5﹣a），
∵PQ∥y轴，
G（a，0），Q（a，2a﹣1），
分两种情况：
①如图，点P、Q在x轴两侧，
∵S△PCG＝PG•|a|，S△QCG＝GQ•|a|且S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（1﹣2a），
解得：a＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣1，6）；
②如图，点P、Q都在x轴上方，
∵S△PCG＝PG•|a|，S△QCG＝GQ•|a|且S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（1﹣2a），
解得：a＝，
∴P点的坐标为（，）；
综上，P点的坐标为（﹣1，6）或（，）；
（3）存在，理由如下：
对于直线l1：y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5；当y＝0时，x＝5．
∴A（5.0），B（0.5），
∵将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．点C（0，﹣1），
∴E﹣5.0），N（0．﹣5），F（0，1），
如图，
∵将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3，
∴直线l3：y＝﹣x﹣5，
又∵F（0.1）
∴l4的解析式为：y＝1，
设M（a，1），则MC＝＝，ME＝，CE＝，
当△MCE为等腰三角形，有：
①ME＝MC时，＝，
解得，a＝﹣，即M（﹣，1），
②CE＝MC时，＝，
解得：a＝或a＝﹣，
即M（，1）．M（﹣，1），
③ME＝CE时，＝，
解得，a＝0或a＝﹣10（此时三点共线，不构成三角形，舍去），
即M（0，1），
综上，点M的坐标为：M（﹣，1）或M（，1）或M（﹣，1）或M（0，1）．
7．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）证明直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；
（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝2，则y＝x＝1，
∴B的坐标为（2，1），
将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中得，
，
解得，
∴B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；
（2）证明：∵点A（0，5），B（2，1），
∴OA＝5，OB＝＝，AB＝＝2，
∵52＝（）2+（22），
∴OA2＝OB2+AB2，
∴∠ABO＝90°，
∴直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；
（3）∵△PAB为等腰三角形，
∴可以分三类讨论，
①当BA＝BP时，如图，
此时P有两个位置，分别记为P和P′，
由（2）可得，AB＝2，
∴PB＝2，
设P（p，0），
∴PB＝＝2，
解得：p＝2+或p＝2﹣，
∴P（2+，0）或P（2﹣，0）；
②当AP＝AB时，如图，
∵OA⊥x轴，OA＝5，AB＝2，
∴点A到x轴的距离为5，OA＞AB，
∴此时在x轴上不存在点P使△PAB为等腰三角形；
③当PA＝PB时，如图，
设P（m，0），
在Rt△POA中，PA2＝OA2+OP2＝52+m2＝25+m2，
同理，PB2＝12+（2﹣m）2＝m2﹣4m+5，
∵PA＝PB，
∴25+m2＝m2﹣4m+5，
∴m＝﹣5，
∴P（﹣5，0），
∴P（2+，0）或P（2﹣，0）或（﹣5，0）．
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