（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 模型七 垂线段最短（原卷版+解析版）

模型七垂线段最短

【基础模型】

1、"垂线段最短"的题设是"连接直线外一点与直线上一点的所有线段",结论是"垂线段最短"。

拓展资料

垂直定理

1.在同一平面内，过一点(直线上或直线外)有且只有一条直线与已知直线垂直。

2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。(简称垂线段最短)

定理1证明

已知直线AB和平面内一点C，过C作AB的垂线，求证这样的直线有且只有一条。

证明:当C在直线上时，作CD⊥AB，CD'⊥AB，不妨设CD在CD'的左边，则∠D'CB在∠DCB的内部。

∴∠D'CB<∠DCB

而∵CD⊥AB，CD'⊥AB

∴∠DCB=∠D'CB=90°，小的等于大的，这是不可能的事情。

∴假设不成立，即当C在AB上时，有且只有一条直线CD与AB垂直。

当C在直线外时，作CD⊥AB，CD'⊥AB，垂足分别为D、D'。

则∠CDB=∠CD'A=90°

根据同旁内角互补，两直线平行可知，CD∥CD'，这和CD与CD'交于C矛盾。

∴假设不成立，即当C在直线外时，有且只有一条直线CD与AB垂直。

这样就证明了，无论C是否AB上，命题都成立。

定理2证明

已知直线AB和直线外一点C。作CD⊥AB，垂足为D。连接C与AB上异于D的任意一点E，求证CD<CE。

证明:由定理的第一部分可知CD是唯一的垂线段，那么C、D、E就构成了以∠CDE为直角的Rt△CDE。

由三角形内角和定理可知，△CDE内没有比∠CDE更大的角

∴∠CDE>∠CED

大角对大边，因此CE>CD

由E的任意性可知对于任一异于D的E，都有CD<CE，即垂线段最短。

2、点A是l1上的动点，B，P是定点，求PA+AB的最小值.

作点P关于直线l1的对称点P’，则P’B为PA+AB的最小值.

【典例】

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，且A点在y轴正半轴上，C点在x轴上，D点是x轴正半轴上一个动点，OD长为2a，以OD为对角线作正方形OEDF，连接BD并取BD中点M，AM交x轴于N点.

(1)N点坐标是_____________(用含a的代数式表示)；

(2)求FN：EM的值；

(3)当△EMN面积最小时，求a的值.

【解析】：

(1)分析点N的形成，它是由AM延长后与x轴相交产生，因此观察点M，发现它是中点，于是很容易找到一对全等三角形，△ABM和△NDM，所以可以证明DN=AB=4，于是ON=2a-4，于是得到点N坐标为(2a-4,0)；

(2)在八年级阶段求线段比值，通常突破口不容易找到，但是题目条件中其实给了不少暗示，例如正方形，例如等腰三角形，咦？△EMN，是不是很像等腰三角形呢？

猜归猜，用数学推理说话才是正道，那咱们就上路吧！

以点E为旋转中心，EO=ED，那么EN的对应边又在哪里呢？不难想到连接AE，如下图：

由正方形OEDF得到EO=ED，∠OED=90°，由正方形OABC得到OA=AB，再用前一小题中的△ABM≌△DNM得到AB=DN，于是等量转换顺利得到OA=DN，再加上∠AOE=∠NDE=45°，用SAS判断△AOE≌△NDE，从而证明了AE=NE，∠AEO=∠NED，而∠NED+∠OEN=90°，于是∠AEO=∠OEN=90°，即∠AEN=90°，得到等腰Rt△AEN，前面也提到点M是中点，因此△EMN是等腰三角形，所以FN：EM=√2；

(3)这是本题重点也是难点，△EMN的面积随着点D带动点N变化而变化，但我们可以看到，△EMN本身是个特殊三角形，它的面积与其边长有关联，即面积最值可转化成线段最值问题，于是我们学过的两个定理：两点之间，线段最短和垂线段最短便能派上用场了。

到底该用哪个呢？

观察线段的变化，如果两个端点都在变化，其实是不利于观察的，在△EMN中，恰恰所有顶点都在变化，设置了障碍，但回到最初求N点坐标时的思路，观察线段AN，由于M是中点，所以MN的长度与AN的长度变化是同步的，对于线段AN来讲，端点A是确定的，点N又在x轴上，即线段一端固定，另一端在直线上，这不就是点到直线的距离最短的案例吗？

所以当AN⊥x轴时，AN最短，连带MN最短，得到△EMN面积最小。

结合前面的探究，AB=DN，而DN和DO重合，于是2a=4，求得a=2.

解题反思：

解完之后会感觉，这道题并不难嘛！的确，在想到思路之前，的确很难，想到之后，行云流水。

那么解题的思路究竟如何更有效率地寻找？答案只有一个，那就是审题，说起来简单，但做起来很难。学生平时学习，积累了大量解题经验，这些经验要用于某道具体题目，相当于大数据匹配，读题时，触发思维线，思维线织成网，最终网住结论这条鱼。

【强化训练】

1、如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．

【答案】

【解析】作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．

【详解】解：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，

∴AH=BH=AB=，

∵CD⊥OC，

∴CD=CE，

∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，

∴△BCD∽△ECA，

∴，

∴CD•CE=BC•AC，

∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，

∴CD=，

∴当CH最小时，CD最大，

而C点运动到H点时，CH最小，

此时CD=，即CD的最大值为．

故答案为．

【总结】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

2、如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（     ）

A．y=- B．y=- C．y=- D．

【答案】A

【详解】连接CO．∵AC=AO，BC=OB，∴AB是线段OC的垂直平分线．∵直线AB的解析式为，∴直线OC的解析式为y=－2x，∴设C（a，－2a）．∵CB=OB=4，∴，解得：a=0（舍去）或a=，∴C（，）．设直线BC为，把C（，）代入得：，解得：k=，∴直线BC为．过O作OQ⊥AC于Q交AB于点P，连接PC，则PC+PQ=OQ最短．∵直线OQ∥直线BC，∴直线OQ的解析式为：．故选A．

3、如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【详解】连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABCBC•AD6×AD＝18，解得：AD＝6．

∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝66＝6+3＝9．

故选C．

4、如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为(    )

A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm

【答案】C

【详解】如图，连接AD．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．

∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．

故选C．

5、如图，在中，，，，是的平分线.若，分别是和上的动点，则的最小值是__________.

【答案】

【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，

∴AB==5.

∵ ,

∴=2.4.

故答案为：2.4.

6、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________．

【解析】如解图，

作点N关于BD对称的点N′，根据菱形的对称性可知点N′在AD上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点N′作N′M⊥BC于点M，故MN′与BD的交点P即满足PM＋PN的值最小，故MN′＝AB·sin∠ABC＝4×＝6.

7、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．

【答案】

【详解】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，

∴BC==9，

S△ABC=AB•AC=BC•AF，

∴3×6=9AF，

AF=2，

∴AA'=2AF=4，

∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，

∴∠A'=∠C，

∵∠AEA'=∠BAC=90°，

∴△AEA'∽△BAC，

∴，

∴，

∴A'E=，

即AD+DE的最小值是，

故答案为．

8、如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E.若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．

【解析】如解图，

作D关于AE的对称点D′，DD交AE于F，再过D′作D′P⊥AD于P，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵D′与D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P′即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP＝PD′，∴在Rt△APD′中，PD′2＋AP2＝AD′2，即2P′D2＝16，∴PD′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2.