专题1.1有理数的有关概念精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车【苏科版】

2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车（苏科版）

专题1.1有理数的有关概念精讲精练

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【知识梳理】

一、正数和负数

1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．

2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．

3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．

二、有理数与无理数

1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．

2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．

3、（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．

（2）、无理数与有理数的区别：

　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

　　比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．

　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．

三、数轴

（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

         数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．

四、相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

五、绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

 ①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

（3）绝对值的非负性

任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．

六、科学记数法

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

【典例剖析】

【考点1】生活与数学

【例1】（2021秋•江苏省淮阴区期中）一只刚长满羽毛的鸭子大约重（　　）

A．50克 B．2千克 C．20千克 D．5千克

【分析】根据“长满羽毛”的鸭子基本上是成鸭但还不是成鸭解答．

【解析】成年鸭子大约重5千克，刚长满羽毛的还不到成年大约重2千克．

故选：B．

【变式1.1】（2020春•常州期末）数学课本一张纸的厚度大约是（　　）

A．0.1mm B．1cm C．1dm D．1m

【分析】七年级下册数学课本一共80多张纸，经测量课本的厚度约为10mm，从而可作判断．

【解析】∵0.1mm＜1cm＜1dm＜1m，且经测算数学课本的厚度约为10mm，

∴数学课本一张纸的厚度大约是0.1mm．

故选：A．

【变式1.2】（2021秋•江苏省淮阴区期中）在我们日常生活中，报警电话数字是　　．

【分析】根据掌握的安全常识进行解答即可．

【解析】在我们日常生活中，报警电话数字是110；

故答案为：110．

【变式1.3】（2021秋•江苏省淮安区期中）已知某人的身份证号是：320821197206080375，那么他出生的月份是　　月．

【分析】身份证前六位为所在地的编号，接下来四位是出生年份，后边两位为出生的月份，即第十一，十二位．

【解析】第十一，十二位为06，故其出生月份为6月．

【考点2】正数和负数

【例2】（2021秋•江苏省海州区校级期中）某种速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，四个冷藏室的温度如下，则不适合储藏此种水饺的是（　　）

A．﹣15℃ B．﹣16℃ C．﹣19℃ D．﹣20℃

【分析】根据有理数的加减运算，可得温度范围，根据温度范围，可得答案．

【解析】﹣18﹣2＝﹣20℃，﹣18+2＝﹣16℃，

温度范围：﹣20℃至﹣16℃，

A、﹣20℃＜﹣16℃＜﹣15℃，故A符合题意；

B、﹣16℃在﹣20℃至﹣16℃范围内，故B不符合题意；

C、﹣20℃＜﹣19℃＜﹣16℃，故C不符合题意；

D、﹣20℃在﹣20℃至﹣16℃范围内，故D不符合题意；

故选：A．

【变式2.1】（2021秋•江苏省淮安区期中）若海平面以上1300米，记作+1300米，则海平面以下200米，记作（　　）

A．﹣1500米 B．1500米 C．﹣200米 D．200米

【分析】由题意可知海平面下用负数表示．

【解析】由题可知以海平面为基准，

海平面上记为正数，海平面下记为负数，

∴海平面以下200米，记作﹣200米；

故选：C．

【变式2.2】（2021秋•江苏省崇川区校级期中）如果+10%表示增加10%，那么﹣5%表示（　　）

A．减少5% B．增加5% C．增加10% D．减少10%

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，若增加表示为正，则减少表示为负．

【解析】若增加表示为正，则减少表示为负，

则+10%表示“增加10%”，那么﹣5%表示减少5%．

故选：A．

【变式2.3】（2021秋•江苏省宿豫区期中）某种零件标明要求是ϕ：10±0.2cm（ϕ表示直径），则下面4个零件不合格的是（　　）

A．10cm B．10.1cm C．9.9cm D．9.7cm

【分析】根据正负数的意义，求得合格零件的直径的范围，再进一步分析．

【解析】∵某种零件标明要求是ϕ：10±0.2cm（ϕ表示直径），

∴该零件的直径最小是10﹣0.2＝9.8（cm），最大是10+0.2＝10.2（cm），

只有D9.7cm不在9.8cm～10.2cm范围内．

故选：D．

【考点3】有理数与无理数

【例3】（2021秋•江苏省钟楼区期中）下列各数：﹣1，，0，，3.14，4.121121112……，其中无理数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．

【解析】，4.121121112…是无理数，共有2个，

故选：B．

【变式3.1】（2021秋•江苏省宿豫区期中）下列数，，4.0，﹣1.2020020002…，0，，﹣3.1415926中，无理数的个数（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．

【解析】在，4.0，﹣1.2020020002…，0，，﹣3.1415926中，无理数有﹣1.2020020002…，共2个．

故选：C．

【变式3.2】（2021秋•江苏省邗江区校级期中）下列一组数：2.7，，0.6，，0.080080008……其中是无理数的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解析】2.7、0.6是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；

有理数有：，0.080080008……共2个．

故选：C．

【变式3.3】（2021秋•江苏省沭阳县期中）在，，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（　　）

A． B． C．0 D．﹣2

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解析】A.是无理数，故本选项符合题意；

B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

C.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

D．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意．

故选：A．

【考点4】数轴

【例4】（2021秋•江苏省建湖县期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.8cm”对应数轴上的数为（　　）

A．5.8 B．﹣2.8 C．﹣2.2 D．﹣1.8

【分析】根据数轴上点的表示方法，直接判断即可．

【解析】刻度尺上5.8cm对应数轴上的点距离数轴上原点（刻度尺上表示3的点）的距离为2.8，

且该点在原点的左侧，故刻度尺上“5.8cm”对应数轴上的数为﹣2.8．

故选：B．

【变式4.1】（2021秋•江苏省钟楼区期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点表示的数是（　　）

A．2021 B．2020 C．﹣2020 D．1010

【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．

【解析】设向右跳动为正，向左跳动为负，

由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+（4034﹣4036）+4038

═（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（24034﹣4036）+4038

＝﹣2018+4038

＝2020，

故选：B．

【变式4.2】（2021秋•江苏省连云港期中）如图将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴的原点上纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点A′的位置，则此时点A′表示的数是（　　）

A．﹣π B．π C．﹣2π D．2π

【分析】直径为1个单位长度的圆形的周长为π，即AA′＝π，也就是A′点所表示的数的绝对值是π，在原点的左边，因此A′所表示的数为﹣π．

【解析】AA′＝π，即A′点所表示的数的绝对值是π，在原点的左边，因此A′所表示的数为﹣π．

故选：A．

【变式4.3】（2021秋•江苏省江阴市期中）把数轴上表示4的点移动2个单位后表示的数为（　　）

A．3 B．2 C．3或5 D．2或6

【分析】向左或向右运动两种情况，因此有4+2＝6或4﹣2＝2，得出答案．

【解析】两种情况，即：4+2＝6或4﹣2＝2，

故选：D．

【考点5】相反数

【例5】（2020春•大丰区期中）若﹣a＞0，则a为（　　）

A．正数 B．0和正数 C．负数 D．0和负数

【分析】根据不等式的性质，可得答案．

【解析】两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，得

a＜0，

故选：C．

【变式5.1】（2021秋•江苏省阜宁县期中）的相反数是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

【解析】的相反数是：．

故选：D．

【变式5.2】（2021秋•江苏省建湖县期中）下列各对数中，互为相反数的（　　）

A．﹣（﹣2）和2 B．﹣（﹣5）和+（﹣5） 

C．和﹣2 D．+（﹣3）和﹣（+3）

【分析】根据只有符号不同的两个数是相反数，可判断互为相反数两个数．

【解析】∵﹣（﹣5）＝5，+（﹣5）＝﹣5，5和﹣5互为相反数，

故选：B．

【变式5.3】（2021秋•江苏省昌平区校级期中）已知a，b互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（　　）

A．﹣2a和﹣2b B．2a和2b C．a+1和b+1 D．a+1和b﹣1

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．

【解析】A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；

B、只有符号不同的两个数互为相反数，故B正确；

C、只有符号不同的两个数互为相反数，故C错误；

D、只有符号不同的两个数互为相反数，故D正确；

故选：C．

【考点6】绝对值

【例6】（2021秋•江苏省江阴市期中）|﹣3|计算的结果是（　　）

A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在

【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．

【解析】|﹣3|计算的结果3．

故选：B．

【变式6.1】（2021秋•江苏省江宁区期中）若|a|≤1，则a2﹣1是（　　）

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数

【分析】根据绝对值的意义解答即可．

【解析】因为|a|≤1，

所以﹣1≤a≤1，

所以a2﹣1≤0，

即a2﹣1是非正数．

故选：C．

【变式6.2】（2021秋•江苏省东台市期中）已知x与y互为相反数，那么|x﹣3+y|的值是（　　）

A．3 B．0 C．﹣3 D．无法确定

【分析】首先根据x与y互为相反数，可得x+y＝0；然后把x+y＝0代入|x﹣3+y|，求出算式的值是多少即可．

【解析】∵x与y互为相反数，

∴x+y＝0，

∴|x﹣3+y|＝|0﹣3|＝|﹣3|＝3．

故选：A．

【变式6.3】（2021秋•江苏省淮安区期中）满足|x|＝2的数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【分析】根据绝对值的定义解答即可．

【解析】∵|x|＝2

∴x＝±2．

故满足|x|＝2的数有2个．

故选：B．

【考点7】绝对值的非负性

【例7】（2021秋•江苏省江都区期中）若|x﹣2|+|y+6|＝0，则x+y的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣8 D．8

【分析】根据已知等式，利用非负数的性质求出x，y的值，即可确定出x+y的值．

【解析】∵|x﹣2|+|y+6|＝0，

∴x﹣2＝0，y+6＝0，

解得x＝2，y＝﹣6，

则x+y＝2﹣6＝﹣4．

故选：B．

【变式7.1】（2021秋•江苏省合浦县期中）已知|a+3|+|b﹣1|＝0，则a+b的值是（　　）

A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解析】根据题意得，a+3＝0，b﹣1＝0，

解得a＝﹣3，b＝1，

所以，a+b＝﹣3+1＝﹣2．

故选：D．

【变式7.3】（2021秋•江苏省绿园区期中）已知|x﹣1|+|y+2|＝0，则x+y的值　　．

【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解析】根据题意得，x﹣1＝0，y+2＝0，

解答：x＝1，y＝﹣2，

∴x+y＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【变式7.3】（2018秋•广安期中）若|x+2|+|y﹣3|＝0，则xy＝　．

【分析】根据非负数的性质列出方程组求出x、y的值，代入代数式求值即可．

【解答】解|x+2|+|y﹣3|＝0，

∴x+2＝0，解得x＝﹣2；

y﹣3＝0，解得y＝3．

∴xy＝﹣2×3＝﹣6．

故答案为：﹣6．

【考点8】科学记数法

【例8】（2021秋•江苏省宿豫区期中）目前，国庆70周年爱国主义题材电影《我和我的祖国》票房突破27亿元，则27亿用科学记数法表示为（　　）

A．27×108 B．2.7×109 C．2.7×108 D．2.7×1010

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解析】27亿＝2700000000＝2.7×109，

故选：B．

【变式8.1】（2021秋•江苏省淮阴区期中）徐淮盐铁路是江苏省东西向高速铁路，全长约316.7公里，共11座车站，全程设计行车速度为250公里/小时，是江苏腹地最重要的铁路大动脉之一，有江苏铁路“金腰带”之称，预计于今年底通车．其中数据316.7用科学记数法表示应为（　　）

A．31.67×101 B．3.167×102 C．0.3167×103 D．3.16×102

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解析】316.7＝3.167×102，

故选：B．

【变式8.2】（2021秋•江苏省无锡期中）餐桌边的一蔬一饭实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费食物总量折合粮食约54300000000千克，此数据用科学记数法表示为（　　）

A．5.43×109 B．54.3×109 C．5.43×1010 D．0.543×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解析】54300000000千克用科学记数法表示为：5.43×1010，

故选：C．

28．（2021秋•江苏省灌云县期中）我国的港珠澳大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，是世界上最长的跨海大桥，它全长55000米，这个数据用科学记数法表示为（　　）

A．0.5×104米 B．0.55×105米 C．55×103米 D．5.5×104米

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解析】将55000用科学记数法表示为5.5×104．

故选：D．