第5讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

第5讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性

一．选择题（共28小题）

1．（2020秋•泸县校级月考）已知定义在，上的单调减函数，若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，是定义在，上的单调减函数，

若，则有，解可得，

即的取值范围为，，

故选：．

2．（2020•嘉定区二模）下列函数中，既是上的增函数，又是偶函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数在上是减函数，且是奇函数，即不符合题意；

函数是非奇非偶函数，即不符合题意；

函数在上是减函数，即不符合题意；

对于函数，当时，有，单调递增；而，所以是偶函数，即正确．

故选：．

3．（2012秋•四川期中）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：对于，是指数函数，非奇非偶，不满足题意；

对于，，函数为奇函数，不满足题意；

对于，，函数为偶函数，但在区间上单调递减，不满足题意；

对于，，函数为偶函数，在区间上单调递增，满足题意．

故选：．

4．（2020春•天津期末）下列函数中，在上为增函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；

对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；

故选：．

5．（2019秋•上高县校级月考）已知一个奇函数的定义域为，2，，，则　　

A． B．1 C．0 D．2

【解析】解：因为一个奇函数的定义域为，2，，，

根据奇函数的定义域关于原点对称，所以与有一个等于1，一个等于，所以．

故选：．

6．（2019•广东学业考试）设是奇函数，且当时，，则当时，等于　　

A． B． C． D．

【解析】解：当时，，代入函数在上的解析式，得，

是奇函数，，

故选：．

7．（2019•西湖区校级模拟）已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　

A． B． C． D．

【解析】解：任取则，

时，，

，①

又函数在上为奇函数

②

由①②得时，

故选：．

8．（2016春•莱芜校级期中）下列函数既是奇函数，又是增函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：是偶函数，

既是奇函数又是增函数，

非奇非偶函数，

是奇函数，但是在，上是减函数，

故选：．

9．（2015春•宜昌校级月考）已知是奇函数，那么实数的值等于　　

A．1 B． C．0 D．

【解析】解：函数是上的奇函数，，，解得．

故选：．

10．（2020•东湖区校级一模）已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　

A． B． C． D．

【解析】解：对于函数知，

依题意得：，．

又，，

．

故选：．

11．（2014•东昌区校级二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由，知函数为奇函数，又当时，在上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，

所以当时，在上也为增函数，所以函数在定义域内既是奇函数，又是增函数，故正确．

，而，所以函数在定义域内不是增函数，故不正确．

不关于原点对称，在给定的定义域内不是奇函数，故不正确．

的定义域为，不关于原点对称，所以函数在定义域内不是奇函数，故不正确．

故选：．

12．（2014•郴州三模）设函数，且函数为偶函数，则　　

A．6 B． C．2 D．

【解析】解：为偶函数，

令，

则（2），

故选：．

13．（2012•江西校级模拟）已知函数是偶函数，且其定义域为，，则　　

A． B． C．1 D．7

【解析】解：函数是偶函数，且其定义域为，，定义域关于原点对称，

，，，再由偶函数的定义得，

，故，

故选：．

14．（2020秋•佛山期末）已知，均为实数，且函数，若，则　　

A．1 B．2 C．4 D．8

【解析】解：根据题意，函数，则，

则有，

若，则，必有，

故选：．

15．（2020秋•东城区期末）已知为奇函数，且当时，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，当时，，

则，

又由为奇函数，则，

故选：．

16．（2020秋•宁县期末）已知函数是上的奇函数，则实数　　

A． B． C． D．1

【解析】解：根据题意，函数是上的奇函数，则有，

即，

变形可得：，

则有，即；

故选：．

17．（2020秋•泸州期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在，上为减函数，若（2），则不等式的解集为　　

A． B．，， 

C． D．，，

【解析】解：函数是定义在上的偶函数，且在，上是减函数，

函数在上是增函数，

（2），，

不等式等价于或

或

故不等式的解集为，，，

故选：．

18．（2020秋•朝阳区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：．是奇函数，当时，函数为增函数，满足条件

．函数的定义域为，，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．

．当时，函数为减函数，不满足条件．

．函数的定义域为，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．

故选：．

19．（2020秋•渭滨区期末）已知函数为偶函数，且在区间，上单调递增，若，则不等式的解集为　　

A．， B．， C．，， D．，

【解析】解：，

不等式等价为，

函数为偶函数，且在区间，上单调递增，

在，为减函数，

则不等式等价为（3），

即，

得，得，

即不等式的解集为，，

故选：．

20．（2020秋•厦门期末）若定义在的奇函数在，单调递减，则不等式的解集为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：因为定义在的奇函数在，单调递减，

所以在上单调递减，

所以在上单调递减，

所以不等式即为，

所以，解得，

即不等式的解集为，．

故选：．

21．（2020秋•滨海新区期末）已知函数是定义在区间，上的偶函数，且在区间，上单调递增，则不等式（a）的解集为　　

A．， B． C．，， D．，，

【解析】解：因为函数是定义在区间，上的偶函数，

所以，解得，

则函数的定义域为，，且在区间，上单调递增，

则不等式（a）等价于（1），

所以，解得，

即不等式的解集为．

故选：．

22．（2020秋•西宁期末）设函数，则使得成立的的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：是偶函数，且在，上是增函数，

由得，，

，

，解得，

的取值范围是，．

故选：．

23．（2020秋•西青区期末）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，为非奇非偶函数，不符合题意；

在定义域上不单调，不符合题意，

根据幂函数性质得，为奇函数，且在定义域上单调递增，符合题意．

故选：．

24．（2020秋•广东月考）若函数是周期为2的函数，且，时，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：因为函数是周期为2的函数，且，时，，

所以．

故选：．

25．（2020秋•滨海新区校级月考）已知定义在上的函数满足，且当，时，，则　　

A． B．0 C． D．1

【解析】解：根据题意，定义在上的函数满足，则是周期为3的周期函数，

则（2），

又由当，时，，则（2），

故，

故选：．

26．（2020•辽阳二模）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为　　

A．猴 B．马 C．羊 D．鸡

【解析】解：六十甲子，周而复始，无穷无尽，

即周期是60，2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，

则2086年出生的孩子属相为马．

故选：．

27．（2019秋•龙岗区期末）已知函数是上的偶函数．若对于都有，且当，时，，则的值为　　

A． B． C．1 D．2

【解析】解：因为为上的偶函数，

所以，

又因为对于，都有，

所以函数的周期，

（1）

．

故选：．

28．（2019秋•石河子校级月考）已知奇函数对任意实数满足，当，，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，函数对任意实数满足，则函数是周期为4的周期函数，

，

又由，则，

则；

故选：．

二．多选题（共1小题）

29．（2020秋•海南期末）下列函数中，在区间上单调递减的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是指数函数，在区间上单调递减，符合题意，

对于，，为二次函数，在区间上单调递增，不符合题意，

对于，，为型函数，在区间上单调递减，符合题意，

对于，，在区间上，，为增函数，不符合题意，

故选：．

三．填空题（共21小题）

30．（2010•上海）已知函数是奇函数，则实数　0　．

【解析】解：由奇函数定义有，

则（1），

解得．

31．（2020秋•宁县校级期末）设是上的奇函数，且当，时，，则　　．

【解析】解：根据题意，当，时，，则（2），

又由为奇函数，则（2），

故答案为：

32．（2020秋•和平区校级期末）已知函数为定义在区间，上的奇函数，则　1　，　　．

【解析】解：因为函数为定义在区间，上的奇函数，

所以，解得，

因为为奇函数，

所以（1），即，

解得．

故答案为：1；1．

33．（2020秋•嘉定区期末）函数为奇函数，则　　．

【解析】解：根据题意，为奇函数，则，

则有，

则有，解可得，

故答案为：．

34．（2020秋•农安县期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（2）　4　．

【解析】解：因为是定义在上的奇函数，当时，，

所以，

则（2）．

故答案为：4．

35．（2020秋•宝安区期末）若是定义在上的奇函数，当时，为常数），则当时，　　．

【解析】解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，

又由当时，，则，即，

故当时，，

当时，，则，

又由为奇函数，则，

故答案为：．

36．（2020秋•阿勒泰地区期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数　　．

【解析】解：设则

当时，

由函数为奇函数可得

即，

适合，

故答案为：

37．（2020秋•黄埔区校级期末）已知函数为上的奇函数，则的值为　2　．

【解析】解：函数为上的奇函数，

，

即，解得，

故答案为：2．

38．（2019秋•房山区期末）函数是偶函数，则（2）　3　．

【解析】解：为偶函数

对于任意的都成立

即

，

（2）．

故答案为：3．

39．（2020秋•新乡月考）已知函数是定义域在上的奇函数，当，时，，则（1）　　．

【解析】解：因为为奇函数，所以，则，

则，

又由为奇函数，则．

故答案为：．

40．（2020秋•泸县校级月考）已知函数是奇函数，则　1　．

【解析】解：根据题意，函数，则，

若为奇函数，则有，

解可得：，

当时，，为奇函数，符合题意，

则，

故答案为：1．

41．（2020秋•荆州区校级期中）已知且，则（5）的值为　　．

【解析】解：根据题意，，则，

则有，故有（5），

若，则（5），

故答案为：．

42．（2020秋•工农区校级期中）已知函数，若，则　　．

【解析】解：根据题意，函数，则，

则，故，

若，则，

故答案为：．

43．（2018秋•乐山期末）已知函数，则（2）　0　．

【解析】解：根据题意，函数，则，

则，

则（2），

故答案为：0．

44．（2020秋•南阳期中）函数为奇函数．则　　．

【解析】解：因为为奇函数，

所以（1），

则，

所以．

故答案为：

45．（2020秋•镇江期中）若是奇函数，则实数　1　．

【解析】解：根据题意，若是奇函数，则，即，

变形可得恒成立，

必有，

故答案为：1．

46．（2020秋•邢台期中）已知函数，若（2），则　　．

【解析】解：根据，有，

则，所以（2），

因为（2），所以，

故答案为：．

47．（2020秋•江油市校级期中）已知函数为奇函数，设，若的最大值为，最小值为，且，求实数的值为　　．

【解析】解：根据题意，，则，

又由的最大值为，最小值为，则的最大值为，最小值为，

而为奇函数，则，即，

又由，则，

故答案为：．

48．（2021•全国模拟）写出一个最小正周期为2的奇函数　　．

【解析】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是，

又最小正周期为2，故函数可为．

故答案为：．

49．（2020秋•海南期末）已知函数的周期为4，且当，时，，则（9）　1　．

【解析】解：因为函数的周期为4，

所以（9）（1），

又因为当，时，，

所以（9）（1）．

故答案为：1．

50．（2020•南充模拟）若偶函数对任意，都有，且，时，，则　　．

【解析】解：根据题意，满足，则，即函数是周期为6的周期函数，

则，

又由为偶函数，则，

又由，

则；

故答案为：