【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 概率（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编  （文科）

概率（精解精析）

一、选择题

1．(2021年高考全国甲卷文科)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻概率为 (　　)

A．0．3 B．0．5 C．0．6 D．0．8

【答案】C

解析：解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

，

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

，

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为，

故选：C．

2．(2021年全国高考乙卷文科)在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

解析：设“区间随机取1个数” ，

“取到的数小于”，所以．

故选：B．

【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．

3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)设O为正方形ABCD的中心，在O，A．B．C．D中任取3点，则取到的3点共线的概率为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，从5个点中任取3个有

共种不同取法，

3点共线只有与共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，

取到3点共线的概率为．

故选：A

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题．

4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0．01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为              (　　)

A．0．01 B．0．1 C．1 D．10

【答案】C

【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍，

所以所求数据方差为

故选：C

【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题．

5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有种排法，再所有的4个人全排列有：种排法，利用古典概型求概率原理得：，故选：D．

注：文科方法为枚举法.

6．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，

所以恰有2只做过测试的概率为，故选B．

【点评】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．

7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．15，则不用现金支付的概率为              (　　)

A．0．3 B．0．4 C．0．6 D．0．7

【答案】B

解析：某群体中的成员只有“只用现金支付”、“既用现金支付也用非现金支付”以及“不用现金支付”三种基本事件，并且他们相互互斥．所以不用现金支付的概率为：．故选B．

8．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是女生的有种，故选中的2人都是女同学的概率，

（适合文科生），设2名男生为，3名女生为，

则任选2人的种数为共10种，其中全是女生为共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故选D．

9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】方法一:如下表所示,表中的点横坐标表示第一次去到的数,纵坐标表示是第二次取到的数

总计25种情况,满足条件的有10种,

所以所求概率为

方法二:设抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数分别,则可取1,2,3,4,5,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为:

故选D． 

【考点】古典概率

【点评】古典型概率可以用列举法求解;也可以先弄清试验,再弄清事件及其关系,最后计算概率．

10．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是              (　　)

 (　　)

A． B． C． D．

【答案】  B

【解析】由圆及太极图的对称性可知,黑色部分与白色部分各占圆的面积的,于是可设圆的半径,则正方形的边长,所以所求概率为,故选B

【考点】几何概型

【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几何化,也可根据实际问题的具体情况,选取合适的参数建立适当的坐标系,在此基础上,将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个可度量的区域;另外,从几何概型的定义可知,在几何概型中,“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小,仅与该区域的度量成正比,而与该区域的位置、形状无关．

11．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是              (　　)

A． B． C． D．

【答案】C【解析】开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．

12．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为              (　　)．

A． B． C． D．

【答案】B【解析】 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B．

13．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是              (　　)

A． B． C． D．

【答案】A【解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为，选A．．

14．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C．

考点：古典概型

15．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

解析：基本事件的总数为，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以，所求概率，故选B．

考点：概率运算

难度：A

备注：高频考点

二、填空题

16．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为           ．

【答案】

解析：所有的基本事件有：红红，红白，红蓝，白红，白白，白蓝，蓝红，蓝白，蓝蓝；所求概率是。

考点：（1）基本事件，（2）古典概率

难度：B

备注：常考题．

17．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____．

【答案】

解析：设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A， C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列方法，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为．

考点：1．列举法求概率；2．古典概率的知识。

难度：A

备注：高考频点。

18．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______。

【答案】

解析：从5个正整中任意取出两个不同的数，，种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。

考点：（1）10．5．1基本事件及事件的构成；（2）10．5．2古典概型的概率问题；

难度：A

备注：高频考点

三、解答题

19．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析．

【解析】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；

（2）甲分厂加工件产品总利润为元，

所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；

乙分厂加工件产品的总利润为

元，

所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．

故厂家选择甲分厂承接加工任务．

【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．

20．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

(3)根据(2)中的列表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：

【答案】【官方解析】（1）第二种生产方式的效率更高．

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少分钟，用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于分钟:用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

（2）由茎叶图知．

列联表如下：

（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

21．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位：亿元)的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①：；根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②：．

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

【答案】解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=–30．4+13．5×19=226．1（亿元）．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=99+17．5×9=256．5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30．4+13．5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17．5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

22．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分12分)某险种的基本保费为(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求的估计值；

(2)记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的”．求的估计值；

(3)求续保人本年度的平均保费估计值．

【答案】  （1）(2)；（3）．

【官方解答】（1）事件发生当且仅当一年内出险次数小于．由所给数据知，一年内出险次数小于的频率为：，故的估计值为．

（2）事件发生当且仅当一年内出险次数大于且小于，由所给数据知，一年内出险次数大于且小于的频率为：，故的估计值为．

（3）由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为：

．

因此，续保人本年度平均保费的估计值为．

23．(2012年高考数学课标卷文科)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．

(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位：枝，)的函数解析式．

(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．

【答案】解析：（Ⅰ）当日需求量时，利润；

当日需求量时，利润，

∴关于的解析式为；

（Ⅱ）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的利润的平均数为

=76．4；

②利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为

考点：（1）2．10．2分段函数模型；(2)10．2．3用样本的数字特征估计总体的数字特征；（3）10．4．2随机事件的频率与概率；

难度：B

备注：典型题、高频考点