（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十四讲 全等三角形（原卷版+解析版）

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第十四讲 全等三角形
考点一、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
【微点拨】应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
考点二、三角形的分类
1.按角分类：

【微点拨】
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：

【微点拨】
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
考点三、三角形的三边关系
1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
【微点拨】
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
2.三角形的重要线段：
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
考点四、全等三角形的性质与判定
1.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
2.全等三角形的判定定理
全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “
全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
【微点拨】（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
1.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，五边形DECHF的周长为DE＋CE＋CH＋FH＋DF，∵△ABC和△FGH是两个等边三角形，∴△AFH≌△CHG，∴CH＝AF．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴DE＝FH＝BD＝BE，∴DE＋CE＋CH＋FH＋DF＝BE＋CE＋CH＋BD＋DF＝BC＋BF＋CH＝BC＋BA，∴只需要知道△ABC的周长就可以求得五边形DECHF的周长，因此本题选A．
2.如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC

【答案】B
【解析】本题考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定“SAS”、“AAS”、“ASA”可得，添加选项A、C、D都能判定两三角形全等；而添加选项B则不能判定两三角形全等，故选B．
3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点．若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】延长HG交BC于点M．∵DF∥BC，GH⊥DF，∴∠GMC＝∠MGD＝∠C＝90°，∴四边形GMCD为矩形，∴MG＝CD＝2，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵∠A＝∠BMG＝90°，∴△ABE∽△MBG，∴＝＝，∴BG＝2EG，∵∠HGD＝90°，点E为DH的中点，∴DH＝2EG＝2ED，∴DH＝BG，∵EG＝ED，∴∠EGD＝∠EDG,∵DF∥BC，∴∠EGD＝∠GBM,∴∠EDG＝∠GBM,又∵∠HGD＝∠BMG＝90°，∴△DHG≌△BGM，∴HG＝GM＝2．故选项B正确．

4.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，．连接、交于点，连接．下列结论：

①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
正确的有①②④；
故选B．

5．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
6.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．

7.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．12．5 C．14．5 D．17

【答案】B
【解析】延长CB至点M，使BM＝DC，连接AM．∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝360°－（∠DAB＋∠DCB ）＝180°，∵∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠ADC＝∠ABM．∵AB＝AD，∴△ADC≌△ABM，∴AC＝AM，∠DAC＝∠BAM，∵∠DAC＋∠CAB＝90°，∴∠BAM＋∠CAB＝90°，即∠CAM＝90°，∵AC＝5，∴AM＝5，∴S△ACM＝×5×5＝．∵△ADC≌△ABM，∴S△ADC≌S△ABM，∴S四边形ABCD＝S△ACM＝＝．故选B．

【知识点】全等三角形的判定和性质；三角形的面积；四边形的内角和
8. 如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（ ）

A． B． C. D．
【答案】D
【解析】∵，，，∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，，∴△CED≌△AFB，∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，∴AD=AF+DF=a+b-c，故选 D.
【知识点】全等三角形的性质与判定
9.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）

A.甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D.只有丙
【答案】B
【解析】由边角边判断条件有图C知三角形与左图三角形全等，由角边角判断条件知，图C三角形与左边三角形全等.
【知识点】全等三角形判定，三角形内角和
10.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D.只有丙
【答案】B.
【解析】依据SAS全等判定可得乙三角形与△ABC全等，依据AAS全等判定可得丙三角形△ABC全等，由于条件不足，不能判定甲与△ABC全等，故选B.
11.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　　．
【答案】
【解析】如图，

∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，
∴AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5－x，
∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，
∴∠C1D1B1＝∠BDC，
∵∠B＝90°－∠A，∠B1C1D1＝90°－∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1 D1∽△BCD，
∴，即＝2，解得x＝.∴AD的长为.
12.如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为　 　cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为　 　cm2．

【答案】，
【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°,
∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm,
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M,

∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°,
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F',
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）,
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM,
∴CD'平分∠ACM,
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm,
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm.
如图，连接BD'，AD'，

∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C,
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N,
当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，
∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）.
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 ．

【答案】8．
【解析】∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CHAH＝4，
∴CD＝2，
∴△ABC的面积＝2S△BCD＝24×28，
故答案为：8．

【知识点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形
14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　 　°．

【答案】130
【解析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据平行线的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．
证明：∵在△ADC和△ABC中
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，
∴∠D＝130°，
故答案为：130．
15．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若BC＝4，则CD的长为　 　．

【答案】2
【解析】本题可根据三角形中位线定理，及三角形全等的知识求解．∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN＝BC＝2，MN∥BC．∴∠NME＝∠D，∵NE＝CE，∠NEM＝∠CED，∴△NEM≌△CED，∴CD＝MN＝2．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
A
B
C
D
E

【解析】先证△ABC≌△AED，得相关线段相等，再利用相等线段的和差关系得结论．
【答案】证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADE．
在△AED和△ABC中，
∴△AED≌△ABC，
∴AE=AB，AC=AD，
∴AE－AC=AB－AD，
即EC=BD．
17.（1）如图1，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C，求证：AB＝AC．
A
B
C
D
E

【解析】（1）由角角边可以证明△ABE≌△ACD从而证得AB＝AC．
【答案】解：（1） 在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）
∴AB＝AC．
18.如图， 是四边形 的对角线， ，点 分别在 上， ， ，连接 ．

（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【解析】（1）可先证明△BEF≌△CDA，然后根据全等得到∠D＝∠2；（2）先求∠2＝78°，又由EF∥AC，∴∠BAC＝∠2＝78°．
【答案】解： （1）在△BEF和△CDA中，

∴△BEF≌△CDA
∴∠D＝∠2．
（2）∵∠D＝∠2，∴∠2＝78°．
∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠2＝78°．
19.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线±－^A//FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

【答案】
∴△EAC≌△FBD．
∴∠E＝∠F．
（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ACE＝∠D＝80°．
∵∠A＋∠E＋∠ACE＝180°，∴∠E＝60°．
【解析】解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，（1）可先证∠A＝∠B，AC＝BD，然后利用SAS来证明两三角形全等；（2）由全等性质，先求出∠ACE＝∠D＝80°，然后利用三角形内角和定理求出∠E的度数．
20.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．

（第20题图）
【解析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．（1）利用等边三角形的性质得到∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；
（2）先证AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．
【答案】解：（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中，，∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠ABE（180°﹣∠EAB）（180°﹣150°）＝15°．
21.如图所示，的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足．

（1）求证：．
（2）若正方形ABCD的边长为1，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）已知，根据全等三角形的对应角相等可得，再由，可得，即可证得；（2）由，根据全等三角形的对应角相等可得，由对顶角相等可得，即可证得；又因正方形边长为1，，可得，．在Rt△AFC中，即可求得．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形边长为1，．
∴，．
∴．
22.如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．

【思路】（1）利用SSS定理即可证明△ ABC≌△DEF；（2由三角形内角和定理求出∠C的度数，再利用全等三角形对应角相等可求得∠F的度数．
【解析】解：(1)∵AD＝CF，∴AD＋CD＝CF＋CD，即 AC＝DF，则在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（SSS）；
(2)在△ABC中，∵∠A＝55°，∠B＝88°，又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°―∠A―∠B＝37°，又∵△ABC≌△DEF（SSS），∴∠F＝∠C＝37°．
【知识点】全等三角形的性质和判定；三角形内角和定理

23.如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC.

第23题图
求证：△ABC≌△EDC.
【思路】根据已知条件和图形中的对顶角相等，利用ASA判定该两个三角形全等即可.
【解析】证明：∵∠ACB与∠ECD是对顶角，
∴∠ACB＝∠ECD.
在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC(ASA).
【知识点】全等三角形的判定
24.如图9，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD.

【思路】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目所给的条件，利用“角边角”判定两个三角形全等即可.通常地：（1）三角形全等的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL(直角三角形).（2）全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，对应边成比例.
【解析】证明：在△ABC和△ABD中，
∵∠3=∠4，∠3+∠ABC=∠4+∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD，
又∵∠1=∠2，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD.
∴BC=BD.
【知识点】全等三角形的判定和性质
25.如图，△ABC中，点E在BC边上．AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置．使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF =BC；(2)若∠ABC=65°．∠ACB=28°，求∠FGC的度数


【解析】
（1）证明：∵线段AC绕点A旋转到AF的位置， ∴AC=AF， ∴∠CAF=∠BAE.
∴∠CAF+∠CAE=∠BA E+∠CAE. 即∠EAF=∠BAC．
在△ABC和△AEF中， ∠BAC= ∠EAF，∠BAC=∠EAF， AC=AF，
∴△ABC≌△AEF (SAS)， ∴EF=BC
(2)解：∵ AE=AB，∴∠AEB=∠ABC= 65°，
∵ △ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC= 65°，
∠FEC=1 80° -∠AEB-∠AEF=1 80°- 65°-65°= 50°，
∵∠FGC是△EGC的外角，∠ACB=28°，
∴ ∠FGC=∠FEC+∠ACB =50°+ 28°=78°.
26.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．

【答案】见解题过程
【解析】添加条件：BE=DF或DE=BF或AE//CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED=∠CFB或∠BAE=∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等.
证明：在矩形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF.∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF.
27.如图,在△ABC和△DCE中,AC＝DE,∠B＝∠DCE＝90° ,点A,C,D依次在同一直线上,且AB// DE.
(1)求证:△ABC≌△DCE.
(2)连结AE,当BC＝5,AC＝12时,求AE的长.
【解析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识．（1）由AB//DE,得到∠BAC＝∠D. 又因为∠B＝∠DCE＝90°,AC＝DE，所以△ABC≌△DCE(AAS).
（2）由（1）知BC＝CE，从而在Rt△ACE中，利用勾股定理求 AE.
【答案】解：(1): AB//DE,∴∠BAC＝∠D. 又∵∠B＝∠DCE＝90°,AC＝DE,∴△ABC≌△DCE(AAS).
(2)由（1）知△ABC≌△DCE,∴CE＝ BC＝5.
在Rt△ACE中，∵AC＝12, CE＝ 5,.
28.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．
29.如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

【解析】由已知条件“BF＝EC”结合图形可知：BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，目前已经知道的条件是一边（BF＝EC）、一角（∠B＝∠E），所以可以考虑全等三角形的判定定理AAS、SAS或ASA，再次分析已知条件，发现由AC∥DF可得出∠ACB＝∠DFE，所以考虑由ASA定理证得结果．
【答案】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.
又∵BF＝CE，∴BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（ASA）．

30.已知D是斜边AB的中点，，，过点D作使，，连接CE并延长CE到点P，使，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
如图1，当D，B，F共线时，求证：
；
；
如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：．

【解析】证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论；
根据同位角相等可得，由平行线的性质得，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得；
如图2，延长DE到Q，使，连接CD，PQ，FQ，证明≌，则，由，，知EF是DQ的垂直平分线，证明≌，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
【答案】解：证明，，，同理，
，，，是斜边AB的中点，，
，即M是BC的中点，，即E是PC的中点，，，
是直角三角形，；
，，由知：，，，
是线段BP的垂直平分线，，；
如图2，延长DE到Q，使，连接CD，PQ，FQ，

，，≌，则，
，是DQ的垂直平分线，，，，
，，
≌，，是DQ的垂直平分线，，
，．
31.如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
(1)求证：BD⊥EC；
(2)若AB＝1，求AE的长；
(3)如图2，连接AG，求证：EG-DG＝AG .

图1 图2
【解析】(1)证明△AEF≌△ADB，结合已知条件，等量代换求∠EGB＝90°即可；
(2)证明△AEF∽△DCF，代入已知与等量，转化成方程求解；
(3)以AG为腰构造等腰直角三角形，将EG、DG和AG转化到同一条直线中求解.
【答案】(1)证明:因为四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，所以∠EAF＝∠DAB＝90°，
又AE＝AD，AF＝AB，所以△AEF≌△ADB，∠AEF＝∠ADB.所以∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC.
(2)解:由矩形性质知 AE//CD.所以∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF,
所以△AEF△DCF，，即AE DF＝AFDC.设AE＝AD＝a(a>0)，则有a (a－1)＝1，化简得a－a－1＝0，解得a＝ 或 (舍)，所以AE的长为.
(3)证明:方法一:如图1，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，
AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，所以△AEP≌△ADG，所以AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
所以∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP＝∠DAE＝90°，△PAG为等腰直角三角形.
于是EG－DG＝EG－EP＝PG＝AG.
方法二，如图2，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q.在△AEG与△ADQ中，
AE＝AD，∠AEG＝∠ADQ，∠EAG＝90°＋∠DAG＝∠DAQ，所以△AEG≌△ADQ ，
所以EG＝DQ，AG＝AQ，△AGQ为等腰直直角三角形，于是EG－DG＝DQ－DG＝QG＝AG.

图1 图2
32.已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE.
（1）如图1，求证：AD＝AE；
（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.

【解析】本题考查了全等判定与等腰三角形判定，（1）只需要证明△ABD≌ △ACE即可得出结论，（2）根据（1）中的结论知道△ADE中∠DAE＝45°，AD＝AE，所以45°和∠ADE或∠AED的所有相等的角所在三角形为符合条件的三角形．
【答案】 (1)证明:如图1∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵BD＝CE ∴△ABD≌ △ACE∴AD＝AE
(2)如图2 △ADE △BDF △BAE △CAD
33.如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F.
（1）求证：AE=BD；
（2）求∠AFD的度数.

【解析】 （1）先利用边角边证明△ACE≌△BCD，然后由全等三角形的性质得到AE=BD；（2）利用全等三角形的性质以及三角形的内角和定理来进行证明.
【答案】解：（1）∵AC⊥CB，CD⊥EC，∴∠ACB=∠ECD=90˚,∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，,∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD.
（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠A=∠B，∵∠AGC=∠BGF，∴∠BFA=∠ACB=90˚，∴∠AFD=∠BFA=90˚.


34.问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，.

求证：.
问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，.求的值.
【解析】问题1：证法一：证明；证法二：根据三角函数求解；
问题2：分别过点、作的垂线，垂足为、转化为问题1求解。
【答案】解：问题1：证法一：∵，∴.
∵，∴.∴.
在和中，，∴.
∴，，∴.
证法二：由证法一，可设.
在中，，，
在中，，，
又∵∴，，∴.
问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、.
由（1）可知，在和中，，
∴，，，.
∴，.
∴.

35.问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围. 她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是 ；
（2）AD的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC.
（4）如图3，在矩形ABCD中，,在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且,点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG.

【解析】（1）根据满足两三角形全等条件回答.
（2） 把已知的AB=6，AC=4转化到△ABE中，根据三角形三边关系解答.
（3） 仿照（1）（2）提供的解题思路解答.
（4） 结合图形，从点G是DF的中点联想（3）的证明方法作辅助线，再利用相似三角形证得△CEH是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解.
【答案】解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
又DE=AD，∠ADC=∠EBD，
∴△BED≌△CAD（SAS）
故答案为SAS.
（2）∵△BED≌△CAD，∴AC=BE=4，
∵DE=AD，∴AE=2AD，
在△ABE中，即
故答案为
（3）证明：延长AD至点A′，使A′D=AD，
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD,
在△ADC和△A′DB中，,
∴△ADC≌△A′DB,
∴
又∵AE=CE，∴∠CAD=∠AFE,
∴
∵，∴,
∴,
∵,∴.

（4）证明：延长CG至点H，使HG=CG，连接HF，CE，HE，
∵G为FD的中点，∴FG=DG.
在△HGF和△CGD中，,
∴△HGF≌△CGD,
∴HF=CD，∠HFG=∠CDG.

在Rt△BEF中，∵，∴tan∠EBF=.
又矩形ABCD中，，∴,∴tan∠ADB=，
∴∠EBF=∠ADB.
又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC，∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.
又∵∠EFD=∠EBF+∠BEF,即∠EFH+∠HFD=∠EBF+90°,
∵∠ADB+∠BDC=90°,∴∠EFH+∠HFD=∠EBF+∠ADB+∠BDC,
∴∠EFH=2∠EBF,即∠EFH=∠EBC.
在△EFH和△EBC中，，，∴.
又∠EBC=∠EFH，∴△EFH∽△EBC,
∴∠FEH=∠BEC，
∴∠HEC+∠CEF=∠BEF+∠CEF,
∴∠HEC=∠BEF=90°,∴△CEH是直角三角形.
∵G是CH的中点，∴EG=CG.