（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 模型九 与圆有关的最值(含隐圆问题)（原卷版+解析版）

模型九与圆有关的最值(含隐圆问题)

【基础模型】

 【隐圆题型】

说明：圆外一点P到圆上的最短距离为PA、最长距离为PB；(P、A、0、B点在同一条直线 上，即P、A、B二点过圈心0)

圆内一点P到圆上的最短距离为PA、最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P、A、B三点过圆心0)

【常见的两种模型】

【典例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，求四边形AGCD的面积的最小值.

【解析】∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，

∵AB＝3，AE＝2，

∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，

设点G到AC的距离为h，

∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，

∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，

∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，

∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．

由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，

延长EG交AC于H，则EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC/AC=，

在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝EH/AE=，

∴EH＝AE＝，

∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，

∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝．

【强化训练】

1．数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含30°角的直角三角板做实验，如图，∠ACB＝90°，BC＝6cm，M，N分别是AB，BC的中点，标记点N的位置后，将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，在旋转过程中，线段NM′的最大值是（　　）

A．7cm B．8 cm C．9cm D．10cm

【解析】：∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，∠A＝30°，

∴AB＝2BC＝12，

∵M，N分别是AB，BC的中点，

∴CM＝6，CN＝3，

∵将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，

在旋转过程中，点M′始终在以C为圆心，CM为半径的圆上，

∴当M′旋转当与B，C在一条直线上时，即到D的位置时，线段NM′的值最大，即NM′的最大值＝DN＝6+3＝9，故选：C．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】：如图，作CH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴由勾股定理求得AB＝10，

∵CHAB＝ACBC，

∴CH＝，

∵点D是AC的中点，

∴CD＝4，

∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，

∴CE＝4，即点E在以C为圆心，4为半径的圆上，

∵点E在HC的上，点E到AB的距离最小，

∴S△AEB最小值＝×10×（ -4）＝4

故选：D．

3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为________．

【解析】∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，

∵AB＝3，AE＝2，

∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，

设点G到AC的距离为h，

∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，

∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，

∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，

∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．

由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，

延长EG交AC于H，则EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝=，

在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝=，

∴EH＝AE＝，

∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，

∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝．

故答案为：．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是_______

【解析】：∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，

∵M是AD边的中点，

∴AM＝MD＝1.

∵将△AMN沿MN所在直线折叠，

∴AM＝A'M＝1，

∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，

∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，

∵由勾股定理可求得MC＝，

∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1.

5．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为_______.

【解析】：∵∠ABC＝90°，

∴∠ABP+∠PBC＝90°，

∵∠PAB＝∠PBC

∴∠BAP+∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，

在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，

∴由勾股定理可求得OC＝5，

∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．

∴PC最小值为2． 故答案为2．

6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为________．

【解析】：如图所示：连接AM．

∵四边形ABCD为正方形，

∴由勾股定理可求得AC＝．

∵点D与点M关于AE对称，

∴AM＝AD＝1．

∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．

如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．

∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，

故答案为：﹣1．

7．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最值是_______．

【解析】：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP，

∴OQ⊥PA，

∴∠AQO＝90°，

∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，

当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，

在Rt△OCH中，

∵∠COH＝60°，OC＝2，

∴OH＝OC＝1，CH＝，

在Rt△CKH中，由勾股定理可求得CK＝，

∴CQ的最大值为1+.

8.如图，△ABO为等边三角形，OA＝4，动点C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，点D为BC中点，连接AD，则线段AD长的最小值为_______.　

【解析】：如图1，取OB的中点E，

在△OBC中，DE是△OBC的中位线，

∴DE= OC=2，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，

∴求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值，

如图2，当D在线段AE上时，AD取最小值2-2.

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为______　．

【解析】：由题意得：DF＝DB，

∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，

∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，

由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2

∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5﹣3＝2，

即线段AF长的最小值是2，

连接BF，过F作FH⊥BC于H，

∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，

故答案为：