(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用（解析+原卷）学案

专题02  基本初等函数、函数与方程及函数的应用

目录

一．考情分析

二热点题型归纳

【题型一】基本初等函数的图象与性质

【题型二】函数与方程

【题型三】函数的实际应用

三．最新模考题组练

【考情分析】

1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.

2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.

3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.

【题型一】基本初等函数的图象与性质

【典例分析】

【例1】（2021•焦作一模）若函数的值域为，则函数的图象大致是　　

A．B． C． D．

【答案】B

【解析】若函数的值域为，

则，故函数的图象大致是：故选：．

【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因，且函数是增函数，于是；

函数是增函数，，而，则，，即，综上得：故选：D

【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，

函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，

x≤1时，，即函数在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点，

在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图：

而在(-∞，1]上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象有一个公共点，.故选：A

【提分秘籍】

1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.

2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,而忽视t>0的限制条件.

3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.

【变式演练】

1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为减函数

C．有且只有一个零点 D．的值域为

【答案】AC

【解析】,,

,

故为奇函数，又，

在R上单调递增，

，，，

，，即函数值域为

令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.

综上可知，AC正确，BD错误.故选：AC

2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是       

【答案】

【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数

原不等式可化为，

∴，解得，∴的取值范围是．

【题型二】函数与方程

【典例分析】

【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由为增函数，为增函数，故为增函数，由，

，根据零点存在性定理可得使得，故选：B.

【例5】（2021·北京高三一模）已知函数有2个零点，且过点，则常数t的一个取值为______．

【答案】（不唯一）．

【解析】由可得或

由可得

因为函数有2个零点，且过点，所以，故答案为：（不唯一）

【提分秘籍】

1.判断函数零点个数的方法

2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.

【变式演练】

1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是.

故选：B

2．（2021·天津高三二模）设函数，若，则的最小值为______；若恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________．

【答案】    或   

【解析】当时，，

，，，

所以的最小值为.

设的零点为、，

若，，则，得

若，则，得，

综上:或.故答案为: ；或.

【题型三】函数的实际应用

【典例分析】

1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅,是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，可得，即，，

当时，地震的最大振幅为，当时，地震的最大振幅为，

所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是.故选：B.

2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少需要花的时间为（    ）

A．7小时 B．10小时 C．15小时 D．18小时

【答案】B

【解析】因为前5个小时消除了的污染物，所以，解得，所以，

设污染物减少所用的时间为t，则，

所以，解得，故选：B

3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为（为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是     

A． B． C． D．

【答案】

【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点，

代入函数的解析式，可得，解得，所以，

令，可得或，

解得或，

所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是.故选：B.

【提分秘籍】

1.构建函数模型解决实际问题的失分点：

(1)不能选择相应变量得到函数模型；

(2)构建的函数模型有误；

(3)忽视函数模型中变量的实际意义.

2.解决新概念信息题的关键：

(1)依据新概念进行分析；

(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.

【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（    ）（）

A．分 B．分 C．分 D．分

【答案】B

【解析】由题意得：，；

，

该学生在高考中可能取得的总分约为分.故选：B.

1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数的零点所在的区间为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数为上的增函数，

由，，

可得函数的零点所在的区间为．故选：D.

2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数在上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的解，

即在上有两个不同的解.

此问题等价于与有两个不同的交点.由下图可得.

故选：D.

3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数，则（    ）．

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】A

【解析】的定义域为，

A：因为，

所以函数的图象关于对称，因此本选项正确；

B：由A知，所以的图象不关于点对称，因此本选项不正确；

C：

函数在时，单调递增，

在时，单调递减，因此函数在时单调递增，在时单调递减，故本选项不正确；

D：由C的分析可知本选项不正确，

故选：A

4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数，则函数的图象可能是（    ）

A．   B．   C．    D．

【答案】D

【解析】，定义域为，且，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C，故选：D.

5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为bit/s：为信道带宽，单位为：为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（    ）

A．2 B．99 C．101 D．9999

【答案】C

【解析】当，时，，

由，得，所以，

所以，即信噪比变为原来的101倍.

故选：.

6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由可得关于对称，

由函数是定义在R上的奇函数，

所以，

所以的周期为4，

把函数的零点问题即的解，

即函数和的图像交点问题，

根据的性质可得如图所得图形，结合的图像，

由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.

7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以可得或，

所以的定义域为或，

因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，

所以的定义域为，

因为函数图象与函数图象关于直线对称，

所以与互为反函数，

故的值域即为的定义域.故选：.

8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点.

画出的大致图象，如图所示.

由图可知.不妨设，则，且.

所以，所以，则，

因为，所以，所以，所以，

所以.故选：A

9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】BCD

【解析】函数的导数为；

所以过原点的切线的斜率为；则过原点的切线的方程为：；

所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；故选BCD

10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数，下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为

B．在定义域内单调递増

C．不等式的解集为

D．函数的图象关于直线对称

【答案】AD

【解析】要使函数有意义，则，故A正确；

，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；

由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；

令，解得，所以关于直线对称，故D正确.

故选：AD

11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（    ）

A．

B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时

【答案】AD

【解析】由函数图象可知，

当时，，即，解得，

，故正确，

药物刚好起效的时间，当，即，

药物刚好失效的时间，解得，

故药物有效时长为小时，

药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；

注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，故选：．

12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，，的实根个数分别为a，b，c，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】由图，方程，，此时对应4个解，故；

方程，得或者，此时有2个解，故；

方程，取到4个值，如图所示：

即或或或，则对应的的解，有6个，故.
根据选项，可得A，D成立.故选AD．

13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的值为________.

【答案】3或

【解析】令ax=t，则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.

当a>1时，因为x∈[-1，1]，所以t∈，又函数y=(t+1)2-2在上单调递增，所以ymax=(a+1)2-2=14，解得a=3(负值舍去).

当0<a<1时，因为x∈[-1，1]，所以t∈，又函数y=(t+1)2-2在上单调递增，则ymax=-2=14，解得a= (负值舍去).综上，a=3或a=.

14．（2021·北京高三一模）已知函数则________；的值域为_______．

【答案】1       

【解析】；

当时，，

当时，，

所以的值域为

故答案为：1；．

15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为的函数的部分图像如图所示，且，函数，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】由题意知，且函数的定义域为，所以是偶函数．

由图知，且函数在上为增函数，

则不等式等价于，即，

所以，解得．

故实数的取值范围为．

故答案为：

16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】作出函数图像如下

互不相等的实数，，满足

不妨设，则关于对称，所以

根据图像可得

所以，所以的取值范围为