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（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型二 新概念的理解与应用（原卷版+解析版）
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这是一份（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型二 新概念的理解与应用（原卷版+解析版），文件包含全国通用2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练类型二新概念的理解与应用解析版doc、全国通用2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练类型二新概念的理解与应用原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
类型二新概念的理解与应用
1.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n是奇数时，F(n)=3n+1；当n为偶数时，F(n)=（其中k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行. 例如，取n=24，则：
若n=13，则第2018次“F运算”的结果是（ ）
A.1 B.4 C.2018 D.42018
【答案】A
【解析】根据题意，得
第一次：当n=13时，F①=3×13+1=40，
第二次：当n=40时，F②==5，
第三次：当n=5时，F①=3×5+1=16，
第四次：当n=16时，F②==1，
第五次：当n=1时，F①=3×1+1=4，
第六次：当n=4时，F②==1，
……，
从第四次开始，每2次循环运算一个循环，
因为(2018－3)÷2=1007……1，
第2018次“F运算”的结果是1.
故选A.
2.定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．
若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……
△An-1B n-1C n-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnC，则点A1的坐标是________，点A2018的坐标是________。
【答案】（）（）
【解析】题考查了新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标．、坐标与图形变化﹣旋转等知识内容，解决该题型题目时，写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．首先计算A1的坐标为（），则A2为（），以此计算则有
A2018横坐标为-2×2018=，故答案为：（）（）（）
3.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为 度．
【答案】36
【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．
设顶角为α，则其底角为，由k=，可得=2α，解出α=36°。
4.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点．三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮. 已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB＋PC=___________.
【答案】1＋
【分析】由“布罗卡尔点”的定义，得到∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，又∠ABC＝∠BAC＝30°，可证△BCP∽△ABP即可．
【解析】解：如图，由“布罗卡尔点”的定义，设∠PAC＝∠PCB＝∠PBA ＝α，又CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴∠CBP＝∠PAB＝30°－α＝β，∴△BCP∽△ABP，∴PB/PA＝BC/AB＝PC/PB，而在△ABC中，作CD⊥AB于D，则BD＝AB，而cosB＝＝，∴＝，∴＝＝，∴PB＝1，PC＝，∴PB＋PC＝1＋．故答案为1＋．
5.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝，求满足D(m)是完全平方数的所有m．
【分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），用代数式表示出n，化简后因式分解，即可证明n是99的倍数；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化简后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根据D(m)是完全平方数，且10s＋t＋1是一个两位数，从而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组或或或，解方程组即可锁定符合条件的所有m．
【解析】
解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），则n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整数，故n是99的倍数．
（2）易由（1）设m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数，从而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方数，故3(10s＋t＋1)是完全平方数．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
6.请阅读以下材料：已知向量，满足下列条件：
①，，②（角α的取值范围是0°＜α＜90°），③，利用上述所给条件解答问题：
如：已知，，求角α的大小；
解：∵==2，
===2，
∴=2×2cosα=4cosα
又∵=1×(-)+×3=2，
∴
∴，
∴，
∴角α的值为60°.
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知，，求角α的大小
【分析】首先根据题意可求出的值，进而得出cosα=，然后根据特殊角的三角函数值得出角α的度数.
【解析】
解：∵，，
∴=，=，
∴=1×·cosα=cosα，
=1×1+0×（-1）=1，
∴cosα=1，
∴cosα=，
∴α=45°，
∴角α的值为45°.
7.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝，求满足D(m)是完全平方数的所有m．
【分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），用代数式表示出n，化简后因式分解，即可证明n是99的倍数；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化简后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根据D(m)是完全平方数，且10s＋t＋1是一个两位数，从而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组或或或，解方程组即可锁定符合条件的所有m．
【解析】
解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），则n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整数，故n是99的倍数．
（2）易由（1）设m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数，从而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方数，故3(10s＋t＋1)是完全平方数．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
8.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x＝2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧．请利用图②，求cos∠APD的大小．
【分析】本题是涉及新定义的二次函数综合题，解答关键是抓住P到A点和P到x轴距离相等，先作垂直，“化斜为直”，然后利用点的坐标及勾股定理解题．
（1）通过作垂线构造Rt△AHP，根据勾股定理构造关于r的方程，通过解方程求出半径；
（2）类比（1）构造Rt△AHP，结合勾股定理得出y与x的等式，再整理为关于y的函数的形式，进而判断函数图形的形状；
（3）根据函数图象，结合集合定义的特征，得出结论；
（4）利用⊙P的半径为1，得出P点坐标，而P点恰好为二次函数的顶点，过点D作DH⊥AP于H，构造Rt△PDH，然后将D点纵坐标用m来表示，进而表示出DH，HP，利用勾股定理得出关于m的方程，整体求出（m－1）²的值，再利用锐角三角函数的定义，用将三角函数值转化为（m－1）²的值即可．
【解析】
（1）如图①，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H，连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA＝PB＝MH＝y．
∵A（1，2），∴OM＝1，AM＝2．∵P横坐标为2，OB＝2．∴PH＝OB－OM＝2－1＝1，AH＝AM－PB＝2－y．
在Rt△AHP中，∵AH2＋PH2＝AP2，∴(2－y)2＋12＝y2．∴y＝.
答：当x＝2时，求⊙P的半径等于.
（2）如图②，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H．连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA=PB＝MH＝y．
∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1．∵P（x，y），∴OB＝x，PB＝HM＝y．∴PH＝x－1，AH＝2－y．
∵在Rt△AHP中，AH²＋HP²＝AP²，∴（2－y）²＋（x－1）²＝y²．
∴4－4y＋y²＋x²－2x－1＝y²．∴4y＝x²－2x＋5.∴y＝x²－x＋.
（3）根据集合的定义可知：点A（1，2），x轴
（4）如图③，半径为1，即y＝1，代入y＝x²－x＋求得x＝1，即圆心P（1,1），又可知P（1,1）即为函数y＝x²－x＋的顶点，故作出如下图。则D（m，），过D作DH⊥AP于H，则DH＝m－1，HP＝－1＝＝（m－1）²，PD＝1，则有（m－1）²＋[（m－1）²]²＝1²，令（m－1）²＝t，则上式可替换为t＋（t）²＝1²，解得t＝4－8，cos∠APD＝＝＝＝＝（4－8）＝－2.
9.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．
（3）应用拓展:
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．
【分析】（1）求出BC边上的高的长和BC比较；
（2）由“等底”三角形可知AD＝BC，再由B为△AA′C的重心，知BC＝2BD，从而通过勾股定理，用BD表示出AC的长；
（3）分两种情况说明：AB＝和AC＝，画出图形．
【解答过程】（1）如图1，过点A作AD上直线CD于点D，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°
∴∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝＝3
∴AD＝BC＝3
即是“等高底”三角形．
（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD＝BC
∵△A′BC与与△ABC关于直线BC对称，∴∠ADC＝90°
∵点B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，∴CD＝3x
∴由勾股定理得AC＝x，
∴
（3）①当AB＝BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F，
“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2.
l1与l2之间的距离为2，AB＝BC
∴BC＝AE＝2，AB＝
∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，∴∠CDF＝45°
设DF＝CF＝x
∵ l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，
∴，即．
∴AC＝3x＝，可得x＝，∴CD＝
Ⅱ．如图4，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝
②当AC＝BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C时，
点A′在直线l1上
∴A′C∥l2，即直线A′C与l2无交点
综上，CD的值为，，2
【其他不同解法，请酌情给分】
10.我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于＝0.777…， 设x＝0.777… ①
则10x＝7.777… ②
②－①得9x＝7，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝＝，＝1＋＝1＋＝．
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）＝____________，＝____________；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）＝____________，＝____________；
（注：＝0.315315…，＝2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较与1的大小：__________1（填“＞”、“＜”或“＝”）
②若已知＝，则＝__________．
（注： ＝0.285714285714…）
【分析】仿照题中无限小数写成分数形式的方法，设未知数，根据小数点后循环节中数字的个数扩大10倍或100倍或1000倍，再相减得一元一次方程求解即可．
【解答过程】（1）由于＝0.555…，设x＝0.555… ①
则10x＝5.555… ②
②－①得9x＝5，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝5＋＝5＋＝．
故答案为，．
（2）由于＝0.2323… 设x＝0.2323… ①
则100x＝23.2323… ②
②－①得99x＝23，解得x＝，∴＝．
（3）由于＝0.315315…，设x＝0.315315… ①
则1000x＝315.315315… ②
②－①得999x＝315，解得x＝，于是得＝．
设x＝，
则10x＝ ③
1000x＝ ④
④－③得990x＝1998，解得x＝，于是得＝．
故答案为，．
（4）①由于＝0.999…， 设x＝0.999… Ⅰ
则10x＝9.999… Ⅱ
Ⅱ－Ⅰ得9x＝9，解得x＝1，于是得＝1．
②＝3＋＝3＋1000×－285＝．
故答案为①＝，②．
类型二新概念的理解与应用
1.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n是奇数时，F(n)=3n+1；当n为偶数时，F(n)=（其中k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行. 例如，取n=24，则：
若n=13，则第2018次“F运算”的结果是（ ）
A.1 B.4 C.2018 D.42018
【答案】A
【解析】根据题意，得
第一次：当n=13时，F①=3×13+1=40，
第二次：当n=40时，F②==5，
第三次：当n=5时，F①=3×5+1=16，
第四次：当n=16时，F②==1，
第五次：当n=1时，F①=3×1+1=4，
第六次：当n=4时，F②==1，
……，
从第四次开始，每2次循环运算一个循环，
因为(2018－3)÷2=1007……1，
第2018次“F运算”的结果是1.
故选A.
2.定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．
若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……
△An-1B n-1C n-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnC，则点A1的坐标是________，点A2018的坐标是________。
【答案】（）（）
【解析】题考查了新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标．、坐标与图形变化﹣旋转等知识内容，解决该题型题目时，写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．首先计算A1的坐标为（），则A2为（），以此计算则有
A2018横坐标为-2×2018=，故答案为：（）（）（）
3.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为 度．
【答案】36
【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．
设顶角为α，则其底角为，由k=，可得=2α，解出α=36°。
4.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点．三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮. 已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB＋PC=___________.
【答案】1＋
【分析】由“布罗卡尔点”的定义，得到∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，又∠ABC＝∠BAC＝30°，可证△BCP∽△ABP即可．
【解析】解：如图，由“布罗卡尔点”的定义，设∠PAC＝∠PCB＝∠PBA ＝α，又CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴∠CBP＝∠PAB＝30°－α＝β，∴△BCP∽△ABP，∴PB/PA＝BC/AB＝PC/PB，而在△ABC中，作CD⊥AB于D，则BD＝AB，而cosB＝＝，∴＝，∴＝＝，∴PB＝1，PC＝，∴PB＋PC＝1＋．故答案为1＋．
5.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝，求满足D(m)是完全平方数的所有m．
【分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），用代数式表示出n，化简后因式分解，即可证明n是99的倍数；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化简后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根据D(m)是完全平方数，且10s＋t＋1是一个两位数，从而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组或或或，解方程组即可锁定符合条件的所有m．
【解析】
解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），则n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整数，故n是99的倍数．
（2）易由（1）设m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数，从而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方数，故3(10s＋t＋1)是完全平方数．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
6.请阅读以下材料：已知向量，满足下列条件：
①，，②（角α的取值范围是0°＜α＜90°），③，利用上述所给条件解答问题：
如：已知，，求角α的大小；
解：∵==2，
===2，
∴=2×2cosα=4cosα
又∵=1×(-)+×3=2，
∴
∴，
∴，
∴角α的值为60°.
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知，，求角α的大小
【分析】首先根据题意可求出的值，进而得出cosα=，然后根据特殊角的三角函数值得出角α的度数.
【解析】
解：∵，，
∴=，=，
∴=1×·cosα=cosα，
=1×1+0×（-1）=1，
∴cosα=1，
∴cosα=，
∴α=45°，
∴角α的值为45°.
7.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝，求满足D(m)是完全平方数的所有m．
【分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），用代数式表示出n，化简后因式分解，即可证明n是99的倍数；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化简后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根据D(m)是完全平方数，且10s＋t＋1是一个两位数，从而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组或或或，解方程组即可锁定符合条件的所有m．
【解析】
解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），则n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整数，故n是99的倍数．
（2）易由（1）设m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数，从而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方数，故3(10s＋t＋1)是完全平方数．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
8.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x＝2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧．请利用图②，求cos∠APD的大小．
【分析】本题是涉及新定义的二次函数综合题，解答关键是抓住P到A点和P到x轴距离相等，先作垂直，“化斜为直”，然后利用点的坐标及勾股定理解题．
（1）通过作垂线构造Rt△AHP，根据勾股定理构造关于r的方程，通过解方程求出半径；
（2）类比（1）构造Rt△AHP，结合勾股定理得出y与x的等式，再整理为关于y的函数的形式，进而判断函数图形的形状；
（3）根据函数图象，结合集合定义的特征，得出结论；
（4）利用⊙P的半径为1，得出P点坐标，而P点恰好为二次函数的顶点，过点D作DH⊥AP于H，构造Rt△PDH，然后将D点纵坐标用m来表示，进而表示出DH，HP，利用勾股定理得出关于m的方程，整体求出（m－1）²的值，再利用锐角三角函数的定义，用将三角函数值转化为（m－1）²的值即可．
【解析】
（1）如图①，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H，连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA＝PB＝MH＝y．
∵A（1，2），∴OM＝1，AM＝2．∵P横坐标为2，OB＝2．∴PH＝OB－OM＝2－1＝1，AH＝AM－PB＝2－y．
在Rt△AHP中，∵AH2＋PH2＝AP2，∴(2－y)2＋12＝y2．∴y＝.
答：当x＝2时，求⊙P的半径等于.
（2）如图②，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H．连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA=PB＝MH＝y．
∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1．∵P（x，y），∴OB＝x，PB＝HM＝y．∴PH＝x－1，AH＝2－y．
∵在Rt△AHP中，AH²＋HP²＝AP²，∴（2－y）²＋（x－1）²＝y²．
∴4－4y＋y²＋x²－2x－1＝y²．∴4y＝x²－2x＋5.∴y＝x²－x＋.
（3）根据集合的定义可知：点A（1，2），x轴
（4）如图③，半径为1，即y＝1，代入y＝x²－x＋求得x＝1，即圆心P（1,1），又可知P（1,1）即为函数y＝x²－x＋的顶点，故作出如下图。则D（m，），过D作DH⊥AP于H，则DH＝m－1，HP＝－1＝＝（m－1）²，PD＝1，则有（m－1）²＋[（m－1）²]²＝1²，令（m－1）²＝t，则上式可替换为t＋（t）²＝1²，解得t＝4－8，cos∠APD＝＝＝＝＝（4－8）＝－2.
9.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．
（3）应用拓展:
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．
【分析】（1）求出BC边上的高的长和BC比较；
（2）由“等底”三角形可知AD＝BC，再由B为△AA′C的重心，知BC＝2BD，从而通过勾股定理，用BD表示出AC的长；
（3）分两种情况说明：AB＝和AC＝，画出图形．
【解答过程】（1）如图1，过点A作AD上直线CD于点D，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°
∴∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝＝3
∴AD＝BC＝3
即是“等高底”三角形．
（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD＝BC
∵△A′BC与与△ABC关于直线BC对称，∴∠ADC＝90°
∵点B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，∴CD＝3x
∴由勾股定理得AC＝x，
∴
（3）①当AB＝BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F，
“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2.
l1与l2之间的距离为2，AB＝BC
∴BC＝AE＝2，AB＝
∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，∴∠CDF＝45°
设DF＝CF＝x
∵ l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，
∴，即．
∴AC＝3x＝，可得x＝，∴CD＝
Ⅱ．如图4，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝
②当AC＝BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C时，
点A′在直线l1上
∴A′C∥l2，即直线A′C与l2无交点
综上，CD的值为，，2
【其他不同解法，请酌情给分】
10.我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于＝0.777…， 设x＝0.777… ①
则10x＝7.777… ②
②－①得9x＝7，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝＝，＝1＋＝1＋＝．
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）＝____________，＝____________；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）＝____________，＝____________；
（注：＝0.315315…，＝2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较与1的大小：__________1（填“＞”、“＜”或“＝”）
②若已知＝，则＝__________．
（注： ＝0.285714285714…）
【分析】仿照题中无限小数写成分数形式的方法，设未知数，根据小数点后循环节中数字的个数扩大10倍或100倍或1000倍，再相减得一元一次方程求解即可．
【解答过程】（1）由于＝0.555…，设x＝0.555… ①
则10x＝5.555… ②
②－①得9x＝5，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝5＋＝5＋＝．
故答案为，．
（2）由于＝0.2323… 设x＝0.2323… ①
则100x＝23.2323… ②
②－①得99x＝23，解得x＝，∴＝．
（3）由于＝0.315315…，设x＝0.315315… ①
则1000x＝315.315315… ②
②－①得999x＝315，解得x＝，于是得＝．
设x＝，
则10x＝ ③
1000x＝ ④
④－③得990x＝1998，解得x＝，于是得＝．
故答案为，．
（4）①由于＝0.999…， 设x＝0.999… Ⅰ
则10x＝9.999… Ⅱ
Ⅱ－Ⅰ得9x＝9，解得x＝1，于是得＝1．
②＝3＋＝3＋1000×－285＝．
故答案为①＝，②．
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