第14讲 等差数列、等比数列综合运用-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

第14讲 等差数列、等比数列综合运用

一．选择题（共14小题）

1．（2020秋•浙江期末）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：等差数列的通项公式是关于的一次函数，，

故等差数列的图象是一条直线上孤立的点，

等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，

故等比数列的图象是指数函数上孤立的点，

如图所示，当时，如下图所示，

当时，如下图所示，

由图可知，当，时，所以，，，．

故选：．

2．（2020秋•金凤区校级期末）已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则　　

A． B．0 C．9 D．无法确定

【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，

由是与的等比中项，得，

即，

可得，即，

，

．

故选：．

3．（2020秋•郑州期末）已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于　　

A．24 B．16 C．8 D．4

【解析】解：等比数列中，

，

，

，，

等差数列中，

．

故选：．

4．（2020秋•郑州期末）在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于　　

A．4 B．8 C．16 D．24

【解析】解：因为在等比数列中，有，

所以，解得或（舍，

所以，

因为数列是等差数列，

所以．

故选：．

5．（2020秋•天河区期末）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于　　

A．1 B．2 C．4 D．8

【解析】解：各项不为0的等差数列满足，

由，

可得，

即有舍去），

数列是公比为的等比数列，且，

则．

故选：．

6．（2020秋•南岗区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，，若，，成等比数列，则　　

A．11 B．13 C．15 D．17

【解析】解：设等差数列的公差为，

由题意可得，解得，

所以，

若，，成等比数列，

所以，则，

解得．

故选：．

7．（2020•达州模拟）在公差不为零的等差数列中，，是，的等比中项，则　　

A．12 B．13 C．14 D．15

【解析】解：设数列的公差为，，由已知是，的等比中项，得：，

可得，可得，

所以．

故选：．

8．（2020•西宁模拟）已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是　　

A． B． C． D．

【解析】解：设等比数列的公比为，且，

，，成等差数列，

，则，

化简得，，解得，

则，

，

故选：．

9．（2020•全国模拟）公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则　　

A．36 B．42 C．48 D．60

【解析】解：公差不为零的等差数列的前项和为，是与的等比中项，，

，

解得，，

．

故选：．

10．（2020•黑龙江二模）等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的公比等于　　

A．1 B．2 C． D．

【解析】解：，，成等差数列，

可得，

即为，

即有，

化为，

解得舍去），

故选：．

11．（2020春•郫都区期末）已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则等于　　

A．2 B．4 C．8 D．16

【解析】解：等比数列中，，

可得，解得，且，

，

数列是等差数列，则．

故选：．

12．（2020•梅州二模）已知在各项均不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于　　

A．2 B．4 C．8 D．16

【解析】解：由等差数列的性质：得：

，

或，

，

，

故选：．

13．（2020春•遂宁期末）已知数列1，，，4成等差数列，1，，，，4成等比数列，则的值是　　

A． B． C．或 D．

【解析】解：，，，4成等差数列，

，即，

，

又1，，，，4成等比数列，

，解得，

又，，

则．

故选：．

14．（2020•广东学业考试）公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】解：设数列的公差为则

①

、、成等比数列

②

①②联立求得

故选：．

二．填空题（共4小题）

15．（2020春•贵阳期末）在等比数列中，若，且是，的等差中项，则数列的前5项和　62　

【解析】解：等比数列的公比设为，

若，且是，的等差中项，

可得，即，

解得舍去），

则数列的前5项和．

故答案为：62．

16．（2019秋•西城区校级月考）设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则　10　

【解析】解：设等差数列的首项为，公差为．

依题意有，即，

由，解得，

所以．

故答案为：10．

17．（2019秋•云南月考）在公差为3的等差数列中，，，成等比数列，则数列的前项和　　

【解析】解：由题意得，即，解得，

所以，所以．

故答案为：．

18．（2019•南通模拟）已知等差数列满足，且，，成等比数列，则的所有值为　3或4　．

【解析】解：因为，，成等比数列，

所以，，

即，

化简，得：，

所以，或，

解得：或，

所以，或，

所以，的所有值为3，4．

故答案为：3或4．

三．解答题（共20小题）

19．（2020春•太原期末）已知等差数列中，，．等比数列满足，．

（1）求数列通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由，，

可得，，解得，，

则，；

（2）设等比数列的公比为，由，，解得，

数列的前项和．

20．（2019秋•临渭区期末）已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求；

（2）若，，成等比数列，求正整数的值．

【解析】解：（1）设公差为，则，，

解得，，，

所以：．

（2）因为．

又，，成等比数列，所以，化简得：

解得：或，

又，．

21．（2020秋•峨山县校级期中）设是等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式

（2）求数列的前项和

【解析】解：（1）因为，且，，成等比数列，

所以，解得．

所以．

（2）因为，，所以．

22．（2020春•兴庆区校级期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）由，，

则

设等差数列的公差为，则，所以．

所以

设等比数列的公比为，由题，即，所以．

所以；

（2），

所以的前项和为

．

23．（2020春•汕头期末）已知是等比数列的前项和，、、成等差数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）设等比数列的公比为，

、、成等差数列，，

即，又，

，解得，

；

（2）由（1）得，，

设，①

，②

①②得，

，

．

24．（2020春•东湖区校级月考）已知等比数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，分别是等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及其前项和．

【解析】解：（1），，

，其中为公比，

，

数列是以3为首项、2为公比的等比数列，

；

（2）由（1）可知，，

，即公差，

首项，

数列是以为首项、18为公差等差数列，

，

数列的前项和为．

25．（2019春•攀枝花期末）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）由题意：

化简得，因为数列的公差不为零，，，

故数列的通项公式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

故数列的前项和．

26．（2019秋•鄂州期中）已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）若是的前项和，求数列的前项和．

【解析】解：（1）由条件知，

又，则有，

又，故，

故．

（2）由（1）可得，

即．

27．（2019•海淀区一模）已知等差数列的公差，且，的前项和为．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求的值．

【解析】（共13分）

解：因为，

所以，

所以

所以

又，

因为，，是等比数列，

所以

所以，

因为，所以

28．（2020秋•鼓楼区校级期中）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．

（1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【解析】证明：（1）数列满足，，

整理得：（常数），

所以数列是1为首项为公比的等比数列．

所以：，

整理得．

设首项为，公差为的等差数列的前项和为，，，

所以，解得，．

故．

（2）由（1）得：，

所以①，

②，

①②得：，

，

整理得．

29．（2018秋•济南期末）已知数列的首项．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

（3）是否存在互不相等的正整数，，使，，成等差数列，且使，，成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）证明：，

，即，

又由可得，

，

数列是首项为，公比为的等比数列；

（2）解：由（1）可得：，

，，

，

又，

两式相减得：，

整理得：；

（3）解：假设存在，由题设可得：，且，

由（2）可得：，，

，整理得：，

又，当且仅当时等号成立，再根据，，互不相等，，矛盾，

假设不成立，

即不存在．

30．（2019秋•天河区校级期中）已知数列满足，，．

（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为．

【解析】（1）证明：，，，即，

又由可得：，

数列是首项为1，公差为2的等差数列，且，

；

（2）解：由（1）可得：，

．

31．（2020•内江模拟）已知数列满足，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）求数列的前项和．

【解析】（1）证明：，．可得，可得，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列；

（2）解：数列是以1为首项，2为公比的等比数列；

，

，

数列的前项和：．

32．（2017春•友谊县校级期中）已知数列满足，，，．

（1）证明数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式．

【解析】（1）证明：，且有，所以有，

则，即，且，

所以是首项为1，公差为的等差数列．

（2）由（1）知，即，

所以．

33．（2020•榆林一模）已知数列，满足，，．

（1）证明：数列，为等比数列；

（2）记为数列的前项和，证明：．

【解析】解：（1）数列，满足，，．

所以整理得两式相加，即（常数），数列为等比数列；

同理两式相减，即（常数）故数列为等比数列．

证明：（2）由（1）得：，，整理得，

所以

34．（2017秋•城关区校级期中）已知数列满足，．

证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和；

（Ⅲ）证明：．

【解析】（Ⅰ）证明：，，

，

又，

数列是首项为2，公比为2的等比数列，

，

．

（Ⅱ）解：，

，①

，②

①②，得：

．

（Ⅲ）证明：，，2，3，，

，

，，2，3，，

，

．

35．（2014•荆门模拟）已知数列满足：且．

（1）若数列满足：，试证明数列是等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）数列是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．

【解析】解：（1）．

数列是等比数列，首项为，公比为．

（2）由，得．

由（1）得，

，

．

（3）由，得，

，

又由（2）知，，

数列单调递增，与均为递减数列，

数列为单调递减数列，

当时，最大，即数列中存在最大项且为该数列中的首项，其值为．

36．（2019春•安徽期中）已知数列满足：．

（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）若数列满足：，若对一切，都有成立，求实数的最小值．

【解析】解：（1）因为，

，所以，

所以是首项为3，公差为 3的等差数列，

所以，．

（2）由数列满足：，可得，

设，

由得，

即的最小值为．

37．（2020秋•重庆期末）已知数列满足：，且对任意的，都有1，，成等差数列．

（1）证明数列等比数列；

（2）已知数列前和为，条件①：，条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前项和．

【解析】解：（1）证明：由条件可知，即，

，且，

是以为首项，为公比的等比数列，

，则；

（2）选择条件①：，

，

，

两式相减可得，

，

，

化简得；

选择条件②：，

，

，

两式相减可得，

，

化简得．

38．（2020秋•10月份月考）已知数列的首项为0，．

（1）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）已知数列的前项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．

【解析】证明：（1）数列的首项为0，，

所以，

整理得：（常数），

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以．

解：（2）数列的前项和为，且数列满足，

所以①，

②，

①②得：，

由于不等式对一切恒成立，

所以，

当为偶数时，，解得．

当为奇数时，，解得．

综上所述：，即．