第15讲 数列通项及求和-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

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第15讲 数列通项及求和一．填空题（共1小题） 1．（2020秋•南山区校级期末）数列满足，，则数列的通项公式为　　．【解析】解：，当时，，两式作差得，即，，即，即，则，，，则，当时，，不满足，故，故答案为：二．解答题（共39小题）2．（2020秋•新余期末）已知递增等比数列，，，另一数列其前项和．（1）求、通项公式；（2）设其前项和为，求．【解析】解：（1）设公比为的递增等比数列，，根据等比数列的性质，由于，所以，解得，，进一步求出，所以，由于数列其前项和．当时，．当时，（符合通项公式），故，（2）由（1）得：，所以①，所以②，①②得，整理得：，所以．3．（2020秋•宁县校级期末）在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和．【解析】解：（1）设公差为的等差数列中，首项为，由于：，，所以：，解得：．所以：，利用，解得：．所以：，（2）由于：，所以：所以：，故：，，．4．（2020秋•松山区校级期末）已知数列满足，．等比数列的公比为3，且．（1）求数列和的通项公式；（2）记数列，求数列的前项和．【解析】解：（1）数列满足，，是以为首项，以为公差的等差数列，，，等比数列的公比为3，且，，，，（2），．5．（2020春•九龙坡区校级月考）在等比数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求．【解析】解：（1）根据题意，因为是等比数列，设公比为，首项为则有，，解得，时，，时，所以或（2）令，是首项为，公比为的等比数列，则6．（2020春•十堰期末）已知数列为等比数列，，且，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）根据题意，设等比数列的公比为，若，且，，则，，则其公比，则，故（2）根据题意，由（1）的结论，则，则．7．（2020•厦门模拟）已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，其前项和为，证明：．【解析】解：（1）解：设等差数列的公差为，依题意得，解得：，；（2）证明：由（1）得：，，．8．（2020•河南模拟）已知各项都为正数的等比数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求．【解析】解：（1）设各项都为正数的等比数列的公比为，则．，，，解得：，，所以，；（2）由（1）知，，当时，；当时，，所以．9．（2020春•闵行区校级期中）已知为的前项和，是等比数列且各项均为正数，且，，．（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【解析】解：（1），当时，有，又当时，有也适合，．设等比数列的公比为，由题意得：，解得，故；（2）由（1）得，①，又②，由①②得：．10．（2020春•三台县期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，得，解之得：，，即；（Ⅱ），，，．11．（2020•新疆模拟）已知数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ），令，解得，，又，两式相减，得，是以为首项，为公比的等比数列，；（Ⅱ），，．12．（2020•兰州模拟）在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，为数列的前项和，若，求的值．【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差是，由，得：解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，由解得．13．（2020春•雁塔区校级月考）已知正项等比数列满足，，数列满足，．（1）求、的通项公式；（2）记，求数列的前项和为．【解析】解：（1）设正项等比数列的公比为，由，得：，解得， ，，；（2）由（1）可知，①，②，①②得：，．14．（2019秋•费县期末）已知首项为1的等比数列的前3项和为3．（1）求的通项公式；（2）著，，求数列的前项和．【解析】解：（1）设公比为，则，解得或，所以或．（2）依题意可得，所以，所以．15．（2020秋•鼎城区校级期中）已知数列中，，，设．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）证明：当时，，，所以是以为1首项，为1公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，所以．16．（2020•大武口区校级一模）公差不为0的等差数列，为，的等比中项，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）差不为0的等差数列，为，的等比中项，且．则：，解得，整理得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，整理得．17．（2020春•宣城期末）已知数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）当时，求数列的前项和．【解析】解：（1）数列的前项和为，且，①．所以：②，①②得：，，又，故．（2）由于，所以：，由于：，所以：，．18．（2020•重庆模拟）设数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】解：（1）数列的前项和为，①．当时，解得：，当时，．②①②得：，所以：（常数），故：数列是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：．所以：，则：，故：．19．（2020秋•会昌县月考）设数列的前项和为，已知，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）数列的前项和为，已知，，当时，由，可得，，，．（2）设，．可得：，．20．（2020秋•大武口区校级期中）已知数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【解析】解：（1）数列的前项和为，且，，时，，解得．时，，解得，对于上式也成立．．（2）数列满足．数列的前项和，，，．21．（2020秋•秦都区校级月考）已知数列满足，求数列的通项公式和前项和．【解析】解：由，得，，两式作差得：，．又，不适合上式，；．22．（2019•广州一模）已知是等差数列，且，．（1）求数列的通项公式（2）若，，是等比数列的前3项，求的值及数列的前项和．【解析】解：（1）数列是等差数列，设公差为，且，．则：，解得：所以：．（2）若，，是等比数列的前3项，则：，整理得：，解得：；所以：等比数列的公比为．．则，故：，，．23．（2019春•滁州期中）已知等差数列满足：，．（1）求数列其通项公式；（2）设数列，求数列的前项和．【解析】解：（1）由题设首项为，公差为，得，解得．所以通项公式．（2）由题（1）得，（1）（2）由（1）（2）得，得．24．（2019春•临川区校级月考）递增的等差数列的前项和为．若与是方程的两个实数根．（1）求数列的通项公式；（2）当为多少时，取最小值，并求其最小值；（3）求．【解析】（1）因为与是方程的两根，所以，又，解得，或，，又因为该等差数列递增，所以，，则公差，，所以；（2）由，即，解得，又，所以当或12时，取最小值，最小值为；（3）由（2）知，当时，当时，①当时，；②当时，25．（2019秋•宛城区校级月考）已知递增等比数列，，，（1）求的通项公式（2）设，且前项和为，求【解析】解：（1）设数列的公比为，由于等比数列单调递增，，，所以，解得，，所以．故．（2）由于，所以，则①，②，①②得．故26．（2020春•山东月考）已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）当时，当时由，，两式相减得，即，且上式对于时也成立，所以数列的通项公式．（Ⅱ）因为，．所以，，，．27．（2020•湖南一模）已知等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立．（1）求和数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立，当时，，，解得：，当时，，两式相减得：，即：（常数），故：数列是以，公比为2的等比数列．所以：．（2）由于：，所以：，则：，，．28．（2020•梅河口市校级模拟）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．【解析】解：（1）数列的前项和为，时，，时，．时上式也成立．．又．，解得．（2）数列满足．数列的前项和．，，解得．29．（2020•定远县模拟）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．【解析】解：（1）数列满足，①当时，有，变形可得，当时，有，②，①②可得：，变形可得：，则数列是以为首项，公比为2的等比数列，故，（2）根据题意，，当时，，数列为等差数列，且首项，公差；则，则当时，取得最小值，且其最小值为．30．（2019•新疆模拟）已知为数列的前项和，满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】解：（1）由于为数列的前项和，满足，①当时，，②由①②得：，即，由于，．所以．当时，解得，所以数列是以2为首项，1位公差的等差数列．所以．（2）由于，所以．设，故①，所以②，①②得：，整理得，所以．31．（2018秋•会宁县期末）记为数列的前项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求满足等式的正整数的值．【解析】解：（1）为数列的前项和，且满足①．当时，解得：．当时，②．②①得：，故：，则：（常数），所以：（首项符合通项），故：．（2）由于，所以：，则：， 所以：，整理得：，解得：．32．（2019•汕尾模拟）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）数列的前项和为，且①．当时，解得．当时，②，①②得：，故：数列是以．所以：．由于首项符合通项，故：．（2）由于，所以：，故①，②，①②得：，整理得：．33．（2020春•浙江期中）已知数列满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式．【解析】解：（Ⅰ）数列满足：．；；；①②得：；所以，，因为满足上式，所以．（Ⅱ），；累加得；因为满足上式，所以．34．（2020秋•连云港月考）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，则在数列中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由题意，得，当时，，两式相减，得，即．当时，，也满足上式，所以数列的通项公式．（2），法一：，，显然不适合；，适合，即，，构成公差为的等差数列；，适合，即，，构成公差为的等差数列；当时，假设，，成等差数列，则，即，而当时，，所以不是数列中的项，所以当时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．综上，，和，适合条件．法二：，显然不适合；当时，设，，成等差数列，则，即，解得．当时，，则，，构成公差为的等差数列；当时，，则，，构成公差为的等差数列；当时，，则，所以不是数列中的项，所以当时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．综上，，和，适合条件．35．（2020秋•湖北月考）设数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）不等式，，求的最小值．【解析】解：（1）由，当得，即当，，于是，即，即，所以，．（2）所以，由得，，．故，即，故整数的最小值为7．36．（2020秋•全国月考）已知数列的前项和，在等差数列中，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列中项的最大值．【解析】解：（Ⅰ）因为，所以．当时，，两式相减，得，即，所以是等比数列，公比，当时，，即，所以．（Ⅱ）设的公差为，则解之得，所以．所以．设，则．因为当时，，当时，，当时，，所以当或13时最大，即最大，最大值为．37．（2020秋•上月考）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，是否存在正项数列，，满足，且当时，有 ______？请在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，若数列存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）若选①；则，，，，所以．（2）若选②；则①，当时，②，①②得：，当时，，所以．（3）若选③，所以，，，所以所有的式子相乘得：．由于时，（符合通项），所以故答案为：（1）选①时，（2）选②时，，（3）选③时，；38．（2020秋•全国月考）已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列．（1）证明是等比数列；（2）求使得成立的最小正整数的值．【解析】证明：（1）数列满足，且，当时，解得，由于数列是公差为的等差数列．所以，故．所以（常数），所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）可知，所以．数列单调递增，由于，，所以的最小值为12．39．（2020秋•洛阳期中）已知等比数列的前项和．（1）求的值，并求出数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【解析】解：（1），当时，，当时，，数列是等比数列，，，；（2），，．40．（2019秋•浦东新区校级期中）设数列的前项和为，其满足：．（1）试求的值；（2）证明：数列为等比数列；（3）求数列的通项公式及前项和公式．【解析】解：（1）当时，，解得．（2）由于．①，则②，②①得：，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得：，所以．故．