安徽省合肥市第八中学高一下学期期末复习数学限时作业（11）

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合肥八中高一（下）数学限时作业（11）                           一、选择题：本题共8小题，前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多项选择，每小题7分，合计共44分。1．平面外的不共线三个点到平面的距离都相等，则平面与平面的位置关系是（    ）A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或平行【答案】D【详解】   如图1，当三点在平面同侧时，平面与平面的位置关系是平行，如图2，当三点在平面异侧时，平面与平面的位置关系是相交，故选：D2．设是一平面，是一直线，直线，则“”是“”的（    ）条件.A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【详解】由，可得∥，又，则，由，，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．（空课十一）在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】在直三棱柱中，侧棱平面，，，点，分别，的中点，∴，，∴是异面直线与所成的角（或所成角的补角），连结，则，∴，∴异面直线与所成的角为．故选B．4．如图，已知四边形为圆柱的轴截面，为的中点，为母线的中点，异面直线与所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】取的中点，连接、，、分别为、中点，则，所以异面直线与所成的角为或其补角，因为为的中点，所以，，即，平面，平面，，，平面，平面，，设圆柱的底面圆的半径为，平面，平面，，，又因为，则，所以，，因为，解得，因此，圆柱的体积为.故选：B.5．（单元练习8）已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A6．已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，下列结论中，其中正确的个数是（    ）①过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②平面；③；④异面直线与所成角的正切值为；⑤四面体的体积等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】对于①.延长分别与的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，则截面六边形为正六边形，故①正确；
对于②.与相交，故与平面相交，所以②不正确；
对于③.∵，且与相交，所以平面，故③正确；
对于④.连接,由条件有,所以为异面直线与的夹角,在直角三角形中， .故④正确；
对于⑤.四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故⑤不正确．
故选：C二、多选题7．（单元练习9）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且平面EFG，则（    ）A． B．平面EFGC．三棱锥的体积为 D．P点的轨迹长度为2【答案】BCD【详解】对于A，取的中点为，连接，由正方体的性质可知，，而与相交，所以不平行，故A错误；对于B，连接，容易知道平面平面，由面面平行的性质可知平面EFG，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，由B可知平面平面，即点的轨迹为线段，长度为，故D正确；故选：BCD8．如图，直角梯形，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且.则                          （    ）A．平面平面       B．二面角的大小为C．.                   D．与平面所成角的正切值为【答案】AB【详解】A中, ,在三角形中，，所以,又，可得平面，平面，所以平面平面，A选项正确；B中，二面角的平面角为，根据折前着后不变知，故B选项正确；C中，若，又，可得平面,则,而,显然矛盾，故C选项错误；D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，在中，,故D选项错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分9．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是__.【答案】2.解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积，则，所以，，故，故答案为：2.10．（空课七）如图所示，正方体的棱长为2，是上的一个动点，，则的最小值是_______．【答案】将△沿直线折起，当点、、在同一条直线上时，最小，此时，△是边长为的等边三角形，所以所以的最小值是．故答案为：11．如图，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，则点到平面的距离等于______．【答案】【详解】由题意，可将三棱锥补全为边长为1的正方体如图所示，，，设点到平面的距离为，则由得，所以．故答案为：12．二面角的大小为为垂足，为垂足，是棱上动点，则的最小值为_______．【答案】【详解】如图，将二面角沿棱展成平角，连结，根据两点之间线段最短，可知就是的最小值，以为邻边，作矩形，由可知三点共线，则.故答案为：四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分13．如图，在三棱柱中，平面，分别是线段，的中点.（1）证明：平面；（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：连接与相交于点，连接，由侧面为平行四边形可得是线段的中点，又因为是线段的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴∵，是线段的中点，∴∵，平面，∴平面，∴线段为三棱锥的高，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形为正方形，∴，∴14．如图，等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，P是弧AB上一点，且∠PAB=30°.（1）证明：平面BCP⊥平面ACP；（2）若Q是弧AP上异于A､P的一个动点，当三棱锥C-APQ体积最大时，求二面角A-PQ-C的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【详解】（1）因为等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，所以平面APB，又PB平面APB，所以，又，，所以平面ACP，又平面BCP，所以平面BCP⊥平面ACP；（2）由（1）知平面APB，所以AC为三棱锥C-APQ的高，设 若三棱锥C-APQ体积最大，则三角形APQ面积最大当为的中点时，三角形APQ面积最大，如图所示：过点A作，连接，所以平面ACE，所以为二面角A-PQ-C的平面角，因为∠PAB=30°.所以 ，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，三棱锥的体积求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.