(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题15 圆锥曲线的定义、方程与性质（解析+原卷）学案

专题15  圆锥曲线的定义、方程与性质

目录

一．考情分析

二．热点题型归纳

【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程

【题型二】圆锥曲线的几何性质

【题型三】直线与圆锥曲线

三．最新模考题组练

【考情分析】

1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.

2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.

3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.

【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程

【典例分析】

1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8，则的中点到坐标原点的距离为（    ）

A．9 B．6 C．5 D．4

2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点A在l上，点B在抛物线上，l与x轴的交点为C，是正三角形，且四边形ABFC的面积是，则（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【变式演练】

1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在中，，为的中点，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．动点的轨迹是双曲线 B．动点的轨迹关于点对称

C．是钝角三角形 D．面积的最大值为

3.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.

【题型二】圆锥曲线的几何性质

【典例分析】

1．已知，分别为椭圆：的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线的中心为，左焦点为，左顶点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，若直线恰好平分线段，则该双曲线的离心率为__________．

【变式演练】

1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，经过点P(1，1)的直线l与该曲线交于A､B两点，且点P恰好为AB的中点，则（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

2．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为__________．

3.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.

【题型三】直线与圆锥曲线

【典例分析】

1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线与抛物线交于，两点.若点满足，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

2．已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．1

【提分秘籍】

1.求解弦长的4种方法

(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.

(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.

(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x1-x2)2或(y1-y2)2,代入两点间的距离公式求解.

(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.

[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.

2.处理中点弦问题常用的2种方法

(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.

(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.

[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.

【变式演练】

1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线焦点为为坐标原点，直线过点与抛物线交于两点，与轴交于，若，则的面积为___________.

2．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆：.

（1）椭圆是否存在以点为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线的方程，若不存在，请说明理由；

（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，，点是椭圆上的点，若直线，分别与直线交于，两点，求线段的长度取得最小值时直线的斜率.

1．（2021山师大附中高三模拟） “”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线的准线与双曲线相交于，两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（    ）

A． B．或 C．或 D．

4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；  ②a1－c1＝a2－c2；  ③c1a2>a1c2.   ④

其中正确式子的序号是（    ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

5． （2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）为双曲线（，）上一点，，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

6．设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C的方程为，则（    ）

A．当时，曲线C为圆

B．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为

C．当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆

D．存在实数使得曲线C为双曲线，其离心率为

11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线与C分别交于两点，则（    ）

A．为定值

B．可能为直角

C．以为直径的圆与y轴有两个交点

D．对于确定的直线，在C的准线上存在三个不同的点P，使得为直角三角形

12．已知双曲线的左､右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（    ）

A．双曲线的离心率为

B．焦点到渐近线的距离为3

C．点到两条渐近线的距离之积为

D．当与､不重合时，直线，的斜率之积为3

13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：

①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；

③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，

其中，所有正确命题的序号是__________．

14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值，且与水平方向所成角为变量，已知张燕投铅球的最远距离为．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____．（空气阻力不计，重力加速度为）

15．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为________；渐近线方程为________.

16.（2021•南充模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为一1的直线与椭圆相交于，两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）四边形的四个顶点均在双曲线C上，且，轴，若直线和直线交于点，四边形的对角线交于点D，求点D到双曲线C的渐近线的距离之和.