（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第六讲 分式方程（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第六讲  分式方程

一、4个必备知识点

考点一  解分式方程

考点二  含参分式方程

考点三  分式方程的应用

一、4个必备知识点

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

（2）解分式方程的步骤：

①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根．

注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

3．增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

4．分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．

（2）列分式方程解应用题的一般步骤：

①设未知数；

②找等量关系；

③列分式方程；

④解分式方程；

⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；

⑥答．

考点一  解分式方程

1．解方程：

（1）﹣＝；    （2）﹣＝1．

2．解分式方程

（1）；           （2）．

3．解分式方程：

（1）．         （2）．

4．以下是小明同学解方程的过程：

解：方程两边同时乘（x﹣3），得

1﹣x＝﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣第一步

解得：x＝5﹣﹣﹣﹣第二步

检验：当x＝5时，x﹣3＝5﹣3＝2≠0﹣﹣﹣﹣第三步

所以x＝5是原方程的根﹣﹣﹣﹣第四步

（1）小明的解法从第 　 　步开始出现错误．

（2）写出正确的解方程的过程．

5．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，﹣这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：﹣＝．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．

（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：＝　                　；＝　                　．

（2）解分式方程：；

（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．

（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的三位数m．

考点二  含参分式方程

1．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（　　）

A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3

2．若关于x的方程＝0的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4

3．关于x的分式方程＝﹣1的解是正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞﹣2且m≠2 D．m＜﹣2且m≠﹣2

4．已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是（　　）

A．5 B．1 C．3 D．不能确定

5．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是（　　）

A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12

6．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则它的增根是（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝3

7．若关于x的方程+＝3a有增根，则a的值为（　　）

A．﹣1 B． C． D．1

8．关于x的分式方程+＝1的解为非正数，则k的取值范围是 　        　．

9．若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为 　     　．

10．已知关于x的分式方程．

（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．

11．已知关于x的分式方程+＝．

（1）若方程有增根，求k的值．

（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．

考点三  分式方程的应用

1．A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用的时间与B型机器人搬运800kg所用的时间相等，设B型机器人每小时搬运xkg，所列的方程式正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）

A． B． 

C． D．

3．某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x包，则依题意列方程为（　　）

A． B． C． D．

4．在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（　　）

A． B． 

C． D．

5．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．晋商又以“万里茶道”著称．晋商古街某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，又用8400元购进B种茶叶若干盒，若所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍；

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A、B两种茶叶共100盒（A、B进价不变，A种茶叶不少于20盒），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，怎样进货才能获得最大利润？

6．某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．

（1）求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？

（2）为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案．

7．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？