专题03 圆锥曲线中的定值问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

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　　专题3 圆锥曲线中的定值问题  在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。题型1、与面积有关的定值问题经典例题：1．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知椭圆的长轴长为，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于、两个不同的点，为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.   2．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知椭圆的离心率为，过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．   3.（2021年北京高考模拟）已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：四边形ABNM的面积为定值．     4．（2021·广东潮州市·高三二模）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若点，是椭圆上的两个动点，，分别为直线，的斜率且，求证：的面积为定值.     题型2、与角度有关的定值问题经典例题：1．（2018·全国高考真题（文））设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．     2．（2021·全国高三专题练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．（1）求的离心率；（2）若在第一象限，证明：．     3．（2021·河北秦皇岛市·高三二模）已知点为抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且面积为2.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l经过交抛物线C于M，N两点(异于点P)，求证：的大小为定值.     4．（2021·湖南常德市·高三一模）已知在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线的另一个交点为，以为直径的圆交直线于两点，设劣弧所对的圆心角为，求证：为定值.         题型3、与比值有关的定值问题经典例题：1．（2021·北京高三二模）已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且轴，.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点N.证明：为定值.     2．（2021·江西高三二模（理））如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围.   3．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））线段的长等于3，两端点，分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知为曲线外一动点，过点作直线和，直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，已知的斜率为，的斜率为，且，均为定值，求证：为定值.       4．（2021·新疆高三三模（理））已知点，分别为椭圆的左、右顶点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，试问是否为常数，若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．          题型4、与参数有关的定值问题经典例题：1．（2021·江西上饶市·高三二模（理））如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.    2．（2021·全国高三月考（理））已知是椭圆：的右焦点，直线交椭圆于，两点，交轴于点，，，．（1）求椭圆的离心率；（2）是椭圆上的点，是坐标原点，，求的值．        3．（2018·北京高考真题（理））已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．         4．（2021·辽宁高考模拟）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，．点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点．(1)求直线与直线交点M的轨迹方程;(2)设动圆与相交于四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值．    题型5、与斜率有关的定值问题经典例题：1．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（文））已知椭圆：的离心率为，过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，，为椭圆上异于，的两点，满足，记，的斜率分别为，，求证：为定值．        2．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（文））线段的长等于，两端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率为的动直线，交曲线于、两点，若为曲线的左顶点，直线、的斜率分别为、，求证：为定值，并求出该定值．        3．（2021·贵州贵阳市·高三二模（文））已知定点，曲线L上的任一点M都有.（1）求曲线L的方程；（2）点，动直线恒过点，与曲线L交于，设直线的斜率分别为.证明：成等差数列.        4．（2021·陕西西安市·高三一模（理））已知点到的距离与它到直线的距离之比为．（1）求点的轨迹的方程；（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于两点，求证：直线的斜率之和为定值．           课后训练：1．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））抛物线的方程为（）， 是上的一点．（1）求的值，并求点处的切线方程；（2）不过点且斜率为的直线交抛物线于、两点．证明：直线、 的倾斜角互补．         2．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（文））已知双曲线：(，)的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左､右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值.        3．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值；（3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：．            4．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．       5．（2021·江苏高三月考）在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物于，两点．（1）设，的斜率分别为，，求的值；（2）过点，分别作直线的垂线，垂足为、，试探究和的关系，并说明理由．        6．（2021·四川成都市·成都七中高二月考（理））双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.（1）求双曲线的离心率；（2）若在第一象限，证明：.           7．（2020·北京高考真题）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．         8．（2021·安徽马鞍山市·高三二模（文））已知F(-2，0)为椭圆C: 的左焦点，斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，当直线l经过点F时，椭圆C的上顶点也在直线上.（1）求C的方程；（2）若O为坐标原点，D为点A关于x轴的对称点，且直线与直线BD分别交x轴于点M，N.证明:为定值.           9．（2021·广东高三其他模拟）已知椭圆：的右顶点为，直线：过椭圆的右焦点，点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左顶点为，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴的右交点为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点．求的值．        10．（2021·重庆市黔江新华中学校高三月考）已知椭圆焦点在轴上过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2），为椭圆的左､右顶点，直线：与轴交于点，点是椭圆：上异于，的动点，直线，分别交直线于，两点.证明：恒为定值.           11．（2020·山东高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．        12．（河南省2020-2021学年高三（3月）调研考理数试卷）椭圆：的左右焦点分别为、，且椭圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点作两条相互垂直的直线、，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，求证：四边形的内切圆半径为定值．           13．（江苏省苏州市2021届高三下学期期中）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交抛物线于点P（异于原点O），抛物线C上点P处的切线交y轴于点M，设线段的中点为N，连结线段交C于点T．（1）求的值；（2）过点P作圆的切线交C于另一点Q，设直线的斜率为，证明：为定值．   14．（2021年北京高考数学全真模拟卷）已知椭圆，离心率．直线与轴交于点，与椭圆相交于两点．自点分别向直线作垂线，垂足分别为．（1）求椭圆的方程及焦点坐标；（2）记，，的面积分别为，，，试证明为定值．        15．（2021·全国高三专题练习）在直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．（1）求曲线的方程；（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点、和、．证明：当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．         16．（2020·四川高考模拟）已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，且点的横坐标为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）设点为抛物线上异于，的点，直线与分别交抛物线的准线于，两点，轴与准线的交点为，求证：为定值，并求出定值.  17．（2021·湖北武汉市·高三二模）设抛物线的焦点为F，过F作直线l交抛物线E于A，B两点.当l与x轴垂直时，面积为8，其中O为坐标原点.（1）求抛物线E的标准方程；（2）若l的斜率存在且为点，直线与E的另一交点为C，直线与E的另一交点为D，设直线的斜率为，证明：为定值.        18．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线：的焦点是F，若过焦点的直线与相交于P，Q两点，所得弦长的最小值为4.（1）求抛物线的方程；（2）设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若，，M为垂足，证明：存在定点N，使得为定值.           19．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（理））已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左､右顶点分别为，，斜率为正的直线过点，交双曲线于点，(点在第一象限)，直线交轴于点，直线交轴于点，记面积为，面积为，求证：为定值.      20．椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为l．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．