（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型二 与几何图形结合的函数性质探究（原卷版+解析版）

类型二与几何图形结合的函数性质探究

1.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是　　．

【答案】y＝2x﹣4．

【解答】解：∵A（2，0），B（0，1）

∴OA＝2，OB＝1

过点C作CD⊥x轴于点D，

 则易知△ACD≌△BAO（AAS）

∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2

∴C（3，2）

设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得

∴

∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．

故答案为：y＝2x﹣4．

2.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（　　）

A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8

【答案】A

【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D.C，

设P点坐标为（x，y），

∵P点在第一象限，

∴PD＝y，PC＝x，

∵矩形PDOC的周长为8，

∴2（x+y）＝8，

∴x+y＝4，

即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，

故选：A．

3.如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）

【答案】C

【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），

∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，

∵＝，点D为OB的中点，

∴BC＝3，OD＝BD＝2，

∴D（0，2），C（4，3），

作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，

则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），

∵直线OA 的解析式为y＝x，

设直线EC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直线EC的解析式为y＝x+2，

解得，，

∴P（，），

故选：C．

4.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为3，则k的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】D．

【解析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．

∵点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），

∴C（n，1），

∴OA＝n，AC＝1，

∴AB＝2AC＝2，

∵△OAB的面积为3，

∴，

解得，n＝3，

∴C（3，1），

∴k＝3×1＝3．

5.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，

∴∠BAC＝∠BAO＝45°，

∴OA＝OB＝，AC＝，

∴点C的坐标为（，），

∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝＝1，

故选：A．

6.如图，点P在双曲线y＝（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE＝6，则k的值是　      　．

【答案】9．

【分析】过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA＝PB，由∠APB＝∠EPF＝90°可证△BPE≌△APF，得BE＝AF，利用OF﹣OE＝6，求圆的半径，根据k＝OA×PA求解．

【解答】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，

∵⊙P与两坐标轴都相切，

∴PA＝PB，四边形OAPB为正方形，

∵∠APB＝∠EPF＝90°，

∴∠BPE＝∠APF，

∴Rt△BPE≌Rt△APF，

∴BE＝AF，

∵OF﹣OE＝6，

∴（OA+AF）﹣（BE﹣OB）＝6，

即2OA＝6，

解得OA＝3，

∴k＝OA×PA＝3×3＝9．

故答案为：9．

7.如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为　      　．

【答案】8

【解析】∵A、C是两函数图象的交点，

∴A、C关于原点对称，

∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，

又∵反比例函数y的图象上，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD4＝2，

∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，

故答案为：8．

8.如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点．正方形ABCD的顶点C.D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是　　．

【答案】3

【解答】解：过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，

∵AB⊥AD，

∴∠BAO＝∠DAE，

∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，

∴△ABO≌△DAE（AAS），

∴AE＝BO，DE＝OA，

易求A（1，0），B（0，4），

∴D（5，1），

∵顶点D在反比例函数y＝上，

∴k＝5，

∴y＝，

易证△CBF≌△BAO（AAS），

∴CF＝4，BF＝1，

∴C（4，5），

∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），

∴5（4﹣n）＝5，

∴n＝3，

故答案为3；

9.已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解答】解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．

∵△ACO的面积为3，

∴|k|＝6，

∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，

∴k＜0，

∴k＝﹣6，正确，是真命题；

②∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，

∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，

若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题；

③当A.B两点关于原点对称时，x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，是真命题，真命题有3个，

故选：D．

10.如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）

【答案】C

【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），

∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，

∵＝，点D为OB的中点，

∴BC＝3，OD＝BD＝2，

∴D（0，2），C（4，3），

作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，

则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），

∵直线OA 的解析式为y＝x，

设直线EC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直线EC的解析式为y＝x+2，

解得，，

∴P（，），

故选：C．

11.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）

A．18m2 B．18 m2 C．24 m2 D．m2

【答案】C

【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，

则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，

则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，

在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，

∴BE＝BC＝6﹣x，

∴AD＝CE＝BE＝6﹣x，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝x+6，

∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB）•CE＝（x+x+6）•（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，

∴当x＝4时，S最大＝24．

即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；

故选：C．

12.如图抛物线y＝(p>0),点F(0,p),直线l:y＝－p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示).

【答案】

【解析】先由边相等得到∠A1FB1＝90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到△A1OB1的高,求出三角形面积.

设∠A＝x,则∠B＝180°－x,由题可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝,∠BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:y＝－p,△A1OB1的高为,所以△A1OB1的面积＝··＝

13.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　　．

【答案】（﹣1010，10102）．

【解答】解：∵A点坐标为（1，1），

∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），

∵A1A2∥OA，

∴直线A1A2为y＝x+2，

解得或，

∴A2（2，4），

∴A3（﹣2，4），

∵A3A4∥OA，

∴直线A3A4为y＝x+6，

解得或，

∴A4（3，9），

∴A5（﹣3，9）

…，

∴A2019（﹣1010，10102），

故答案为（﹣1010，10102）．

14.如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图像上的两点，一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．

（1）S△OAB＝________，m＝________；

（2）已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．

【答案】见解析。

【解析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．先求出B点纵坐标和A点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m的值；先由点A在双曲线上，求出A点坐标；再先求出直线AB的解析式；连接DP，通过条件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，得PD∥AB，于是可令直线PD的解析式为y＝x＋t，则0＝×6＋t，求出PD的解析式；

最后由解得，．从而锁定D点的坐标．

（1）∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，

∴B(0，3)，OB＝3．

∵点A(2，n)，

∴＝2．

∴S△AOB＝•OB•＝×3×2＝3．

∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4，

∴S△DOE＝4．

∵DE⊥x轴，且点D在双曲线y＝上，

∴＝4．

∵m＞0，

∴m＝8．

（2）如答图，连接PD，

∵点A(2，n)在双曲线y＝上，

∴2n＝8，n＝4，A(2，4)．

∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，

∴4＝2k＋3．

∴k＝，直线AB的解析式为y＝x＋3．

∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，

∴∠DPE＝∠BCO．

∴PD∥AB．

∴令直线PD的解析式为y＝x＋t，则0＝×6＋t．

∴t＝－3，直线PD的解析式为y＝x－3．

由解得，．

∵点D在第一象限，

∴D(8，1)．

15.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．

例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．

（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．

（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．

①试确定y与x的关系式．

②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．

【答案】见解析。

【解析】x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；

①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．

（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，

故点C是点A、B的融合点；

（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），

则t＝3x﹣3，

则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；

②当∠DHT＝90°时，如图1所示，

设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），

由点T是点D，E的融合点得：m＝，

解得：m＝，即点E（，6）；

当∠TDH＝90°时，如图2所示，

则点T（3，5），

由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；

当∠HTD＝90°时，该情况不存在；

故点E（，6）或（6，15）．

16.在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．

（1）如图（1），双曲线y＝过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；

（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；

（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．

【答案】（1）y＝．．

（2）C′（0，）．

（3）m的值为3或12．

【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴DE＝EB，

∵B（6，0），D（0，8），

∴E（3，4），

∵双曲线y＝过点E，

∴k1＝12．

∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）如图2中，

∵点M，N在反比例函数的图象上，

∴DN•AD＝BM•AB，

∵BC＝AD，AB＝CD，

∴DN•BC＝BM•CD，

∴＝，

∴MN∥BD，

∴△CMN∽△CBD．

∵B（6，0），D（0，8），

∴直线BD的解析式为y＝﹣x+8，

∵C，C′关于BD对称，

∴CC′⊥BD，

∵C（6，8），

∴直线CC′的解析式为y＝x+，

∴C′（0，）．

（3）如图3中，

①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，

∴5m＝4（m+3），∴m＝12．

②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，

∴8m＝4（m+3），

∴m＝3．

综上所述，满足条件的m的值为3或12．

17.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；

（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

【答案】（1）．

（2）点D的坐标为（2，3）

（3）E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）

【解答】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2

∴A（4，0），B（0，2）

把A（4，0），B（0，2），代入，得

，解得

∴抛物线得解析式为

（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F

∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE

∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE

即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE

∴∠DBE＝∠ABE

∴∠DBE＝∠BAC

设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF＝

∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝

∴＝，即

解得x1＝0（舍去），x2＝2

当x＝2时，＝3

∴点D的坐标为（2，3）

（3）

当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF

设E（m，），F（m，）

EF＝|（）﹣（）|＝2

解得m1＝2，，

当BO为对角线时，OB与EF互相平分

过点O作OF∥AB，直线OF交抛物线于点F（）和（）

求得直线EF解析式为或

直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或

∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）

18.如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点的坐标并求直线的表达式；

（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．

【答案】见解析。

【解析】函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

（1）函数表达式为：，

将点坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：；

（2）、，则点，

设直线的表达式为：，

将点坐标代入上式得：，解得：，

故直线的表达式为：；

（3）设点、点，

①当是平行四边形的一条边时，

点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，

同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，

即：，，

解得：，，

故点、的坐标分别为、；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点定理得：，，

解得：，，

故点、的坐标分别为、；

故点、的坐标分别为或、或．