（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型一 圆基本性质的证明与计算（原卷版+解析版）

类型一圆的基本性质证明与计算

1.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以PA=.

2.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB=                                                                                             （    ）

A．2       B.3         C.4         D.5

【答案】B

【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选B．

3.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．55°

【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．

【解答】解：连接FB．

∵∠AOF＝40°，

∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，

∴∠FEB＝∠FOB＝70°

∵EF＝EB

∴∠EFB＝∠EBF＝55°，

∵FO＝BO，

∴∠OFB＝∠OBF＝20°，

∴∠EFO＝∠EBO，

∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，

故选：B．

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4.如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．

【详解】

延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，

∵CD⊥OB，

∴∠DCB=90°,

又，

∴∠DCB=∠AOB，

∴CD//AO

∴

∵OC=2，OB=4，

∴BC=2,

∴，解得，CD=；

 ∵CD//AO，

∴，即，解得，PO=

 故选：B．

【点睛】

此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．

5.如图，⊙P与x轴交与点A（—5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C，若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为

1. B. C. D.

【答案】D

【解析】连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足为F,E.

由题意可知：四边形PFOE为矩形，

∴PE＝OF,PF＝OE.

∵∠ACB＝60°，

∴∠APB＝120°.

∵PA＝PB， 

∴∠PAB＝∠PBA＝30°.

∵PF⊥AB，

∴AF＝BF＝3.

∴PE＝OF＝2.

∵tan30°＝,cos30°＝，

∴PF＝,AP＝.

∴OE＝,PC＝.

在RT△PEC中，CE＝ ＝，

∴OC＝CE＋EO＝＋2.

6.如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．

【详解】

解：是的直径，弦，

，．

又

在和中，

，

故选：B

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．

7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（）

A．8   B．10    C．12    D．16

【答案】C

【解析】连接BD．

∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．

∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．

∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．

∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．

在Rt△AEF中，sin∠CAB=

∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．

由DE2=AE ▪EB，得．

∴AB=16+4=20．

在Rt△ABC中，sin∠CAB=

∴BC=12．

8.如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（     ）．

A．         B．         C．         D．

【答案】D

【解题过程】连接OC，

因为，，

            所以

             所以

             因为AB是的直径，

所以，

所以，

所以，

在△ADC与△CED,

因为，

所以△ADC∽△CED,

所以

在Rt△ACB中，，

所以，

又因为，

所以△AOC是等边三角形，

所以，

因为直线DE与 相切于点C，

所以，

因为，，

所以AD//OC，

所以，

所以，

所以，

所以△AOC是等边三角形，

所以，，

所以的长为．

9.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．

【答案】4

【解析】

【分析】

连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．

【详解】

解：连结，如图，设的半径为，

，

，

而，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，即，

，

即OB=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．

10.如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　　．

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．

【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，

∴AE＝AB，EG＝BC；

根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．

∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，

∴sin∠MFG＝．

故答案为：．

【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

11.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为______ .

【答案】

【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，

则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC=CE=2，∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案为．

12.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　   　．

【答案】

【解析】连接OD，因为CD⊥OC，则有CD=，根据题意可知圆半径一定，故当OC最小时则有CD最大，故当OC⊥AB时CD=BC=最大.

13.如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O上,点A在⊙O内,且AP＝3,过点A作AP的垂线交于⊙O点B、C.设PB＝x,PC＝y,则y与x的函数表达式为________.

【答案】

【解析】过点O作OD⊥PC于点D连接OP,OC,因为PC＝y,由垂径定理可得DC＝,因为OP＝OC,所以∠COD＝∠POC,由圆周角定理,∠B＝∠POC,所以∠COD＝∠B,所以△COD∽△PBA,,即,整理可得函数表达式为:.

14.如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.

（1）计算∠CAD的度数；

（2）连接AE，证明：AE=ME；

（3）求证：ME2=BM·BE.

【解析】解：（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，

∴∠COD==72°，

∴∠CAD=∠COD=36°.

同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.

（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，

又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，

∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，

∴∠MAE=∠AME=72°，

∴AE=ME.

（3）连接AB.

由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE

∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，

∴，AN=BM，

∴AB·AE=BE·AN，

∵AE=ME，

∴ME2=BM·BE.

.

15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；

（2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长．

【解析】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径.

∵ AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.

∵ AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG为平行四边形；

（2）由CD=AB，可设CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x.

∵ ∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.

∵ GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴.

又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.

在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直径长为3.

16.已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.

(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；

(2)如图2，若∠A＝45°：

①求BC的长；

②若点C是的中点，求AB的长；

(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．

图1                   图2               　　图3

【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.

【点拨】　连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．

【解析】　解：(1)连接OB，OC.

∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．

∴BC＝OB＝4.

(2)①连接OB，OC.

∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.

②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.

∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.

(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.

∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.

17．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.

(1)求证：DE＝DB；

(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.

∴＝.

∴∠DBC＝∠BAE.

∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,

∴∠DBE＝∠DEB.

∴DE＝DB.

(2)连接CD.

∵＝，∴CD＝BD＝4.

∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．

∴∠BDC＝90°.

∴BC＝＝4.

∴△ABC外接圆的半径为2.

18．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.

(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；

(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；

(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．

【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.

在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.

∴∠BAC＝∠COH＝30°.

(2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB.

又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.

又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.

∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.

(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．

因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．

19.如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.

(1)求证:BD＝BE;

(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长;

(3)设＝x,tan∠DAE＝y.

①求y关于x的函数表达式;

②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.

解：(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.

(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝;

答图(1)

(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;

答图(2)

②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面积＝,△AEC的面积＝,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.

答图(3)