（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第六讲 平面直角坐标系及函数（原卷版+解析版）

第六讲平面直角坐标系及函数
考点一、平面直角坐标系
1.平面直角坐标系
平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.
2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点

点P(x,y)在第一象限；
点P(x,y)在第二象限；
点P(x,y)在第三象限；
点P(x,y)在第四象限；
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.
3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.
4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.
5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.
6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于.
7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式
如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：
.
两种特殊情况：
（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：

（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：

【微点拨】
（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；
（2）平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.
考点二、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
【微点拨】
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
【微点拨】
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
【微点拨】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
考点三、、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
【微点拨】
一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
考点四、、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
【微点拨】
对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
考点五、、函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
【微点拨】
对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
考点六、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
【微点拨】
自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
考点七、函数的几种表达方式
表示函数的方法一般有以下三种：
（1） 列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
【微点拨】
函数的三种表示方法各有不同的长处. 关系式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出关系式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
考点八、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【微点拨】
由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
命题点1平面直角坐标系中点的坐标特征
类型一坐标确定位置
1.小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列.撤走第一排 ，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）.
　A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
（第5题）
（第5题）
（第5题）





【答案】B
【解析】撤走第一排后，他们的位置横向向前一排，竖向不变，故排数-1，列数不变，故选项B符合题意．
2.以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5，0°)、(4，300°)，则点C的坐标表示为_______．

【答案】(3，240°)
【解析】本题考查了有序数对，前一个数字表示该点到圆心的距离，后一个数字表示方向．．
3.如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是　 　．

【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【解析】：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数．
故答案为m、n同为奇数或m、n同为偶数．
4.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点　 　．

【答案】（-1,1）．
【解析】由题意可以得到如下平面直角坐标系，则“兵”位于点（-1,1），故答案为：（-1,1）
类型二点与象限
5.在平面直角坐标系中，点A(2，﹣3)位于哪个象限?（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】根据平面直角坐标系中点的坐标特点可知，第四象限的点的坐标符号为（+，-），所以D。
6.在平面直角坐标系中，点P（x2+2，- 3）所在的象限是 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】本题考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．∵x2+2＞0，∴点P（x2+2，-3）所在的象限是第四象限．因此本题选D．
7.已知点在轴上，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵点在轴上，，解得，，
∴点的坐标是．故选A．
【知识点】点的坐标
8.在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（ ）
A. 1 B. C. D. 4或-4
【答案】B
【解析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．
∵点是第二象限内的点，
∴，
四个选项中符合题意的数是，
故选：B
9.如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出OB，BC的长度是解决本题的关键．利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．∵O，D两点的坐标分别是，，∴OD＝6，∵四边形是正方形，∴OB⊥BC，OB=BC=6，∴C点的坐标为：，故选：D．
类型三点的平移与对称
10.在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（　　）
A．（－1，1） B．（3，1） C．（4，－4） D．（4，0）
【答案】A
【解析】点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到（1－2，－2+3），即B（－1，1）．故选A．
11.在平面直角坐标系中,点A（m，2）与点B(3，n)关于y轴对称，则 （ ）
A.m=3，n=2 B.m=-3，n=2 C.m=2，n=3 D.m=-2，n=3
【答案】B
【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选B．
12..点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是（ ）
A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(1，2) D．(2，－1)
【答案】B
【解析】根据平面直角坐标系中的点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，故点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是(1，－2)，故选择B．
13..已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A＇的坐标是（ ）
A.（6，1） B.（－2，1） C.（2，5） D.（2，－3）
【答案】D
【解析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可得：将点A（2，4）向下平移4个单位长度后，得到的点A′的坐标为（2，1-4），即（2，-3），故选：D．
14.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（　　）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）
【答案】A
【解析】如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．

∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°，∴∠AOE＝∠A′.
∵OA＝OA′，∴△AOE≌△OA′F（AAS），∴OF＝AE，A′F＝OE＝1，∴A′（，1）．故选A．

【知识点】平面直角坐标系；坐标与图形变化﹣旋转；全等三角形的判定和性质

15.平面直角坐标系内，P(4，5)，将点P绕O逆时针旋转90°得到点Q，则Q点位于哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】画出坐标系，然后找到P点旋转90°后得到的Q点，判断出点Q所在的象限为第二象限．故选B．
16.已知点P（a－3，2－a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵点P（a－3，2－a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a－3，2－a）在第二象限，∴解得，∴不等式组的解集是a＜0，在数轴上表示如选项C所示．故选C．

命题点2函数及其自变量的取值范围
类型一函数的概念
17下列等式中，是的函数有（ ）

A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个
【答案】C；
【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 当取2，有两个值±和它对应，对于，当取2，有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：都有唯一确定的值与对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.
【总结】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.抓住函数定义中的关键词语“都有唯一确定的值”，与之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.
18.下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）


A. B. C. D.
【点拨】根据函数的意义求解即可求出答案．
【答案】 D；
【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．
【总结】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．
19.下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量
C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量
【答案】C；
【解析】是圆周率，是一个常量.
20.矩形的周长为18，则它的面积S（）与它的一边长（）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A；
【解析】矩形的另一边长为，所以.
类型二函数自变量的取值范围
21.函数y＝自变量x的取值范围为　 　．
【答案】x≥2
【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0．
即x﹣2≥0，解得：x≥2；
【知识点】二次根式的性质，解不等式
22．函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞－3 B．x＜3 C．x≠－3 D．x≠3
【答案】C
【解析】本题考查了函数自变量x的取值范围．由函数的定义，得函数y＝有意义的条件是分母x＋3≠0，即x≠－3，故选C．
23.函数y＝2＋中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥ C．x≤ D．x≠
【答案】 B
【解析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式的被开方数为非负数，根据题意得，3x-1≥0，解得x≥，故选B.
24.函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
【答案】D
【解析】该函数自变量的取值范围既要保证被开方数是非负数，又要保证分母不为0，即有x－2≥0且x－5≠0，解得x≥2且x≠5．
25.求出下列函数中自变量的取值范围
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【点拨】自变量的范围，是使函数有意义的的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.
【答案】
解：（1） ，为任何实数，函数都有意义；
（2），要使函数有意义，需2－3≠0，即≠；
（3），要使函数有意义，需2＋3≥0，即；
（4），要使函数有意义，需2－1＞0，即；
（5），为任何实数，函数都有意义；
（6），要使函数有意义，需，即≥－3且≠－2.
【总结】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.

26、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP＝．若表示△APB的面积．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求自变量的取值范围．

【答案】
解： (1)因为AC＝6，∠C＝90°，BC＝10，
所以．
又，
所以，即．
(2)因为点P不与点B、C重合，BC＝10，所以0＜＜10．
【总结】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P是一动点这个规律，结合图形观察到点P移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．
27.小明在劳动技术课中要制作一个周长为80的等腰三角形．请你写出底边长()与腰长()的函数关系式，并求自变量的取值范围．
【答案】
解：由题意得，＝80,
所以，
由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，
所以，解得
所以.
类型三函数值的运算
28.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了函数与轴的交点的情况，当 ＜， 原方程没有实数解， 没有零点，故不符合题意，当 显然，方程没有解，所以没有零点，故不符合题意，当 显然方程无解，所以没有零点，故不符合题意，当 所以有两个零点，因此本题选D．
29.已知f(x)＝x2－1，那么f(－1)＝　　．
【答案】0
【解析】当x＝－1时，f(－1)＝(－1)2－1＝0
命题点3分析、判断函数图象
类型一实际问题
考向1行程问题
30.“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童，战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上），到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图像能大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是（ ）

【答案】B
【解析】开始从营地出发，所以初始距离为0，所以A是错误的，选购礼物停留一段时间后，继续前往福利院，距离营地越来越远，所以C是不正确的，按原速前往福利院，所以两段线段的倾斜程度应该是一样的，所以D是错误的，故选B
【知识点】函数的图像
31.爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（　　）

【答案】B
【解析】由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了20+10+15＝45分钟，则当x＝45时，y＝0；结合选项故选：B．
【知识点】函数的图象
考向2其他问题
32.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．
某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随着时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A． B． C．2 D．


A． B． C． D．

【答案】B
【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t≤10、10≤t≤20、20≤t≤24，在0≤t≤10，y2随t的增大而增大；在10≤t≤20，y2随t的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t≤24，y2随t的增大而增大，因此本题选B．
类型二几何图形中的动态问题
考向1判断函数图象
33.如图,点P是菱形ABCD边上的动点,它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△PAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为( )

【答案】A
【解析】点P在整个运动过程中,△PAD的底边AD始终不变,故面积的变化取决于AD边上高线的变化,当点P在AB上运动时,高线均匀变大,故面积也均匀变大,当点P在BC上运动时,由于BC∥AD,平行线间距离处处相等,故高线不变,∴面积也不发生改变,当点P在CD上运动时,高线又会均匀变小,故面积也会均匀变小,故选A.
34.已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　）

【答案】D
【解析】y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；
A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；
D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
故选：D．
【知识点】动点问题的函数图象
35.如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）


【答案】A
【解析】①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQAQ•APx2；
②当2≤x≤4时，
y＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2（4﹣x）22×（x﹣2）2×（x﹣2）
x2+2x
∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选A．

【知识点】动点问题的函数图象
36.如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以，．
故选B．
【知识点】动点问题的函数图象
考向2分析函数图象
37.一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L，在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L，接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每分钟进水和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的函数关系的图象大致的是

答案：A
解析：本题考查了实际问题中的函数图象，从某时刻开始4min内只进水不出水，所以函数图象表现为上升趋势，容器内存水8L；在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L，所以同一时刻进水比出水要多，表现在函数图象上为从左向右上升，但上升幅度比前4min要小，接着关闭进水管直到容器内的水放完，此时的图象表现为从左到右为下降趋势.因此本题选A．
38.如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的大致图象是（　　）

【答案】D
【解析】由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．表现出的函数图形为先缓，后陡．故选：D．
【知识点】函数的图象
命题点4函数图象与性质探究题
类型一新函数性质探究
39.第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）

【答案】B
【解析】根据题意可知兔子先让乌龟跑了一段距离，但是比乌龟晚到终点，故此选项B正确．
【知识点】函数图象的性质
40.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的路程y(km)与它们的行驶时间x(h)之间的函数关系.小欣同学结合图像得出如下结论:
①快车途中停留了0.5 h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a=340；④快车先到达目的地.其中正确的是
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④
（第8题图）
【答案】B
【解析】本题考查了一次函数的应用，0-2小时是两车相遇共行全程360km，可知速度和为180 km/h；2.5-3.6小时两车相距88km可知速度为80 km/h另一速度为100 km/h故两车速度差为20 km/h，故②正确；从而可知2-3.6小时快车是停留的共1.6小时，故①错误；从3.6-5小时两车都行驶共行252km，所以a的值为88+252=340km，故③正确；由5-5.2小时共行20km可知速度为100 km/h可知是快车继续行驶的，所以慢车先到达目的地，故④错误．故选B．
类型二与几何图形结合的函数性质探究
41.如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP=x，PA-PD=y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是( )


A B. C. D.


【答案】C.
【思路分析】本题主要考查相似三角形的性质以及二次函数的图象，设⊙O的半径为r，过点O作OE⊥AP，可得△ADP∽△OCA，进而求出y关于x的函数解析式，进而得出答案.
【解析】设⊙O的半径为r，过点O作OE⊥AP，则△ADP∽△OCA，
∴
∵AP=x，
∴AE=，
∴PD=，
∴y=AP=PD=x-为开口向下的抛物线，
故选C.

【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数的图象.
42.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°x，
∴CE＝AC﹣AE＝2x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
y＝PE•CE
x（2x）
x2+2x
（x﹣2）2+2，
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝4﹣x，
y（4﹣x）2（x﹣4）2．
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A．