(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题16 圆锥曲线中综合问题（解析+原卷）学案

专题16  圆锥曲线中综合问题

目录

一．考情分析

二．热点题型归纳

【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题

【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题

三．最新模考题组练

【考情分析】

1.   圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有：范围、最值问题，定点、定值问题，探索型问题等.
2.   以解答题的压轴题形式出现，难度较大，重在提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题

【典例分析】

1．（2021·山东滕州一中高三模拟）已知椭圆的左顶点为A，过其右焦点F作直线交椭圆C于D，E(异于左右顶点)两点，直线AD，AE与直线分别交于M，N，线段MN的中点为H，连接FH.

（1）求证：；

（2）求面积的最小值.

【解析】（1）由已知得，设，，直线DE的方程为，

与椭圆方程联立得，，

设直线AD的方程为，与直线联立得，

同理可得，

则，

，，当时，显然；

当时，时，，

综上，可得.

（2）

，H到直线DE的距离

，设，

，

在上单调递增，，当，即时取得最小值.

面积的最小值是.

2．（2021·山东省实验中学高三模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上位于第二象限的任一点，直线是的外角平分线，直线交椭圆于另一点，过左焦点作的垂线，垂足为，延长交直线于点，（其中为坐标原点），椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的内切圆半径的取值范围.

【解析】（1）由题意可得，且，

所以，

因为，分别为线段，的中点，所以为的中位线，

所以且，由，得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，

设直线的方程为，由点在第二象限求得.

设，，由得，       

由根与系数的关系得，，

所以，

令，则，

所以，

因为在时单调递增，所以，

所以，

又，所以，即，

所以内切圆半径的取值范围是.

【提分秘籍】

求解圆锥曲线中最值、范围问题的主要方法

(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.

(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.

【变式演练】

1．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知点F为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M为椭圆C上的点，以M为圆心，长为半径作圆M，若过点可作圆M的两条切线(为切点)，求四边形面积的最大值.

【解析】（1）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为3，最小值为1.

所以，解得，

所以

因此椭圆的标准方程为

（2）由（1）知，为椭圆的左焦点，

根据椭圆定义知，，

设，

∵点在圆外，∴，∴

所以在直角三角形中，

，，

由圆的性质知，四边形面积，其中.

即.

令，则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以，在时，取极大值，也是最大值

此时.

2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．

【解析】（1）设椭圆的右焦点，则

以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆：，

所以圆心到直线的距离，

又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以，

解得：，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，设的中点为D，直线OD与椭圆交于A,B两点，

因为O为的重心，则,所以

即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍.

当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时B在长轴的端点处.

由得：,则O到直线MN距离为1，B到直线MN距离为3；

当MN的斜率存在时，设，则有：

两式相减得：，

因为D为的中点，所以，所以，

所以直线MN的方程为，即，

所以原点O到直线MN距离.

因为，所以，

所以.

因为，所以，所以，所以

综上所述，.

即点B到直线MN距离的取值范围.

【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题

【典例分析】

1．（2021浙江镇海中学高三模拟）已知且满足的动点的轨迹为．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）如图，过点的斜率大于零的直线与曲线交于，两点，，直线交曲线于另外一点，证明直线过定点．

【解析】（1）∵，且，

等式两边平方整理得．

（2）证明：设，，．

由两式相减得．

所以直线的方程为，整理得（*）．

因为点在直线上，所以①，

同理直线的方程为，因为点在直线上，所以②．

由①②两式得，整理得．

由（*）式同理知直线的方程为，

所以，

整理得直线的方程为，

所以直线过定点．

2．（2021·天津八中高三模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上任意一点，三角形面积的最大值是3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点的直线l交椭圆C于A，B两点，且，证明：为定值．

【解析】（Ⅰ）由题意知，

当P点位于椭圆C短轴端点时，三角形的面积S取最大值，

此时．

所以，即，解得．

故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（方法1）当直线l的斜率不为0时，设直线l：交椭圆于．

 由消去x得，．

则．

而，

所以

．

当直线l的斜率为0时，，

则．

故为定值，且为．

（方法2）当直线l的斜率存在时，设直线l：交椭圆于．

由消去y得，．

则，．

而．

所以

．

当直线l的斜率不存在时，可求得，

则．故为定值，且为．

【提分秘籍】

1.求定值问题的思路方法

(1)思路:求解定值问题的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.

(2)方法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

2.求定点问题的解题方法

(1)动直线l过定点问题:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).

(2)动曲线C过定点问题:引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.

【变式演练】

1．（2021·广东华南师范大学附属中学高三模拟）设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.

（1）求双曲线的离心率；

（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【解析】（1）由轴时， 为等腰直角三角形，可得，所以，

即，故，结合，解得.

故双曲线的离心率为2.

（2）因为，所以双曲线，

显然直线l的斜率不为0，设直线，，，

联立直线与双曲线的方程得，化简得，

根据根与系数的关系，得，①

所以，②

，③

设直线，直线，

令，可得，

设是以为直径的圆上的任意一点，则，

则以为直径的圆的方程为，

由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，

即，

将①②③代入，可得，即，

解得或，所以以为直径的圆过定点，.

2．（2021·山师大附中高三模拟）已知圆，动圆M过点且与圆C相切.

（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；

（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

【解析】（1）因为，所以点D在圆内.

又因为圆M过点D且与圆C相切，所以，

所以.

即点M的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.

则，即.

又因为，所以.

故动圆圆心M的轨迹E的方程为：.

（2）当直线AB的斜率不存在时，可得直线AB的方程为，此时，所以四边形OAPB的面积.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，

由整理得，.

因为直线l与轨迹E相交于A，B两点，

所以.

设，，则，.

所以.

设AB的中点为Q，

则Q的坐标为.

因为四边形OAPB为平行四边形，所以，

所以点P的坐标为.

又因为点Р在椭圆上，所以.

整理得，.

又因为，

原点О到直线AB的距离为，

所以平行四边形OAPB的面积.

综上可知，平行四边形OAPB的面积为定值.

1．（2021·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）已知抛物线，满足下列三个条件中的一个：①抛物线上一动点到焦点的距离比到直线的距离大1；②点到焦点与到准线的距离之和等于7；③该抛物线被直线所截得弦长为16.请选择其中一个条件解答下列问题.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当时，求的面积的最小值.

【解析】（1）若选择①，

则抛物线上一动点到焦点的距与到直线的距离相等，故，

故，所以抛物线的方程为.

若选择②，则，解得，故抛物线的方程为.

若选择③，则由可得，

所以，解得，故抛物线的方程为.

（2）设，、，

因为与抛物线相交于、，

所以将代消去得：，

则且，，

由题意可知，，

所以，所以，

所以的面积，

当且仅当时等号成立，

所以的面积的最小值为.

2．（2021·重庆第一中学高三模拟）已知，分别为椭圆的左､右顶点，为右焦点，点为上的一点，恰好垂直平分线段(为坐标原点)，.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交于，两点，若点满足(，，三点不共线)，求四边形面积的取值范围.

【解析】（1）由题意可知，，

∵恰好垂直平分线段，∴，

令，代入得：，∴，

∴，解得，

∴椭圆的方程为：.

（2）由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为：，

设，，

联立方程，消去得：，

∴，

∴，，

设的中点为，则，

∴与互相平分，四边形为平行四边形，

∴

，

令，则，

∵在上单调递增，

∴，∴，∴.

综上所述，四边形面积的取值范围为.

3.（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点到的距离比点到轴的距离大1．过点作抛物线的切线，设其斜率为.

（1）求抛物线的方程；

（2）直线与抛物线相交于不同的两点，（异于点），若直线与直线的斜率互为相反数，证明：．

【解析】（1）解：设点，由点到的距离比点到轴的距离大1，

可得，即，

所以，即抛物线的方程为.

（2）证明：设，，直线的斜率为，直线的斜率为，

则，.

因为直线与直线的斜率互为相反数，

所以，即，

又点，均在抛物线上，可得，化简可得，

因为，，所以，即，

故，因为，所以，所以，

则，故.

4．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆：上有一点，点在轴上方，，分别为的左，右焦点，当△的面积取最大值时，.

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，作，求证：为定值.

【解析】（Ⅰ）由椭圆的性质知，△的面积取最大时，为椭圆的上顶点，即，而，

∴，，又，

∴，，可得的标准方程.

（Ⅱ）由题意，且中点为，易得，即，

若直线l斜率不存在时，，关于x轴对称，知：横纵坐标的绝对值相等，不妨假设在第一象限，则，在椭圆上，

∴，此时两点重合，即；若直线l斜率为0时，同理可得，

若直线l斜率存在且不为0时，设直线l为，，，则，，且，

联立椭圆与直线得：且，

∴，，即，

∴，即.

∴，为定值.

5．（2021·天津南开中学高三模拟）已知点，分别为椭圆的左顶点和上顶点，且坐标原点到直线的距离为，椭圆E的离心率是方程的一个根.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若，过P作斜率存在的两条射线PM，PN，交椭圆E于M，N两点，且，问：直线MN经过定点吗？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，说明理由.

【解析】（1）因为椭圆E的离心率是方程的一个根，所以或.

因为椭圆E的离心率，所以.

因为，所以，所以，

因为点，分别为椭圆的左顶点和上顶点，所以.

因为坐标原点到直线的距离为，所以，

所以，所以，所以，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线MN的斜率存在时，设MN：y=kx+m，

由，消元并化简得，

设，则，，

又，，所以，

所以，

即，

所以，

所以，即，

所以或，

当时，，此时M，N，P重合，舍去.

当时，，恒过点.

当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，

设，则，解得，所以此时直线MN也过点.

所以直线MN恒过定点.

6.（2021·湖南长郡中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P.

（1）求证：点P是线段MN的中点.

（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为，

代入，并整理得.

所以，设，，则，.

设，则，，即.

由，得，

所以MN中点的坐标为.

将代入，解得，则，

所以点P是MN的中点.

（2）由，得，则，

所以抛物线C在点的切线PQ的斜率为k，

又由直线m的斜率为k，可得；

又轴，所以四边形MPQF为平行四边形.

而，，

由，得，

解得，即当时，四边形MPQF为菱形，

且此时，

所以，

直线m的方程为，2

即或，

所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为的菱形.