专题04 应用导数研究函数的极（最）值-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

专题04  应用导数研究函数的极（最）值

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导数研究函数的极（最）值问题的主要命题角度有：已知函数求极值(点)、已知极值(点)，求参数的值或取值范围、利用导数研究函数的最值、函数极值与最值的综合问题.本专题就应用导数研究函数的极（最）值问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.

一、函数极值的两类热点问题

(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为：

①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．

(2)由函数极值求参数的值或范围．

讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．

二、函数最值的基本求法

1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：

第一步，求函数在(a，b)内的极值；

第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；

第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

三、求解函数极值与最值综合问题的策略

(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

【压轴典例】

例1.(2020·天津高考·T20)已知函数f(x)=x3+kln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.

(1)当k=6时,

①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+的单调区间和极值;

(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有>.

例2．（2021·江苏苏州市·高三）已知函数，（为常数）

（1）求函数在处的切线方程;

（2）设．

（ⅰ）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围;

（ⅱ）若为奇数，不等式在上恒成立，求实数的最小值．

例3..(2020·北京高考·T19)已知函数f(x)=12-x2.

(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;

(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.

例4. (2020·江苏高考·T17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上),经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.

(1)求桥AB的长度;

(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF.且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低？

例5．（2021·湖北武汉市·高三）已知函数f(x)=xlnx-x2+(a-1)x(a∈R).

（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；

（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)>2a-3.

例6.（2019·全国高考真题Ⅲ）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

例7．（2021·江西宜春市·高三）已知函数.

（1）求函数的单调区间，并求的最值；

（2）已知，.

①证明：有最小值；

②设的最小值为，求函数的值域.

例8.（2019·全国高考真题（理））已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

例9．（2021·盐城市伍佑中学高三）已知函数的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为､，且.

（1）证明：函数有三个零点；

（2）当时，对任意的实数a，总是函数的最小值，求整数m的最小值.

例10.（2018·全国高考真题）已知函数．

（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．

【压轴训练】

1．（2021·浙江绍兴市·高三）函数的所有极小值点从小到大排列成数列，设是的前n项和，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

2．（2021·内蒙古赤峰市·高三）若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·陕西咸阳市·高三）已知的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值=-4，那么p，q值分别为（    ）

A．8，6 B．9，6 C．4，2 D．6，9

4．（2021·浙江绍兴市·高三）已知函数，若对任意，存在使得，则a的最大值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·四川成都市·高三）已知，函数，．记函数的最小值为，函数的最小值为，当时，的最大值是（    ）

A．4 B．3

C．2 D．1

6．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三）（多选）已知函数，其中正确结论的是（    ）

A．当时，有最大值；

B．对于任意的，函数是上的增函数；

C．对于任意的，函数一定存在最小值；

D．对于任意的，都有.

7．（2021·江西高三其他模拟）已知函数．

（1）求函数的单调区间．

（2），若为极值点，其中为函数的导函数．证明：．

8．（2021·河南高三月考）设函数（）.

（1）若，在处的切线在坐标轴上的截距之和为，求的范围；

（2）讨论函数的极值情况，并求出当函数的极大值为0时实数的值.

9.（2020·甘肃兰州一中高考模拟）已知函数,其中是函数的导数, 为自然对数的底数, (,).

（Ⅰ）求的解析式及极值;

（Ⅱ）若，求的最大值.

10.（2020届江西省上饶市高三）设函数（为常数， 为自然对数的底数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在内存在三个极值点，求实数的取值范围．

11.（2020·北京高考模拟）已知函数.

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求在上的单调区间；

（Ⅲ）当时，证明：在上存在最小值.

12.（2019·山东高考模拟）设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，

①求函数在上的最大值和最小值；

②若存在，，…，，使得成立，求的最大值.

13．（2020·广西高考模拟）设函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）已知函数在上有极值，求实数的取值范围.

14.（2019·天津高考模拟）已知函数，其中.

（Ⅰ）当a=1时，求函数的单调区间：

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围.

15．（2020·北京高考模拟）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围.