（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十九讲 直角三角形与勾股定理（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第十九讲  直角三角形与勾股定理

一、必备知识点

考点一  直角三角形的判定

考点二  勾股定理的应用--最短路径

考点三  勾股定理的应用二--翻折问题

考点四  直角三角形的性质--斜中半

考点五  直角三角形有关几何证明

一、必备知识点

1．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

考点一  直角三角形的判定

1．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．a：b：c＝3：5：6 B．a2﹣c2＝b2 

C．∠A﹣∠B＝∠C D．a＝，b＝3，c＝4

2．△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上中线AP＝12，则AB，AC关系为（　　）

A．AB＞AC B．AB＝AC C．AB＜AC D．无法确定

3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．a：b：c＝4：5：6 B．b 2＝a2﹣c2 

C．∠A＝∠C﹣∠B D．a＝3，b＝4，c＝5

4．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a＝3，b＝5，c＝4 B．a＝12，b＝14，c＝15 

C．a＝，b＝4，c＝5 D．a＝9，b＝41，c＝40

5．四边形ABCD中，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，且∠C＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．84 B．36 C．54 D．72

6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

考点二  勾股定理的应用--最短路径

7．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　）

A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm

8．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（　　）

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm

9．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．5米

考点三  勾股定理的应用二--翻折问题

10．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（　　）

A． B． C． D．

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

12．如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C的对应点为点E，若AB＝6，BC＝8，则BE的长度为（　　）

A．4 B． C． D．

13．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．4

考点四  直角三角形的性质--斜中半

14．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为（　　）

A． B．4 C． D．2

15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　）

A．5° B．10° C．20° D．30°

16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（　　）

A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（　　）

A．2+2 B．2 C．2 D．6

18．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），M（1，0），点B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，P为BC的中点，则PM的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝　   　．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点E为AC的中点，∠DBE＝30°，BD＝2，则BC的长为　   　．

考点五  直角三角形有关几何证明

21．如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE交AC于点M．

（1）如图1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的长；

（2）如图2，若∠ADB＝45°，点N为ME上一点，MN＝BC，求证：AN＝EN+CD；

（3）如图3，若∠C＝30°，点D为直线BC上一动点，直线DE与直线AC交于点M，当△ADM为等腰三角形时，请直接写出此时∠CDM的度数．

22．已知，在等腰直角△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，D是△ABC内一点，连接BD，过点D作DE⊥DB，且DB＝DE，连接BE．

（1）如图1，连接AD，若∠1＝30°，ED＝2，CA＝2，求线段AD的长度；

（2）如图2，连接AE，CD．若F是AE的中点，连接CF，求证：CD＝CF．

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上一点，连接CD，且CD＝BD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E．

（1）如图1所示，若BC＝4，CD＝2，求AE的长．

（2）如图2所示，若DF⊥AD交AC于点F，过点F作FG⊥CD于点G．求证：AE＝DF+FG．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．

（1）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．

（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E两点间的距离．

25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．

（1）求证：CF＝AD；

（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．