(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题10 空间位置关系的判断与证明（解析+原卷）学案

专题10  空间位置关系的判断与证明

目录

一．考情分析

二．热点题型归纳

【题型一】空间点、线、面的位置关系

【题型二】空间平行、垂直关系的证明

【题型三】翻折问题

三．最新模考题组练

【考情分析】

1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题第一问的形式考查,难度为中档,主要考查空间中的点、线、面之间的位置关系,重点考查线、面平行与垂直的特殊位置关系的判定与性质,也常与充分必要条件相结合命题.

2.关键能力:空间想象能力、逻辑思维能力.

3.学科素养:直观想象、逻辑推理.

【题型一】空间点、线、面的位置关系

【题组练透】

1．（2021·山东省实验中学高三模拟）若l，m为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2021·江苏金陵中学高三模拟）已知m，n是两条不同直线，、、是三个不同平面.下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

3．【多选】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1B1的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．DE与CC1为异面直线

B．DE与平面BCC1B1所成角的正切值为

C．过D､C､E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等

D．线段DE在底面ABCD的射影长为

4．（2021北京人大附中高三模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足条件①BM⊥DM,②DM⊥PC,③BM⊥PC中的　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可) 

【提分秘籍】

高考中判断空间线面位置关系的注意点：

(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.

(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解.

【题型二】空间平行、垂直关系的证明

【典例分析】

【例1】（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面．

（1）求证：平面；

（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由．

【提分秘籍】

1.证明线面平行问题的一般思路:(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;(2)证明线线平行;(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.

2.判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.

3.判定线面垂直的四种方法:(1)利用线面垂直的判定定理;(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”;(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”;(4)利用面面垂直的性质定理.

4.证明面面垂直问题的两种思路:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;

(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.

【变式演练】

1.（2021•河南郑州一中高三模拟）如图，在五面体中，四边形是正方形，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．

【题型三】翻折问题

【典例分析】

【典例2】（安徽省安庆市2021届二模）如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形，．将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面．若点E是折后图形中半圆O上异于A，B的点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若异面直线和所成的角为，求三棱锥的体积．

【提分秘籍】

平面图形折叠问题的解题策略

(1)解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.

(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.

【变式演练】

1.（2021届青海省西宁市一模）如图，已知圆O的直径AB长为2，上半圆圆弧上有一点C，，点P是弧AC上的动点，点D是下半圆弧的中点，现以AB为折线，将上､下半圆所在的平面折成直二面角，连接，，.

（1）当平面PCD时，求的长；

（2）求三棱锥的最大体积

2．（四川省宜宾市2021届二模）已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为，的中点(如图1)，以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面(如图2).

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离.

1．（2021·山东滕州一中高三模拟）如图，在斜三棱柱中，，且，过作底面，垂足为，则点在.

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部

2.（内蒙古赤峰市2021届二模）在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，过B，E，的截面与棱交于F，则截面分别在平面和平面上的正投影的面积之和（    ）

A．有最小值1 B．有最大值2 C．为定值2 D．为定值1

3.（2021·河北衡水中学高三模拟）在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹是　　

A．线段 B．线段 C．线段 D．平面

4．（山西省2021届二模）如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（    ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

5．（2021·辽宁东北育才中学高三模拟）如图，在长方体中，，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．（江西省鹰潭市2021届高三高考一模）如图1，直线将矩形分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折过程中（平面和平面不重合），下列说法正确的是（    ）

A．在翻折过程中，恒有直线平面 B．存在某一位置，使得平面

C．存在某一位置，使得 D．存在某一位置，使得平面

7．（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知，是两个平面，，是两个条件，则下列结论正确的是（    ）

A．如果，，那么 B．如果，，，那么

C．如果，，那么 D．如果，且，那么

8.（2021·深圳中学高三模拟）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ）

A． B． C． D．

9.（2021·山东曲阜师范大学附属中学高三模拟）如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（    ）

A．平面； B．平面；

C．平面 D．平面平面

10（2021·福建三明市·三明一中高三模拟）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件______时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）.

11.（2021·浙江镇海中学高三模拟）是所在平面外一点，过作平面，垂足是，连接、、.

（1）若，则为的__________心；

（2），，，则是的__________心.

12.（2021·广东珠海市·高三模拟）正方体的棱长为2，点为平面内的动点，，则长度的最小值为___________.

13.（宁夏银川市第二中学2021届一模）如图，矩形中，，E为的中点，把沿翻折，使得平面平面．

（1）求证：；

（2）在上确定一点F，使平面；

（3）求四棱锥的体积．

14．（安徽省蚌埠市2021届三模）已知平面四边形中，，，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且.

（1）求证：；

（2）若为的中点，求点到平面的距离.