（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十二讲 二次函数及其图像与性质（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第十二讲  二次函数及其图像与性质

一、六大必备知识点

考点一  二次函数的定义

考点二  二次函数的解析式

考点三  二次函数图形变换

考点四  二次函数与方程、不等式

考点五  二次函数系数间的关系

考点六  二次函数的应用

考点七  利用二次函数求线段、周长、面积的最大值

一、六大必备知识点

一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

二、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．

（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．

（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．

三、二次函数的图象及性质

1．二次函数的图象与性质

2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系

四、抛物线的平移

1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．

2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

3．注意

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．

五、二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．

2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．

3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．

六、二次函数的综合

1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．

2、函数动点问题

（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．

（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．

（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

考点一  二次函数的定义

1．下列函数中是二次函数的是（　　）

A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3

2．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　）

A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3 D．y＝x3+x+1

3．若函数的图象是抛物线，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．4 D．±2

考点二  二次函数的解析式

1．已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．

（1）求此二次函数的关系式．

（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．

2．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABP的面积．

3．根据下列条件求抛物线的解析式：

（1）顶点在y轴上，且经过点（﹣2，﹣3）和（1，6）．

（2）已知二次函数的图象最高点是（﹣1，﹣3）且过点（3，﹣4）．

4．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．

（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；

（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；

（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．

考点三  二次函数图形变换

1．将抛物线y＝2x2﹣12x+19向左平移2个单位长度后的解析式为 　   　．

2．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得到的抛物线为 　   　．

3．将抛物线y＝x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 　   　．

4．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移 　   　个单位长度后经过点（﹣1，7）．

5．已知抛物线y＝ax2+bx﹣5的对称轴是x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 　   　．

考点四  二次函数与方程、不等式

1．已知二次函数y＝x2+2x﹣n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围时，函数的图象与x轴有且只有两个公共点，则n的取值范围是 　   　．

2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），则y＞0时，x的取值范围是 　   　．

3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和是 　   　．

4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，点C在对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，若点B′恰好落在抛物线的对称轴上，则点C的坐标为 　   　．

5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+b+c＞kx+m的解集是 　   　．

6．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式ax2+k＜mx+n的解集为 　   　．

7．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 　   　．

8．如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于A，B两点，其中点A（0，3），点B（3，0），抛物线与x轴的另一交点C（﹣1，0），不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为 　   　．

考点五  二次函数系数间的关系

1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a+b+c＞0；⑤4a+b+2c＞0．正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①④⑤

2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④3a+c＞0．其中结论正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：

①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：

①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．

正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④⑤

5．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，下列结论：①ac＜0，②4a+2b+c＞0，③2a+b＝0，④（a+c）2＜b2．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点六  二次函数的应用

1．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）求w与x之间的函数关系式．

（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

2．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？

（3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

3．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．

（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．

①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？

②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

4．如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若要搭建一个由矩形ABCD的三条边AD﹣DC﹣CB组成的“支撑架”，使C、D两点在抛物线上，A、B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

考点七  利用二次函数求线段、周长、面积的最大值

1．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．

2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；

3．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．