专题02 曲线的切线问题探究-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

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纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：
1.已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.
2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
（1）已知切点求切线方程：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．
（2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．
4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.
6.导数几何意义相关的综合问题．
【压轴典例】
例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.
例2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1
【答案】B
【解析】因为f(x)=x4-2x3,所以f'(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f'(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
例3．（2020·江苏高三期中）（多选）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线方程为 B．
C．曲线关于点对称 D．当时，
【答案】ABC
【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确.因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确.由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确.当时，有，，所以，故D不正确.
例4．（2020·河北唐山高三）(多选)设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】因为，故可得；设切线的倾斜角为，则，故可得，
例5．（2020·湖北武汉高三）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】CD
【详解】，， 由已知得，过点作曲线的三条切线，情况如下：①点在曲线上，故此时，切点为，把点代入函数可得，，利用切线公式得，，所以，此时，切线为轴，但此时，切线只有一条，不符题意； ②点不在曲线上，故此时，设切点为，故切线经过切线方程为：，所以，，又因为切点在曲线上，所以，，
又因为切线的斜率为：联立方程得，，化简得，，令，即有三个解，即与有三个交点，令，可得两极值点为，；对于，在和时，单调递增，在时单调递减，所以，当时，因为，，所以，当时，满足与有三个交点，而
例6．（2020·梅河口市第五中学高三）已知函数，曲线在点处与点处的切线均平行于轴，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数，所以定义域为，，因为曲线在点处与点处的切线均平行于轴，所以、是方程的两个不相等的正根，，，则，解得，令，则
，易知在上是减函数，故，的取值范围是，
例7.（2019·全国高考真题）已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.
【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，
，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
（2）因为是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
例8. (2020·全国卷Ⅲ理科·T21)函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点处的切线与y轴垂直
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
【解析】(1)因为f'(x)=3x2+b,由题意,f'=0,即3×+b=0,则b=-.
(2)由(1)可得f(x)=x3-x+c,f'(x)=3x2-=3,令f'(x)>0,得x>或x<-;
令f'(x)<0,得-且f(-1)=c-,f=c+,f=c-,f(1)=c+,若f(x)所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x0,则f(-1)>0或f(1)<0,即c>或c<-.当c>时,f(-1)=c->0,f=c+>0,
f=c->0,f(1)=c+>0,又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)<0,由零点存在性定理知f(x)在(-4c,-1)上存在唯一一个零点x0,即f(x)在(-∞,-1)上存在唯一一个零点,在(-1,+∞)上不存在零点,此时f(x)不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;
当c<-时,f(-1)=c-<0,f=c+<0,f=c-<0,f(1)=c+<0,
又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)>0,由零点存在性定理知f(x)在(1,-4c)上存在唯一一个零点x0',即f(x)在(1,+∞)上存在唯一一个零点,在(-∞,1)上不存在零点,此时f(x)不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;
综上,f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
例9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-.
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为,2,
因此所求三角形的面积为.
(2)当0当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
所以a=1满足条件;当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
例10.(2020·北京高考·T19)已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
【解析】(1)f(x)定义域为R,f'(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f'(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.
(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=+,
所以S(t)=(t2+12)|+|,t≠0,易知S(t)为偶函数,
当t>0时,S(t)=t3+6t+,S'(t)=×,
令S'(t)=0得t=2,-2(舍),
所以S(t)有极小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,
所以当t=±2时,S(t)有最小值32.
例11.（2019·山西太原高三）已知函数.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.
【答案】(1)见解析.(2) .
【解析】 (Ⅰ)证明：整理得
令，
当，，所以在上单调递增；
当，，所以在上单调递减，
所以，不等式得证.
(Ⅱ)，设切点为，
则，函数在点处的切线方程为
，令，解得，
所以，令，
因为，，所以，
，
当，，所以在上单调递减；
当，，所以在上单调递增，
因为，.
【思路点拨】
（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；
（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
例12.（2020四川棠湖中学高三）已知抛物线 ，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.
（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；
（2）证明：以为直径的圆恒过点M.
【答案】（1）（2）见证明
【解析】（1）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，
由消得. (1)
令，解得.代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).
设圆心的坐标为，由，得，解得.
故过三点的圆的方程为．
（2）证明：设，由已知得，，设切点分别为，，所以，，
切线 的方程为即，
切线的方程为即．
又因为切线过点，所以得. ①
又因为切线也过点，所以得. ②
所以，是方程的两实根，
由韦达定理得．
因为，，
所以
．将代入，得. 所以以为直径的圆恒过点．
【压轴训练】
1．（2020·河津中学高三）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为为奇函数，所以，
即，所以，所以，所以，则，所以切线方程为，即.
2．（2020·江苏常州市·高三期中）已知函数，，若曲线在点处的切线是曲线的所有切线中斜率最小的，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】因为，定义域为，所以，由导数的几何意义可知：当时取得最小值，因为，，所以，当且仅当即时取得最小值，又因为时取得最小值，所以，
3．（2020·河南鹤壁高三）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（ ）
A．是偶函数B．
C．随的增大而减小D．的面积随的增大而减小
【答案】D
【详解】对于选项A：定义域为，，而，所以是奇函数，所以A错误；对于选项B：
，所以B错误；对于选项C、D：设，，，则曲线在点处的切线方程为：，曲线在点处的切线方程为：，联立求得点的坐标为，则，，所以随的增大而先减小后增大，的面积随的增大而减小，所以C错误，D正确.
4．（2020·江西吉安市·高三）已知曲线：在处的切线与曲线：在处的切线平行，令，则在上（ ）
A．有唯一零点B．有两个零点C．没有零点D．不确定
【答案】A
【详解】∵，∴，又，∴，
由题设知，，即，∴，
则，∴，，
令，，则，当时，，即函数单调递减；当时，，即函数单调递增；∴在上的最小值为，∴，则，
∴在上单调递增，且.在上有唯一零点，
5．（2019·湖南高考模拟）过抛物线上两点分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，∴．设，则，抛物线在点处的切线方程为，
点处的切线方程为，由，解得，
又两切线交于点，∴，故得 （*）．
∵过两点的切线垂直，∴，故，∴，故得抛物线的方程为．由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，
由消去整理得，∴ （**），
由（*）和（**）可得且，∴直线的方程为．
6．（2020·全国高三其他模拟）（多选）已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于轴，则（ ）
A．在上单调递增 B．
C．的取值范围是
D．若，则只有一个零点
【答案】ACD
【详解】由题意可知，函数的定义域为，，
则，是方程的两个不等正根，则，解得，
当时，函数，此时，所以在上单调递增，故A正确；因为，是方程的两个不等正根，所以，故B错误；因为
，易知函数在上是减函数，则当时，，
所以的取值范围是，故C正确；
当时，，令，得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在取得极大值，且，，所以只有一个零点，故D正确.
7．（2020·辽宁高三期中）已知幂函数在区间上单调递增，曲线在点处的切线与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点，若的面积为2，则点的坐标为________.
【答案】
【详解】由题意，可得，解得或，当时，，不合题意；当时，，符合题意.故，则，设，过点处的切线方程为，整理为，在、轴上的截距分别为，，因为的面积为2，所以，解得，故点的坐标为.
8．（2020·四川成都市·华西中学高三）已知函数在区间内存在平行于轴的切线，则实数的取值范围为__________．
【答案】.
【详解】在内存在与轴平行的切线有内有解，并且此解不能使，否则此时切线会与轴重合由有解，得由得解得
9.（2019·山东高考模拟）已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______．
【答案】
【解析】设，，．由题意知，，，即，，
解得或舍，代入得：，，
，当时，，当时，．
实数b的最大值是．
10.（2020·安徽高考模拟）已知函数，直线：.
（Ⅰ）设是图象上一点，为原点，直线的斜率，若 在 上存在极值，求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.
【答案】，（Ⅲ）见解析
【解析】（Ⅰ）∵，∴，解得.
由题意得： ，解得.
（Ⅱ）假设存在实数，使得直线是曲线的切线，令切点，
∴切线的斜率.∴切线的方程为，又∵切线过（0，-1）点，∴.解得，∴， ∴.
（Ⅲ）由题意，令， 得 .
令， ∴，由，解得.
∴在（0,1）上单调递增，在上单调递减，
∴,又时，；时，，
时，只有一个交点；时，有两个交点；时，没有交点.
11. （2021·河北高考模拟）已知函数，．
当时，，求实数a的取值范围；
当时，曲线和曲线是否存在公共切线？并说明理由．
【答案】（1）；（2）存在公共切线，理由详见解析.
【解析】令，则.
若，则，若，则.
所以在上是增函数，在上是减函数.
所以是的极大值点，也是的最大值点，即.
若恒成立，则只需，解得.
所以实数的取值范围是.
假设存在这样的直线且与曲线和曲线分别相切与点.由，得.
曲线在点处的切线方程为，即.
同理可得，曲线在点处的切线方程为，即.所以则，即，构造函数 ，存在直线与曲线和曲线相切,等价于函数在上有零点
对于.当时，，在上单调递增.
当时，因为，所以在上是减函数.
又，，所以存在，使得，即.且当，时，当时，.
综上，在上是增函数，在上是减函数.所以是的极大值，也是最大值，且.
又，，所以在内和内各有一个零点.故假设成立，即曲线和曲线存在公共切线.
12.（2020·广西高考模拟（理））已知函数在区间上为增函数，.
（1）求实数的取值范围；
（2）当取最大值时，若直线：是函数的图像的切线，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）的最小值为-1.
【解析】（1）∵，∴．又函数 在区间上为增函数，∴在上恒成立，
∴在上恒成立．
令，则当时，取得最小值，且，∴，∴实数的取值范围为．
（2）由题意的，则，设切点坐标为，则切线的斜率，又，
∴，∴．
令，则，
故当时，单调递减；当时，单调递增．
∴当时，有最小值，且，∴的最小值为．
13.（2021·四川高考模拟）已知函数，.
（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；
（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）由题意，可得，
，令，得.
①当时，在上单调递减，∴.
②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.
综上，当时，，当时，.
（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
则，∴，
∴，代入
得.
∴问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
∵，当时，，∴.
∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，
设，则当时，，当时，.
∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，
故.设，
则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.
又∵函数在上单调递增，∴.
14.（2020·湖南高考模拟）设函数.
（Ⅰ）讨论的极值；
（Ⅱ）若曲线和曲线在点处有相同的切线，且当时，，求的取值范围 .
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）∵，∴．
①当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值．
②当时，由得，且当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，有极小值，且，无极大值．
③当时，由得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，有极大值，且，无极小值．
综上所述，当时，无极值；当时，，无极大值；
当时， ，无极小值．
（Ⅱ）由题意得，∵和在点处有相同的切线，
∴，即，解得，∴．
令，则，
由题意可得，解得．由得．
①当，即时，则，
∴当时，单调递减；当时，单调递增，
∴上的最小值为，∴恒成立．
②当，即时，则，
∴当时，在上单调递增，又，
∴当时，，即恒成立．
③当，即时，则有，
从而当时，不可能恒成立．
综上所述的取值范围为．
15.（2021·天津高考模拟）已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；
(3)若有两个极值点，求证：.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】 (Ⅰ)由已知,恒成立
令,则,
,令,解得:,令,解得:,
故在递增,在递减, ，由恒成立可得.即当在上单调递减时,的取值范围是.
(Ⅱ)在处取得极值，则，可得.
令，即 .
设，则.
故在上单调递增，在上单调递减，
注意到，，
则方程在内只有一个实数根，
即当时，只有一条斜率为且与函数图像相切的直线.
但事实上，若，则，，
故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，故函数在区间上恒成立，
函数在区间上单调递减，即函数不存在极值点，
即不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.
(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设，由(Ⅰ)可知,且：①,②,
由①-得:,
即 , 由①+②得:,
.
16.（2020·辽宁高考模拟）已知，函数
讨论的单调性；
若是的极值点，且曲线在两点处的切线相互平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围
【答案】当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增；.
【解析】
（Ⅰ）.
当时，在上恒成立.
在上单调递减，无单调递增区间；
当，且，即时，在上恒成立.
在上单调递减，无单调递增区间；
当，且，即时，在上，，在上，，
在上单调递减，上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增.
（Ⅱ）是的极值点，由可知设在处的切线方程为在处的切线方程为若这两条切线互相平行，则，令，则，同理，
【解法一】
设，
，
在区间上单调递减，
即的取值范围是
【解法二】
令，其中

函数在区间上单调递增，.
的取值范围是
【解法三】
，设，则
，，函数在区间上单调递增，， 的取值范围是. t
(0,2)
2
(2,+∞)
S'(t)
-
0
+
S(t)
↘
极小值
↗